कक्षा 7 गणित अध्याय 6: त्रिभुज और उसके गुण - NCERT समाधान

दिए गए त्रिभुज <math>\Delta</math> PQR में, D भुजा QR का मध्य बिंदु है।

चूंकि D, QR का मध्य बिंदु है, इसलिए PD वह रेखाखंड है जो शीर्ष P से सम्मुख भुजा QR के मध्य बिंदु D तक जाता है। इस प्रकार, PD त्रिभुज PQR की एक **माध्यिका** है।

प्रश्न में यह भी दिया गया है कि PM, QR पर लंब है (यह मानते हुए कि आकृति में ∠PMD = 90° का अर्थ है कि PM ⊥ QR)। इसलिए, PM त्रिभुज PQR का **शीर्षलंब** है।

चूंकि D, QR का मध्य बिंदु है, इसका मतलब है कि QD = DR। प्रश्न पूछता है कि क्या QM = MR। यह सत्य नहीं है क्योंकि M बिंदु, D बिंदु से भिन्न हो सकता है (जब तक कि PM शीर्षलंब स्वयं माध्यिका न हो, जो केवल समद्विबाहु त्रिभुज में होता है)। इसलिए, सामान्यतः QM ≠ MR।

उत्तर: PM शीर्षलंब है। PD माध्यिका है। नहीं, QM ≠ MR क्योंकि D, QR का मध्य बिंदु है, न कि आवश्यक रूप से M।

1. <math>\triangle ABC</math> में, BE एक माध्यिका है:

   एक माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष से उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु तक खींची जाती है। यहाँ, BE माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि E, AC का मध्य बिंदु है। अतः, AE = EC।

   

2. <math>\triangle PQR</math> में, PQ और PR त्रिभुज के शीर्षलंब हैं:

   शीर्षलंब शीर्ष से सम्मुख भुजा पर डाला गया लंब होता है। यदि PQ और PR शीर्षलंब हैं, तो इसका मतलब है कि Q, PR पर लंब है (अर्थात ∠PQR = 90°) और R, PQ पर लंब है (अर्थात ∠PRQ = 90°)। यह केवल एक समकोण त्रिभुज में संभव है जहाँ कोण P समकोण हो, और PQ तथा PR स्वयं शीर्षलंब हों। यदि P समकोण है, तो PQ ⊥ PR।

   

3. <math>\Delta XYZ</math> में, YL एक शीर्षलंब उसके बहिर्भाग में है:

   एक शीर्षलंब शीर्ष से सम्मुख भुजा पर डाला गया लंब होता है। यदि शीर्षलंब YL, त्रिभुज XYZ के बहिर्भाग में है, तो इसका मतलब है कि शीर्ष Y से भुजा XZ पर डाला गया लंब, XZ रेखा को उसके बहिर्भाग में बिंदु L पर मिलता है। यह एक अधिक कोण त्रिभुज में होता है जहाँ Y से XZ पर लंब डालने के लिए XZ को बढ़ाना पड़ता है।

   

हम जानते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज <math>\Delta ABC</math> लें जिसमें भुजा AB = AC हो।

अब, हम शीर्ष A से सम्मुख भुजा BC पर एक शीर्षलंब खींचते हैं। मान लीजिए यह शीर्षलंब बिंदु L पर BC को मिलता है। चूँकि <math>\Delta ABC</math> समद्विबाहु है (AB = AC), शीर्ष A से खींचा गया शीर्षलंब AL, आधार BC को समद्विभाजित भी करता है। इसका मतलब है कि L, BC का मध्य बिंदु है।

चूँकि L, BC का मध्य बिंदु है, इसलिए AL वह रेखाखंड है जो शीर्ष A को सम्मुख भुजा BC के मध्य बिंदु L से जोड़ता है। अतः, AL एक माध्यिका भी है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि समद्विबाहु त्रिभुज <math>\Delta ABC</math> में, शीर्ष A से खींचा गया रेखाखंड AL, शीर्षलंब (AL ⊥ BC) और माध्यिका (BL = LC) दोनों है।

निष्कर्ष: एक समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं वाले शीर्ष से सम्मुख भुजा पर खींचा गया शीर्षलंब और माध्यिका एक ही रेखाखंड होते हैं।

हम त्रिभुज के बाह्य कोण गुण का उपयोग करेंगे, जिसके अनुसार त्रिभुज का बाह्य कोण उसके सम्मुख के दो अंतः कोणों के योग के बराबर होता है।

1. (i)

   यहाँ, बाह्य कोण x है और सम्मुख अंतः कोण 50° और 70° हैं।

   <math>x = 50^{\circ} + 70^{\circ}</math>

   <math>x = 120^{\circ}</math>

2. (ii)

   यहाँ, बाह्य कोण x है और सम्मुख अंतः कोण 65° और 45° हैं।

   <math>x = 65^{\circ} + 45^{\circ}</math>

   <math>x = 110^{\circ}</math>

3. (iii)

   यहाँ, बाह्य कोण x है और सम्मुख अंतः कोण 30° और 40° हैं।

   <math>x = 30^{\circ} + 40^{\circ}</math>

   <math>x = 70^{\circ}</math>

4. (iv)

   यहाँ, बाह्य कोण x है और सम्मुख अंतः कोण 60° और 60° हैं।

   <math>x = 60^{\circ} + 60^{\circ}</math>

   <math>x = 120^{\circ}</math>

5. (v)

   यहाँ, बाह्य कोण x है और सम्मुख अंतः कोण 50° और 50° हैं।

   <math>x = 50^{\circ} + 50^{\circ}</math>

   <math>x = 100^{\circ}</math>

6. (vi)

   यहाँ, बाह्य कोण x है और सम्मुख अंतः कोण 60° और 30° हैं।

   <math>x = 60^{\circ} + 30^{\circ}</math>

   <math>x = 90^{\circ}</math>

हम त्रिभुज के बाह्य कोण गुण का उपयोग करेंगे, जिसके अनुसार त्रिभुज का बाह्य कोण उसके सम्मुख के दो अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। हम इस गुण का उपयोग अज्ञात अंतः कोण को ज्ञात करने के लिए करेंगे।

1. (i)

   यहाँ, बाह्य कोण 115° है और दो अंतः कोण x और 50° हैं।

   <math>x + 50^{\circ} = 115^{\circ}</math>

   अज्ञात अंतः कोण ज्ञात करने के लिए, हम बाह्य कोण में से दिए गए अंतः कोण को घटाते हैं:

   <math>x = 115^{\circ} - 50^{\circ}</math>

   <math>x = 65^{\circ}</math>

2. (ii)

   यहाँ, बाह्य कोण 100° है और दो अंतः कोण 70° और x हैं।

   <math>70^{\circ} + x = 100^{\circ}</math>

   अज्ञात अंतः कोण ज्ञात करने के लिए:

   <math>x = 100^{\circ} - 70^{\circ}</math>

   <math>x = 30^{\circ}</math>

3. (iii)

   यहाँ, बाह्य कोण 125° है और दो अंतः कोण 90° और x हैं।

   <math>x + 90^{\circ} = 125^{\circ}</math>

   अज्ञात अंतः कोण ज्ञात करने के लिए:

   <math>x = 125^{\circ} - 90^{\circ}</math>

   <math>x = 35^{\circ}</math>

4. (iv)

   यहाँ, बाह्य कोण 120° है और दो अंतः कोण 60° और x हैं।

   <math>60^{\circ} + x = 120^{\circ}</math>

   अज्ञात अंतः कोण ज्ञात करने के लिए:

   <math>x = 120^{\circ} - 60^{\circ}</math>

   <math>x = 60^{\circ}</math>

5. (v)

   यहाँ, बाह्य कोण 80° है और दो अंतः कोण 30° और x हैं।

   <math>30^{\circ} + x = 80^{\circ}</math>

   अज्ञात अंतः कोण ज्ञात करने के लिए:

   <math>x = 80^{\circ} - 30^{\circ}</math>

   <math>x = 50^{\circ}</math>

6. (vi)

   यहाँ, बाह्य कोण 75° है और दो अंतः कोण 35° और x हैं।

   <math>x + 35^{\circ} = 75^{\circ}</math>

   अज्ञात अंतः कोण ज्ञात करने के लिए:

   <math>x = 75^{\circ} - 35^{\circ}</math>

   <math>x = 40^{\circ}</math>