कक्षा 11 गणित अध्याय 1: समुच्चय NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 1, 'समुच्चय' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें समुच्चय की मूल अवधारणाओं को स्पष्ट किया गया है, जिसमें यह भी शामिल है कि कौन से संग्रह समुच्चय माने जाते हैं और कौन से नहीं, और इसके पीछे का औचित्य। समाधानों में सदस्यता (∈ और ∉ प्रतीकों का उपयोग करके), रोस्टर रूप में समुच्चयों को सूचीबद्ध करना, और समुच्चय निर्माण रूप में समुच्चयों को व्यक्त करना शामिल है। प्रत्येक प्रश्न को स्पष्टता के लिए विस्तृत चरणों और स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और परीक्षा की तैयारी में मदद मिलती है।

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BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित-I
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter1. सम्मुच्य

Chapter summary

कक्षा 11 गणित के अध्याय 1 'समुच्चय' के लिए NCERT समाधान छात्रों को समुच्चय सिद्धांत की बुनियादी बातों से परिचित कराते हैं। यह खंड सुपरिभाषित संग्रहों की पहचान करने, तत्वों की सदस्यता को दर्शाने के लिए ∈ और ∉ प्रतीकों का उपयोग करने, समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखने और उन्हें समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त करने पर केंद्रित है। समाधान अभ्यास 1.1 के सभी प्रश्नों को हल करते हैं, जिससे छात्रों को इन महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझने में मदद मिलती है।

Learning outcomes

  • समुच्चय की परिभाषा को समझना और सुपरिभाषित संग्रहों की पहचान करना।
  • किसी दिए गए समुच्चय में तत्वों की सदस्यता को ∈ और ∉ प्रतीकों का उपयोग करके दर्शाना।
  • दिए गए विवरणों के आधार पर समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखना।
  • दिए गए समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त करना।
  • समुच्चय सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को लागू करना।

Topics covered

Paper topics

  • समुच्चय की परिभाषा
  • सुपरिभाषित संग्रह
  • समुच्चय के उदाहरण
  • समुच्चय के गैर-उदाहरण
  • तत्वों की सदस्यता (∈ और ∉)
  • रोस्टर रूप
  • समुच्चय निर्माण रूप
  • प्राकृत संख्याएँ
  • पूर्णांक
  • सम संख्याएँ
  • अभाज्य संख्याएँ
  • शब्दों के अक्षरों के समुच्चय

Important topics

  • समुच्चय की परिभाषा और सुपरिभाषित संग्रह की पहचान
  • सदस्यता प्रतीकों का उपयोग (∈ और ∉)
  • रोस्टर रूप में समुच्चय लिखना
  • समुच्चय निर्माण रूप में समुच्चय व्यक्त करना
  • विभिन्न प्रकार की संख्याओं (प्राकृत, पूर्णांक, सम, अभाज्य) के समुच्चय

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

निम्नलिखित में कौन-से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
  1. J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
  2. भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
  3. विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह।
  4. आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह।
  5. 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह।
  6. लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
  7. सभी सम पूर्णांकों का संग्रह।
  8. इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह।
  9. विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह।
Solution:

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संग्रह एक समुच्चय है, हमें यह जांचना होगा कि क्या वह सुपरिभाषित है, अर्थात, क्या हम निश्चित रूप से यह तय कर सकते हैं कि कोई वस्तु संग्रह में है या नहीं।

  1. J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से उन महीनों को सूचीबद्ध कर सकते हैं जो 'J' से शुरू होते हैं (जैसे जनवरी, जून, जुलाई)। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  2. भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह: यह एक समुच्चय नहीं है क्योंकि 'प्रतिभाशाली' एक व्यक्तिपरक शब्द है। एक व्यक्ति के लिए जो प्रतिभाशाली है, वह दूसरे के लिए नहीं हो सकता है। इसलिए, यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है।
  3. विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह: यह एक समुच्चय नहीं है क्योंकि 'सर्वश्रेष्ठ' की परिभाषा व्यक्तिपरक है और अलग-अलग लोगों के लिए अलग-अलग हो सकती है। यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है।
  4. आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से अपनी कक्षा के सभी बालकों की पहचान कर सकते हैं। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  5. 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि प्राकृत संख्याएँ (1, 2, 3, ...) निश्चित होती हैं और हम 1 से 99 तक की सभी संख्याओं को सूचीबद्ध कर सकते हैं। यह संग्रह सुपरिभाषित है। इसे रोस्टर रूप में \{1, 2, 3, \dots, 99\} लिखा जा सकता है।
  6. लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से उन उपन्यासों को सूचीबद्ध कर सकते हैं जिन्हें प्रेमचंद ने लिखा है। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  7. सभी सम पूर्णांकों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से सभी सम पूर्णांकों (जैसे ..., -4, -2, 0, 2, 4, ...) को परिभाषित कर सकते हैं। यह संग्रह सुपरिभाषित है। इसे रोस्टर रूप में \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\} लिखा जा सकता है।
  8. इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से इस अध्याय में दिए गए सभी प्रश्नों की पहचान कर सकते हैं। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  9. विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह: यह एक समुच्चय नहीं है क्योंकि 'खतरनाक' एक व्यक्तिपरक शब्द है। किसी व्यक्ति के लिए जो जानवर खतरनाक है, वह दूसरे के लिए नहीं हो सकता है। यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2

मान लीजिए A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक \in अथवा \notin भरिए।
  1. 5 ... A
  2. 8 ... A
  3. 0 ... A
  4. 4 ... A
  5. 2 ... A
  6. 10 ... A
Solution:

हमें दिए गए समुच्चय A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} के आधार पर रिक्त स्थानों को \in (सदस्य है) या \notin (सदस्य नहीं है) से भरना है।

  1. 5 ... A: चूँकि 5 समुच्चय A का एक तत्व है, हम लिखते हैं 5 \in A।
  2. 8 ... A: चूँकि 8 समुच्चय A का तत्व नहीं है, हम लिखते हैं 8 \notin A।
  3. 0 ... A: चूँकि 0 समुच्चय A का तत्व नहीं है, हम लिखते हैं 0 \notin A।
  4. 4 ... A: चूँकि 4 समुच्चय A का एक तत्व है, हम लिखते हैं 4 \in A।
  5. 2 ... A: चूँकि 2 समुच्चय A का एक तत्व है, हम लिखते हैं 2 \in A।
  6. 10 ... A: चूँकि 10 समुच्चय A का तत्व नहीं है, हम लिखते हैं 10 \notin A।

प्रश्न 3

निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए।
  1. A = \{x : x \text{ एक पूर्णांक है और } -3 < x < 7\}
  2. B = \{x: x \text{ संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है }\}
  3. C = \{x : x \text{ दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है।}\}
  4. D = \{x:x \text{ एक अभाज्य संख्या है जो संख्या 60 की भाजक है।}\}
  5. E = \text{TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय}
  6. F = \text{BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय}
Solution:

रोस्टर रूप में, हम समुच्चय के सभी तत्वों को सूचीबद्ध करते हैं।

  1. A = \{x : x \text{ एक पूर्णांक है और } -3 < x < 7\}

    इस समुच्चय में वे सभी पूर्णांक शामिल हैं जो -3 से बड़े हैं और 7 से छोटे हैं। ये पूर्णांक हैं: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6।

    अतः, A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

  2. B = \{x: x \text{ संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है }\}

    प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं। 6 से कम प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 हैं।

    अतः, B = \{1, 2, 3, 4, 5\}

  3. C = \{x : x \text{ दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है।}\}

    दो अंकों की संख्याएँ जिनके अंकों का योग 8 है, वे हैं: 17 (1+7=8), 26 (2+6=8), 35 (3+5=8), 44 (4+4=8), 53 (5+3=8), 62 (6+2=8), 71 (7+1=8), और 80 (8+0=8)।

    अतः, C = \{17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80\}

  4. D = \{x:x \text{ एक अभाज्य संख्या है जो संख्या 60 की भाजक है।}\}

    पहले, हम 60 के भाजक ज्ञात करते हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60। इनमें से अभाज्य संख्याएँ 2, 3, और 5 हैं।

    अतः, D = \{2, 3, 5\}

  5. E = \text{TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय}

    रोस्टर रूप में, हम प्रत्येक अक्षर को केवल एक बार लिखते हैं, भले ही वह शब्द में एक से अधिक बार आया हो।

    अतः, E = \{T, R, I, G, O, N, M, E, Y\}

  6. F = \text{BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय}

    शब्द 'BETTER' में अक्षर B, E, T, T, E, R हैं। अद्वितीय अक्षर B, E, T, R हैं।

    अतः, F = \{B, E, T, R\}

प्रश्न 4

निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए।
  1. \{3, 6, 9, 12\}
  2. \{2, 4, 8, 16, 32\}
  3. \{5, 25, 125, 625\}
  4. \{2, 4, 6, \dots\}
  5. \{1, 4, 9, \dots, 100\}
Solution:

समुच्चय निर्माण रूप में, हम समुच्चय के तत्वों के गुण को परिभाषित करते हैं।

  1. \{3, 6, 9, 12\}

    इस समुच्चय के तत्व 3 के गुणज हैं, जो 3 से शुरू होते हैं और 12 पर समाप्त होते हैं। ये 3 के पहले चार गुणज हैं।

    समुच्चय निर्माण रूप: \{x : x = 3n, \text{ जहाँ } n \in \{1, 2, 3, 4\}\} या \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } x, 3, 6, 9, 12 \text{ में से एक है}\}

  2. \{2, 4, 8, 16, 32\}

    इस समुच्चय के तत्व 2 की घातें हैं: 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5।

    समुच्चय निर्माण रूप: \{x : x = 2^n, \text{ जहाँ } n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\}

  3. \{5, 25, 125, 625\}

    इस समुच्चय के तत्व 5 की घातें हैं: 5^1, 5^2, 5^3, 5^4।

    समुच्चय निर्माण रूप: \{x : x = 5^n, \text{ जहाँ } n \in \{1, 2, 3, 4\}\}

  4. \{2, 4, 6, \dots\}

    यह समुच्चय सभी सम प्राकृत संख्याओं का है।

    समुच्चय निर्माण रूप: \{x : x \text{ एक सम प्राकृत संख्या है}\} या \{x : x = 2n, \text{ जहाँ } n \in \mathbb{N}\}

  5. \{1, 4, 9, \dots, 100\}

    इस समुच्चय के तत्व प्राकृत संख्याओं के वर्ग हैं: 1^2, 2^2, 3^2, \dots, 10^2।

    समुच्चय निर्माण रूप: \{x : x = n^2, \text{ जहाँ } n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 10\}

Common mistakes

  • सुपरिभाषित संग्रह और व्यक्तिगत राय पर आधारित संग्रह के बीच अंतर करने में भ्रमित होना।
  • सदस्यता प्रतीकों (∈ और ∉) का गलत उपयोग करना।
  • रोस्टर रूप में लिखते समय तत्वों को दोहराना या छोड़ना।
  • समुच्चय निर्माण रूप में नियम को सही ढंग से व्यक्त करने में कठिनाई।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के लिए 'सुपरिभाषित' होने के औचित्य पर ध्यान केंद्रित करें।
  • सदस्यता प्रतीकों के उपयोग का अभ्यास करें, विशेष रूप से सीमा मानों के साथ।
  • रोस्टर और समुच्चय निर्माण रूपों के बीच रूपांतरण का अभ्यास करें।
  • सभी उदाहरणों और प्रश्नावली के प्रश्नों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. निम्नलिखित में से कौन सा एक समुच्चय है?

Q2. यदि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

Q3. समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} का समुच्चय निर्माण रूप क्या है?

Q4. समुच्चय {2, 4, 6, 8,...} का समुच्चय निर्माण रूप क्या है?

Q5. समुच्चय {T, R, I, G, O, N, M, E, Y} किस शब्द के अक्षरों का समुच्चय है?

Frequently asked questions

समुच्चय क्या है?

समुच्चय सुपरिभाषित (well-defined) वस्तुओं का एक संग्रह होता है। इसका मतलब है कि हम निश्चित रूप से बता सकते हैं कि कोई वस्तु संग्रह में है या नहीं।

समुच्चय में ∈ और ∉ प्रतीकों का क्या अर्थ है?

प्रतीक ∈ का अर्थ है 'का सदस्य है' (is an element of) और ∉ का अर्थ है 'का सदस्य नहीं है' (is not an element of)। इनका उपयोग यह दर्शाने के लिए किया जाता है कि कोई तत्व किसी दिए गए समुच्चय में है या नहीं।

रोस्टर रूप और समुच्चय निर्माण रूप में क्या अंतर है?

रोस्टर रूप में, समुच्चय के सभी तत्वों को सूचीबद्ध किया जाता है, जबकि समुच्चय निर्माण रूप में, तत्वों के गुण या नियम को परिभाषित किया जाता है।

क्या कक्षा 11 के लिए ये NCERT समाधान परीक्षा की तैयारी में मदद करेंगे?

हाँ, ये समाधान अध्याय 1 'समुच्चय' की सभी अवधारणाओं और अभ्यासों को कवर करते हैं, जिससे छात्रों को परीक्षा के लिए अच्छी तरह से तैयारी करने में मदद मिलती है।

समुच्चय के उदाहरण क्या हैं?

उदाहरणों में 'J' अक्षर से शुरू होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह, 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह, या किसी शब्द के सभी अक्षरों का संग्रह शामिल हैं।

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