कक्षा 11 गणित अध्याय 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत - NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 4, 'गणितीय आगमन का सिद्धांत' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। यह अध्याय गणितीय आगमन की शक्तिशाली विधि का परिचय देता है, जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि कोई कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है। समाधानों में प्रत्येक प्रश्न को हल करने के लिए तीन-चरणीय प्रक्रिया का पालन किया गया है: आधार चरण (n=1 के लिए सत्यता की जाँच), प्रेरण चरण (कथन को n=k के लिए सत्य मानना), और प्रेरणिक चरण (कथन को n=k+1 के लिए सिद्ध करना)। ये समाधान छात्रों को गणितीय आगमन के सिद्धांत को समझने और लागू करने में मदद करते हैं, जो उच्च गणित में कई प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए एक मौलिक उपकरण है। परीक्षा की तैयारी के लिए यह एक अमूल्य संसाधन है।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 11
Subject	गणित-I
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	4. गणितीय आगमन का सिद्धांत

Chapter summary

कक्षा 11 गणित के अध्याय 4, 'गणितीय आगमन का सिद्धांत' के लिए NCERT समाधान, गणितीय आगमन की विधि पर केंद्रित हैं। यह अध्याय छात्रों को यह सिखाता है कि कैसे गणितीय आगमन का उपयोग करके कथनों को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध किया जाए। समाधानों में दिए गए उदाहरण और प्रश्नावली के प्रश्न, आधार चरण, प्रेरणिक परिकल्पना और प्रेरणिक चरण के माध्यम से समस्या-समाधान की प्रक्रिया को स्पष्ट करते हैं। यह छात्रों को इस महत्वपूर्ण प्रमाण तकनीक में महारत हासिल करने में मदद करता है।

Learning outcomes

गणितीय आगमन के सिद्धांत को समझना।
आधार चरण (n=1 के लिए सत्यता) को सत्यापित करना सीखना।
प्रेरणिक परिकल्पना (n=k के लिए सत्य मानना) को लागू करना सीखना।
प्रेरणिक चरण (n=k+1 के लिए सिद्ध करना) का उपयोग करके कथनों को सिद्ध करना।
विभिन्न गणितीय कथनों के लिए गणितीय आगमन विधि का प्रयोग करना।
कक्षा 11 गणित के अध्याय 4 के प्रश्नों को हल करने में सक्षम होना।

Topics covered

Paper topics

गणितीय आगमन का सिद्धांत
आधार चरण
प्रेरणिक परिकल्पना
प्रेरणिक चरण
प्राकृतिक संख्याओं के लिए कथन सिद्ध करना
ज्यामितीय श्रेणी का योग
घनों का योग
गणितीय प्रमाण

Important topics

गणितीय आगमन के सिद्धांत का परिचय
आधार चरण (n=1) का सत्यापन
प्रेरणिक परिकल्पना (n=k)
प्रेरणिक चरण (n=k+1) का प्रमाण
गणितीय आगमन द्वारा कथनों का सत्यापन

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Questions and Solutions

प्रश्न 1.

सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि: $1+3+3^2+...+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2}$

Solution:

माना दिया हुआ कथन P(n) है।

$P(n): 1+3+3^2+...+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2}$

चरण I (आधार चरण): $n=1$ के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें।

$P(1): \text{बायाँ पक्ष} = 1$

$\text{दायाँ पक्ष} = \frac{3^{1}-1}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

चूंकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, इसलिए P(1) सत्य है।

चरण II (प्रेरणिक परिकल्पना): माना कि कथन किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए सत्य है।

$P(k): 1+3+3^2+...+3^{k-1}=\frac{3^k-1}{2} \quad \cdots (i)$

चरण III (प्रेरणिक चरण): अब हम सिद्ध करेंगे कि कथन $n=k+1$ के लिए भी सत्य है, अर्थात् P(k+1) सत्य है।

$n=k+1$ के लिए कथन का बायाँ पक्ष है:

$1+3+3^2+...+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}$

$= (1+3+3^2+...+3^{k-1}) + 3^k$

समीकरण (i) का प्रयोग करने पर:

$= \frac{3^k-1}{2} + 3^k$

अब इसे सरल करें:

$=\frac{3^k-1 + 2 \times 3^k}{2}$

$=\frac{3^k + 2 \times 3^k - 1}{2}$

$=\frac{3 \times 3^k - 1}{2}$

$=\frac{3^{k+1}-1}{2}$

यह $n=k+1$ के लिए कथन का दायाँ पक्ष है।

अतः, P(k+1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है।

गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \ge 1$ के लिए सत्य है।

प्रश्न 2.

सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि: $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left\lceil \frac{n(n+1)}{2} \right\rceil^2$

Solution:

माना दिया हुआ कथन P(n) है।

$P(n): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left\lceil \frac{n(n+1)}{2} \right\rceil^2$

चरण I (आधार चरण): $n=1$ के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें।

$P(1): \text{बायाँ पक्ष} = 1^3 = 1$

$\text{दायाँ पक्ष} = \left\lceil \frac{1(1+1)}{2} \right\rceil^2 = \left\lceil \frac{1 \times 2}{2} \right\rceil^2 = \left\lceil 1 \right\rceil^2 = 1^2 = 1$

चूंकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, इसलिए P(1) सत्य है।

$P(k): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \left\lceil \frac{k(k+1)}{2} \right\rceil^2 \quad \cdots (i)$

$n=k+1$ के लिए कथन का बायाँ पक्ष है:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k+1)^3$

समीकरण (i) का प्रयोग करने पर:

$= \left\lceil \frac{k(k+1)}{2} \right\rceil^2 + (k+1)^3$

इसे सरल करें:

$= \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$

$= (k+1)^2 \left[ \frac{k^2}{4} + (k+1) \right]$

$= (k+1)^2 \left[ \frac{k^2 + 4(k+1)}{4} \right]$

$= (k+1)^2 \left[ \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right]$

$= (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4}$

$= \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}$

$= \left\lceil \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \right\rceil^2$

यह $n=k+1$ के लिए कथन का दायाँ पक्ष है।

अतः, P(k+1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है।

Common mistakes

आधार चरण (n=1) को सत्यापित करने में त्रुटियाँ करना।
प्रेरणिक परिकल्पना को सही ढंग से न मानना।
प्रेरणिक चरण में बीजगणितीय गणनाओं में गलतियाँ करना।
अंतिम परिणाम को n=k+1 के रूप में व्यक्त करने में चूक।

Revision tips

प्रत्येक प्रश्न के लिए तीन चरणों (आधार, प्रेरणिक परिकल्पना, प्रेरणिक चरण) को स्पष्ट रूप से लिखें।
बीजगणितीय सरलीकरण पर विशेष ध्यान दें, खासकर प्रेरणिक चरण में।
सूत्रों को याद करने के बजाय उनके अनुप्रयोग को समझें।
हल किए गए उदाहरणों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. गणितीय आगमन के सिद्धांत का पहला चरण क्या है?

Q2. यदि P(k) सत्य है, तो गणितीय आगमन के सिद्धांत का अगला चरण क्या है?

Q3. प्रश्नावली में प्रश्न 1 किस प्रकार के कथन को सिद्ध करने के लिए है?

Q4. प्रश्नावली में प्रश्न 2 किस प्रकार के कथन को सिद्ध करने के लिए है?

Frequently asked questions

गणितीय आगमन का सिद्धांत क्या है?

गणितीय आगमन का सिद्धांत एक प्रमाण तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि कोई कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं (n ≥ 1) के लिए सत्य है। इसमें दो मुख्य चरण होते हैं: आधार चरण (n=1 के लिए सत्यता) और प्रेरणिक चरण (यदि कथन n=k के लिए सत्य है, तो यह n=k+1 के लिए भी सत्य है)।

कक्षा 11 गणित के अध्याय 4 में कौन से मुख्य विषय शामिल हैं?

इस अध्याय में मुख्य रूप से गणितीय आगमन के सिद्धांत का परिचय, इसके तीन चरण (आधार चरण, प्रेरणिक परिकल्पना, प्रेरणिक चरण), और इस सिद्धांत का उपयोग करके विभिन्न गणितीय कथनों को सिद्ध करना शामिल है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत के तीन चरण क्या हैं?

तीन चरण हैं: 1. आधार चरण (Base Case): कथन को n=1 के लिए सिद्ध करना। 2. प्रेरणिक परिकल्पना (Inductive Hypothesis): यह मानना कि कथन किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है (P(k) सत्य है)। 3. प्रेरणिक चरण (Inductive Step): यह सिद्ध करना कि यदि कथन n=k के लिए सत्य है, तो यह n=k+1 के लिए भी सत्य होगा (P(k) ⇒ P(k+1))।

इन NCERT समाधानों का उपयोग कैसे करें?

इन समाधानों का उपयोग अध्याय 4 के प्रश्नों को समझने और हल करने के लिए किया जा सकता है। प्रत्येक प्रश्न के हल में दिए गए चरणों का पालन करें और गणितीय आगमन की प्रक्रिया को समझें। यह परीक्षा की तैयारी में सहायक होगा।

क्या ये समाधान केवल कक्षा 11 के लिए हैं?

हाँ, ये समाधान विशेष रूप से CBSE कक्षा 11 गणित के पाठ्यक्रम के अनुसार 'गणितीय आगमन का सिद्धांत' अध्याय के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

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