कक्षा 11 गणित NCERT समाधान: अध्याय 5 - सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

Solution: दिए गए व्यंजक को हल करने के लिए, हम गुणा करते हैं:

$$(6i)\backslash left(-\backslash frac\{3\}\{5\}i\backslash right)\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash left(-\backslash frac\{3\}\{5\}\backslash right)\; \backslash times\; i\; \backslash times\; i$$

यह बराबर है:

$$=\; -\backslash frac\{18\}\{5\}\; i^2$$

चूंकि $i^2\; =\; -1$ होता है, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

$$=\; -\backslash frac\{18\}\{5\}\; (-1)$$

$$=\; \backslash frac\{18\}\{5\}$$

इस परिणाम को $a+ib$ के मानक रूप में व्यक्त करने के लिए, हम वास्तविक भाग को $\backslash frac\{18\}\{5\}$ और काल्पनिक भाग को 0 लिखते हैं:

$$\backslash frac\{18\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{18\}\{5\}\; +\; 0i$$

अतः, सम्मिश्र संख्या का मानक रूप $\backslash frac\{18\}\{5\}\; +\; 0i$ है।

Solution: हम $i$ की घातों को सरल करेंगे। हम जानते हैं कि $i^4\; =\; 1$।

पहले $i^9$ को सरल करते हैं:

$$i^9\; =\; i^\{8\}\; \backslash cdot\; i\; =\; (i^4)^2\; \backslash cdot\; i\; =\; (1)^2\; \backslash cdot\; i\; =\; 1\; \backslash cdot\; i\; =\; i$$

अब $i^\{19\}$ को सरल करते हैं:

$$i^\{19\}\; =\; i^\{16\}\; \backslash cdot\; i^3\; =\; (i^4)^4\; \backslash cdot\; i^3\; =\; (1)^4\; \backslash cdot\; (-i)\; =\; 1\; \backslash cdot\; (-i)\; =\; -i$$

अब दोनों को जोड़ते हैं:

$$i^9\; +\; i^\{19\}\; =\; i\; +\; (-i)\; =\; 0$$

इस परिणाम को $a+ib$ के मानक रूप में व्यक्त करने के लिए, हम वास्तविक भाग को 0 और काल्पनिक भाग को 0 लिखते हैं:

$$0\; =\; 0\; +\; 0i$$

अतः, $i^9\; +\; i^\{19\}$ का मानक रूप $0\; +\; 0i$ है।

Solution: ऋणात्मक घात वाले $i$ को हल करने के लिए, हम इसे भिन्न के रूप में लिखते हैं:

$$i^\{-39\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{i^\{39\}\}$$

अब हम $i^\{39\}$ को सरल करते हैं। हम $i^\{39\}$ को $i^4$ के गुणक के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। $39\; =\; 4\; \backslash times\; 9\; +\; 3$।

$$i^\{39\}\; =\; i^\{4\; \backslash times\; 9\; +\; 3\}\; =\; (i^4)^9\; \backslash cdot\; i^3$$

चूंकि $i^4\; =\; 1$ और $i^3\; =\; -i$ होता है, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

$$i^\{39\}\; =\; (1)^9\; \backslash cdot\; (-i)\; =\; 1\; \backslash cdot\; (-i)\; =\; -i$$

अब इसे मूल व्यंजक में रखते हैं:

$$i^\{-39\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{-i\}$$

हर को धनात्मक बनाने के लिए, हम अंश और हर को $i$ से गुणा करते हैं:

$$=\; \backslash frac\{1\; \backslash times\; i\}\{-i\; \backslash times\; i\}\; =\; \backslash frac\{i\}\{-i^2\}$$

चूंकि $i^2\; =\; -1$ होता है:

$$=\; \backslash frac\{i\}\{-(-1)\}\; =\; \backslash frac\{i\}\{1\}\; =\; i$$

इस परिणाम को $a+ib$ के मानक रूप में व्यक्त करने के लिए, हम वास्तविक भाग को 0 और काल्पनिक भाग को 1 लिखते हैं:

$$i\; =\; 0\; +\; 1i$$

अतः, $i^\{-39\}$ का मानक रूप $0\; +\; 1i$ है।

Solution: दिए गए व्यंजक को $a+ib$ के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम पहले कोष्ठकों को खोलेंगे और फिर वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को एक साथ समूहित करेंगे।

व्यंजक है:

$$3(7+i7)+i(7+i7)$$

पहले पद को वितरित करें:

$$3\; \backslash times\; 7\; +\; 3\; \backslash times\; i7\; =\; 21\; +\; 21i$$

दूसरे पद को वितरित करें:

$$i\; \backslash times\; 7\; +\; i\; \backslash times\; i7\; =\; 7i\; +\; 7i^2$$

अब, $i^2\; =\; -1$ का प्रयोग करें:

$$7i\; +\; 7(-1)\; =\; 7i\; -\; 7$$

अब दोनों भागों को एक साथ जोड़ें:

$$(21\; +\; 21i)\; +\; (7i\; -\; 7)$$

वास्तविक भागों को एक साथ समूहित करें ($21$ और $-7$) और काल्पनिक भागों को एक साथ समूहित करें ($21i$ और $7i$):

$$(21\; -\; 7)\; +\; (21i\; +\; 7i)$$

सरल करें:

$$14\; +\; 28i$$

यह व्यंजक पहले से ही $a+ib$ के मानक रूप में है, जहाँ $a=14$ और $b=28$ है।

अतः, $3(7+i7)+i(7+i7)$ का मानक रूप $14\; +\; 28i$ है।