कक्षा 7 गणित अध्याय 5: रेखा एवं कोण NCERT समाधान

पूरक कोण वे दो कोण होते हैं जिनका योग 90° होता है। किसी कोण का पूरक ज्ञात करने के लिए, हम उसे 90° में से घटाते हैं।

1. (i) 20° का पूरक कोण = $$90^\{\backslash circ\}\; -\; 20^\{\backslash circ\}\; =\; 70^\{\backslash circ\}$$

2. (ii) 63° का पूरक कोण = $$90^\{\backslash circ\}\; -\; 63^\{\backslash circ\}\; =\; 27^\{\backslash circ\}$$

3. (iii) 57° का पूरक कोण = $$90^\{\backslash circ\}\; -\; 57^\{\backslash circ\}\; =\; 33^\{\backslash circ\}$$

संपूरक कोण वे दो कोण होते हैं जिनका योग 180° होता है। किसी कोण का संपूरक ज्ञात करने के लिए, हम उसे 180° में से घटाते हैं।

1. (i) 105° का संपूरक कोण = $$180^\{\backslash circ\}\; -\; 105^\{\backslash circ\}\; =\; 75^\{\backslash circ\}$$

2. (ii) 87° का संपूरक कोण = $$180^\{\backslash circ\}\; -\; 87^\{\backslash circ\}\; =\; 93^\{\backslash circ\}$$

3. (iii) 154° का संपूरक कोण = $$180^\{\backslash circ\}\; -\; 154^\{\backslash circ\}\; =\; 26^\{\backslash circ\}$$

हम प्रत्येक युग्म के कोणों के योग की गणना करेंगे। यदि योग 90° है, तो वे पूरक युग्म हैं। यदि योग 180° है, तो वे संपूरक युग्म हैं।

• 65° + 115° = 180° (संपूरक युग्म)
• 63° + 27° = 90° (पूरक युग्म)
• 112° + 68° = 180° (संपूरक युग्म)
• 130° + 50° = 180° (संपूरक युग्म)
• 45° + 45° = 90° (पूरक युग्म)
• 80° + 10° = 90° (पूरक युग्म)

निष्कर्ष:

• संपूरक युग्म: (65°, 115°), (112°, 68°), (130°, 50°)
• पूरक युग्म: (63°, 27°), (45°, 45°), (80°, 10°)

माना कि कोण का मान $x$ है। चूँकि कोण अपने पूरक के समान है, तो उसके पूरक कोण का मान भी $x$ होगा। पूरक कोणों का योग 90° होता है।

इसलिए, हम समीकरण बना सकते हैं:

$$x\; +\; x\; =\; 90^\{\backslash circ\}$$

समीकरण को हल करने पर:

$$2x\; =\; 90^\{\backslash circ\}$$

$$x\; =\; \backslash frac\{90^\{\backslash circ\}\}\{2\}$$

$$x\; =\; 45^\{\backslash circ\}$$

अतः, 45° का कोण अपने पूरक कोण के समान है।

माना कि कोण का मान $x$ है। चूँकि कोण अपने संपूरक के समान है, तो उसके संपूरक कोण का मान भी $x$ होगा। संपूरक कोणों का योग 180° होता है।

इसलिए, हम समीकरण बना सकते हैं:

$$x\; +\; x\; =\; 180^\{\backslash circ\}$$

समीकरण को हल करने पर:

$$2x\; =\; 180^\{\backslash circ\}$$

$$x\; =\; \backslash frac\{180^\{\backslash circ\}\}\{2\}$$

$$x\; =\; 90^\{\backslash circ\}$$

अतः, 90° का कोण अपने संपूरक कोण के बराबर है।

चूँकि $\backslash angle\; 1$ और $\backslash angle\; 2$ संपूरक कोण हैं, उनका योग हमेशा 180° होगा ($\backslash angle\; 1\; +\; \backslash angle\; 2\; =\; 180^\{\backslash circ\}$)।

यदि $\backslash angle\; 1$ के मान में कमी की जाती है, तो $\backslash angle\; 2$ के मान में उतनी ही वृद्धि होनी चाहिए ताकि उनका योग 180° बना रहे। उदाहरण के लिए, यदि $\backslash angle\; 1$ 10° कम हो जाता है, तो $\backslash angle\; 2$ को 10° बढ़ना होगा।

इसलिए, यदि $\backslash angle\; 1$ में कमी की जाती है, तो $\backslash angle\; 2$ के मान में उतनी ही वृद्धि होगी ताकि वे संपूरक बने रहें।

संपूरक कोणों का योग 180° होता है।

1. (i) न्यून कोण: एक न्यून कोण 0° से बड़ा और 90° से छोटा होता है। दो न्यून कोणों का अधिकतम योग 90° + 90° = 180° हो सकता है, लेकिन चूँकि वे 'न्यून' हैं, उनका योग हमेशा 180° से कम होगा। इसलिए, दो न्यून कोण संपूरक नहीं हो सकते।

2. (ii) अधिक कोण: एक अधिक कोण 90° से बड़ा और 180° से छोटा होता है। दो अधिक कोणों का न्यूनतम योग 90° + 90° = 180° हो सकता है। चूँकि वे 'अधिक' हैं, उनका योग हमेशा 180° से अधिक होगा। इसलिए, दो अधिक कोण संपूरक नहीं हो सकते।

3. (iii) सम कोण: एक सम कोण ठीक 90° होता है। दो सम कोणों का योग 90° + 90° = 180° होता है। इसलिए, दो सम कोण संपूरक हो सकते हैं।

माना कि कोण $x$ है और उसका पूरक कोण $y$ है। हम जानते हैं कि पूरक कोणों का योग 90° होता है, इसलिए $x\; +\; y\; =\; 90^\{\backslash circ\}$।

हमें दिया गया है कि कोण 45° से बड़ा है, अर्थात $x\; >\; 45^\{\backslash circ\}$।

हम इस असमानता को $y$ के लिए हल कर सकते हैं:

$y\; =\; 90^\{\backslash circ\}\; -\; x$

चूँकि $x\; >\; 45^\{\backslash circ\}$, तो ।

दोनों तरफ 90° जोड़ने पर:

अतः, यदि एक कोण 45° से बड़ा है, तो उसका पूरक कोण 45° से छोटा होगा।

आकृति के बिना, हम सामान्य ज्यामितीय परिभाषाओं के आधार पर उत्तर देंगे। मान लीजिए कि रेखाएँ AD और BE बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, और C तथा E बिंदु इस प्रकार स्थित हैं कि कोण बनते हैं।

1. (i) क्या $\backslash angle\; 1$, $\backslash angle\; 2$ का आसन्न है? आसन्न कोणों का एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है, और उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ विपरीत दिशाओं में होती हैं। यदि $\backslash angle\; 1$ और $\backslash angle\; 2$ का एक उभयनिष्ठ शीर्ष (O) और एक उभयनिष्ठ भुजा (जैसे OA या OB) है, और वे एक दूसरे के ऊपर नहीं हैं, तो वे आसन्न हैं। आकृति के बिना निश्चित रूप से कहना मुश्किल है, लेकिन यदि वे एक सीधी रेखा पर हैं और उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष और भुजा है, तो वे आसन्न हो सकते हैं।

2. (ii) क्या $\backslash angle\; AOC$, $\backslash angle\; AOE$ का आसन्न है? यदि $\backslash angle\; AOC$ और $\backslash angle\; AOE$ का एक उभयनिष्ठ शीर्ष (O) और एक उभयनिष्ठ भुजा (OA) है, और OC, OE के बीच स्थित है (या इसके विपरीत), तो वे आसन्न हैं।

3. (iii) क्या $\backslash angle\; COE$ एवं $\backslash angle\; EOD$ रैखिक युग्म बनाते हैं? रैखिक युग्म बनाने के लिए, कोणों का योग 180° होना चाहिए और उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ एक सीधी रेखा बनानी चाहिए। यदि C, O, D एक सीधी रेखा बनाते हैं, और E शीर्ष O पर है, तो $\backslash angle\; COE$ और $\backslash angle\; EOD$ रैखिक युग्म बना सकते हैं।

4. (iv) क्या $\backslash angle\; BOD$ एवं $\backslash angle\; DOA$ संपूरक है? संपूरक कोणों का योग 180° होता है। यदि $\backslash angle\; BOD$ और $\backslash angle\; DOA$ आसन्न कोण हैं जिनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ (OB और OA) एक सीधी रेखा बनाती हैं, तो वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं और इसलिए संपूरक होते हैं।

5. (v) क्या $\backslash angle\; 1$ का उर्ध्वाधर सम्मुख कोण $\backslash angle\; 4$ है? ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण तब बनते हैं जब दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, और वे शीर्ष के विपरीत स्थित होते हैं। यदि $\backslash angle\; 1$ और $\backslash angle\; 4$ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बनाए गए विपरीत कोण हैं, तो हाँ, $\backslash angle\; 4$ $\backslash angle\; 1$ का ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण है।

6. (vi) $\backslash angle\; 5$ का उर्ध्वाधर सम्मुख कोण क्या है? यदि $\backslash angle\; 5$ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बनाया गया कोण है, तो इसका ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण वह कोण होगा जो शीर्ष के विपरीत स्थित है और समान माप का है। आकृति के बिना, हम केवल यह कह सकते हैं कि $\backslash angle\; 5$ का ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण वह कोण है जो इसके ठीक सामने बनता है।