कक्षा 7 गणित: त्रिभुजों की सर्वांगसमता NCERT समाधान

Solution: (a) दो रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी लम्बाई समान हो। सर्वांगसमता का अर्थ है कि आकृतियाँ आकार और माप में बिल्कुल समान हों। रेखाखंडों के लिए, इसका मतलब है कि उनकी लम्बाई बराबर होनी चाहिए। (b) दो सर्वांगसम कोणों की माप हमेशा बराबर होती है। इसलिए, यदि एक कोण की माप 70° है, तो दूसरे सर्वांगसम कोण की माप भी 70° होगी। (c) जब हम <math>\angle A = \angle B</math> लिखते हैं, तो हमारा वास्तव में अर्थ होता है कि कोण A की माप कोण B की माप के बराबर है, जिसे <math>m\angle A = m\angle B</math> के रूप में दर्शाया जाता है। यह इंगित करता है कि दोनों कोण सर्वांगसम हैं।

Solution: वास्तविक जीवन में सर्वांगसम आकृतियों के दो उदाहरण निम्नलिखित हैं: 1. दो समान आकार के सिक्के: जैसे कि दो ₹1 के सिक्के या दो ₹5 के सिक्के, ये आकार और व्यास में बिल्कुल समान होते हैं, इसलिए ये सर्वांगसम होते हैं। 2. एक ही मॉडल के दो मोबाइल फोन: यदि एक ही कंपनी द्वारा बनाए गए एक ही मॉडल के दो मोबाइल फोन लिए जाएं, तो वे आकार, डिज़ाइन और माप में समान होंगे, इसलिए वे सर्वांगसम माने जा सकते हैं।

Solution: दिया गया है कि <math>\triangle ABC \cong \triangle FED</math>। इसका अर्थ है कि त्रिभुज ABC त्रिभुज FED के सर्वांगसम है, और संगत शीर्षों का क्रम A↔F, B↔E, और C↔D है। त्रिभुजों के सभी संगत सर्वांगसम भागों को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: संगत कोण: 1. <math>\angle A \leftrightarrow \angle F</math> (कोण A, कोण F के संगत है) 2. <math>\angle B \leftrightarrow \angle E</math> (कोण B, कोण E के संगत है) 3. <math>\angle C \leftrightarrow \angle D</math> (कोण C, कोण D के संगत है) संगत भुजाएँ: 4. <math>\overline{AB} \leftrightarrow \overline{FE}</math> (भुजा AB, भुजा FE के संगत है) 5. <math>\overline{BC} \leftrightarrow \overline{ED}</math> (भुजा BC, भुजा ED के संगत है) 6. <math>\overline{AC} \leftrightarrow \overline{FD}</math> (भुजा AC, भुजा FD के संगत है)

Solution: दिया गया है कि <math>\triangle DEF \cong \triangle BCA</math>। इसका अर्थ है कि त्रिभुज DEF त्रिभुज BCA के सर्वांगसम है, और संगत शीर्षों का क्रम D↔B, E↔C, और F↔A है। इसके आधार पर, <math>\triangle BCA</math> के वे भाग जो <math>\triangle DEF</math> के दिए गए भागों के संगत हैं, निम्नलिखित हैं: (i) <math>\angle E</math> का संगत कोण <math>\triangle BCA</math> में <math>\angle C</math> है। (ii) <math>\overline{EF}</math> का संगत भुजा <math>\triangle BCA</math> में <math>\overline{CA}</math> है। (iii) <math>\angle F</math> का संगत कोण <math>\triangle BCA</math> में <math>\angle A</math> है। (iv) <math>\overline{DF}</math> का संगत भुजा <math>\triangle BCA</math> में <math>\overline{BA}</math> है।

Solution: यहाँ प्रत्येक स्थिति में उपयोग किए गए सर्वांगसमता प्रतिबंधों का विवरण दिया गया है: 1. **SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसम प्रतिबंध:** दिया गया है: <math>AC = DF</math>, <math>AB = DE</math>, <math>BC = EF</math>। चूँकि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीनों संगत भुजाओं के बराबर हैं, इसलिए <math>\triangle ABC \cong \triangle DEF</math> SSS प्रतिबंध द्वारा सिद्ध होता है। 2. **SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसम प्रतिबंध:** दिया गया है: <math>RP = ZX</math>, <math>RQ = ZY</math>, और <math>\angle PRQ = \angle XZY</math>। यहाँ दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर हैं। इसलिए, <math>\triangle PQR \cong \triangle XYZ</math> SAS प्रतिबंध द्वारा सिद्ध होता है। 3. **ASA (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसम प्रतिबंध:** दिया गया है: <math>\angle MLN = \angle FGH</math>, <math>\angle NML = \angle HFG</math>, और <math>ML = FG</math>। यहाँ दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हैं। इसलिए, <math>\Delta LMN \cong \Delta GFH</math> ASA प्रतिबंध द्वारा सिद्ध होता है। 4. **RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसम प्रतिबंध:** दिया गया है: <math>\angle A = \angle C = 90°</math> (समकोण), <math>EB = BD</math> (कर्ण बराबर हैं, क्योंकि वे बिंदु B पर प्रतिच्छेद करते हैं और E, B, D एक रेखा पर हैं, और A, B, C एक रेखा पर हैं, यह मानते हुए कि ये समकोण त्रिभुज हैं), और <math>AE = CB</math> (एक भुजा)। हालाँकि, प्रश्न में दी गई जानकारी के अनुसार, यह स्पष्ट नहीं है कि EB और BD कर्ण हैं या AE और CB कर्ण हैं। यदि हम यह मानें कि <math>\triangle ABE</math> और <math>\triangle CDB</math> समकोण त्रिभुज हैं जहाँ <math>\angle A = 90°</math> और <math>\angle C = 90°</math> है, तो कर्ण क्रमशः EB और DB होंगे। यदि EB = DB दिया गया है, और AE = CB दिया गया है, तो यह RHS प्रतिबंध के लिए पर्याप्त नहीं है जब तक कि यह स्पष्ट न हो कि EB और DB कर्ण हैं। यदि हम मान लें कि प्रश्न का इरादा यह है कि <math>\triangle ABE</math> और <math>\triangle CDB</math> में <math>\angle A = \angle C = 90°</math>, <math>AE = CB</math> और <math>AB = CD</math> (जो कि प्रश्न में नहीं दिया गया है), तो यह SSS होगा। यदि <math>\angle A = \angle C = 90°</math>, <math>AE = CB</math> और <math>\angle AEB = \angle CBD</math> (जो नहीं दिया गया है), तो यह ASA होगा। प्रश्न में दी गई जानकारी के अनुसार, यदि EB और DB कर्ण हैं और AE और CB भुजाएँ हैं, तो यह RHS प्रतिबंध के लिए पर्याप्त नहीं है। हालाँकि, यदि हम मान लें कि प्रश्न में कुछ जानकारी छूट गई है या यह एक विशेष व्यवस्था है जहाँ EB और DB कर्ण हैं, और AE और CB संगत भुजाएँ हैं, तो यह RHS हो सकता है। लेकिन सामान्यतः, RHS के लिए कर्ण और एक भुजा का बराबर होना आवश्यक है। यहाँ, यदि हम मान लें कि <math>\angle A = \angle C = 90°</math>, <math>AE = CB</math> और <math>AB = CD</math> (जो प्रश्न में नहीं है), तो यह SSS होगा। यदि <math>\angle A = \angle C = 90°</math>, <math>AE = CB</math> और <math>\angle AEB = \angle CBD</math> (जो नहीं दिया गया है), तो यह ASA होगा। यदि <math>\angle A = \angle C = 90°</math>, <math>EB = DB</math> (कर्ण) और <math>AE = CB</math> (भुजा), तो यह RHS प्रतिबंध द्वारा सर्वांगसम होगा। इस प्रकार, हम RHS प्रतिबंध का उपयोग करेंगे।

Solution: हमें <math>\triangle ART \cong \triangle PEN</math> दर्शाना है। (a) **SSS सर्वांगसमता प्रतिबंध का प्रयोग करने पर:** SSS प्रतिबंध के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। <math>\triangle ART \cong \triangle PEN</math> दर्शाने के लिए, हमें निम्नलिखित संगत भुजाओं को बराबर दिखाना होगा: (i) <math>AR = PE</math> (ii) <math>RT = EN</math> (iii) <math>AT = PN</math> (b) **SAS सर्वांगसमता प्रतिबंध का प्रयोग करने पर (दिया गया है <math>\angle T = \angle N</math>):** SAS प्रतिबंध के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। हमें दिया गया है कि <math>\angle T = \angle N</math>। <math>\triangle ART \cong \triangle PEN</math> दर्शाने के लिए, हमें <math>\angle T</math> और <math>\angle N</math> को शामिल करने वाली संगत भुजाओं को बराबर दिखाना होगा। इसलिए, हमें आवश्यकता होगी: <math>RT = EN</math> (भुजाएँ जो <math>\angle T</math> और <math>\angle N</math> के साथ हैं) और <math>AT = PN</math> (भुजाएँ जो <math>\angle T</math> और <math>\angle N</math> के साथ हैं) (c) **ASA सर्वांगसमता प्रतिबंध का प्रयोग करने पर (दिया गया है <math>AT = PN</math>):** ASA प्रतिबंध के अनुसार, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनके बीच की भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों और उनके बीच की भुजा के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। हमें दिया गया है कि <math>AT = PN</math>। <math>\triangle ART \cong \triangle PEN</math> दर्शाने के लिए, हमें <math>AT</math> और <math>PN</math> के संगत कोणों को बराबर दिखाना होगा। इसलिए, हमें आवश्यकता होगी: (i) <math>\angle A = \angle P</math> (कोण A, भुजा AT के एक सिरे पर है और कोण P, भुजा PN के एक सिरे पर है) (ii) <math>\angle T = \angle N</math> (कोण T, भुजा AT के दूसरे सिरे पर है और कोण N, भुजा PN के दूसरे सिरे पर है)