CBSE Class 11 Maths Chapter 7: क्रमचय एवं संचय (Permutations and Combinations) NCERT Solutions

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CBSE Class 11 Mathematics chapter 7, 'Permutations and Combinations' (क्रमचय एवं संचय), lays the groundwork for understanding how to count possibilities. This chapter delves into the fundamental principles of counting, which are essential for solving problems involving arrangements and selections. You'll learn about permutations, which deal with the order of items, and combinations, which focus on the selection of items without regard to order. The NCERT Solutions for this chapter offer detailed, step-by-step guidance through various problems, clarifying the logic behind each calculation. These resources are designed to help students master these core concepts, ensuring they can confidently tackle exam questions and build a solid understanding of combinatorics.

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Quick info

BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित-I
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter7. क्रमचय एवं संचय

Chapter summary

Chapter 7, 'Permutations and Combinations' (क्रमचय एवं संचय), focuses on the basic principles of counting. The NCERT Solutions for this chapter explain how to calculate the number of possible arrangements and selections of objects. It covers scenarios with and without repetition of digits or letters, using the fundamental principle of counting. Exercise 7.1 specifically deals with forming numbers and codes, reinforcing these counting techniques.

Learning outcomes

  • Understand the fundamental principle of counting.
  • Calculate the number of permutations when repetition is allowed.
  • Calculate the number of permutations when repetition is not allowed.
  • Solve problems involving the formation of numbers with specific conditions (e.g., even numbers).
  • Determine the number of possible codes using a given set of letters.

Topics covered

Paper topics

  • Fundamental Principle of Counting
  • Permutations
  • Combinations
  • Repetition of Digits
  • Formation of Numbers
  • Formation of Codes
  • Counting Principles

Important topics

  • Fundamental Principle of Counting
  • Permutations without Repetition
  • Permutations with Repetition
  • Forming Numbers with Constraints

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि:

  1. अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?
  2. अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो?
Solution:

(i) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो:

हमारे पास 5 अंक (1, 2, 3, 4, 5) हैं जिनका उपयोग करके 3-अंकीय संख्या बनानी है। चूँकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, इसलिए प्रत्येक स्थान (इकाई, दहाई, सैकड़ा) को भरने के लिए हमारे पास 5 विकल्प होंगे।

इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 5

दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 5

सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 5

गणना के आधारभूत सिद्धांत के अनुसार, कुल 3-अंकीय संख्याओं की संख्या होगी:

5 \times 5 \times 5 = 125

अतः, 125 ऐसी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो:

इस स्थिति में, हम प्रत्येक स्थान के लिए उपलब्ध अंकों की संख्या को कम करते जाते हैं।

इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 5 (कोई भी अंक 1, 2, 3, 4, 5)

दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 4 (इकाई स्थान पर प्रयुक्त अंक को छोड़कर)

सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3 (इकाई और दहाई स्थान पर प्रयुक्त अंकों को छोड़कर)

गणना के आधारभूत सिद्धांत के अनुसार, कुल 3-अंकीय संख्याओं की संख्या होगी:

5 \times 4 \times 3 = 60

अतः, 60 ऐसी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

प्रश्न 2

अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?

Solution:

एक संख्या सम तभी होती है जब उसका इकाई अंक सम हो। दिए गए अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं। इनमें से सम अंक 2, 4, और 6 हैं। चूँकि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है, हम प्रत्येक स्थान के लिए स्वतंत्र रूप से चयन कर सकते हैं।

इकाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3 (क्योंकि इकाई अंक 2, 4, या 6 हो सकता है)

दहाई स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 6 (क्योंकि कोई भी अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 इस्तेमाल किया जा सकता है)

सैकड़ा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 6 (क्योंकि कोई भी अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 इस्तेमाल किया जा सकता है)

गणना के आधारभूत सिद्धांत के अनुसार, कुल 3-अंकीय सम संख्याओं की संख्या होगी:

3 \times 6 \times 6 = 108

अतः, 108 ऐसी 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

प्रश्न 3

अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है?

Solution:

हमें अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों का उपयोग करके 4-अक्षर के कोड बनाने हैं, जहाँ किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है। यह एक क्रमचय (Permutation) की समस्या है क्योंकि अक्षरों का क्रम मायने रखता है।

पहले स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 10 (प्रथम 10 अक्षरों में से कोई भी)

दूसरे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 9 (पहले स्थान पर प्रयुक्त अक्षर को छोड़कर)

तीसरे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 8 (पहले दो स्थानों पर प्रयुक्त अक्षरों को छोड़कर)

चौथे स्थान को भरने के तरीकों की संख्या = 7 (पहले तीन स्थानों पर प्रयुक्त अक्षरों को छोड़कर)

गणना के आधारभूत सिद्धांत के अनुसार, कुल 4-अक्षर के कोड की संख्या होगी:

10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040

अतः, 5040 ऐसे 4-अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं।

Common mistakes

  • Confusing permutations with combinations.
  • Incorrectly applying the repetition rule (allowing it when not permitted, or vice versa).
  • Errors in calculating the number of choices for each position in a sequence.
  • Misinterpreting the condition for even numbers (focusing only on the last digit).

Revision tips

  • Review the fundamental principle of counting before attempting problems.
  • Pay close attention to whether repetition of digits/letters is allowed or not.
  • Break down complex problems into smaller steps, considering each position separately.
  • Practice forming numbers with specific constraints, like even or odd numbers.

Practice MCQs

Q1. यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

Q2. यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो, तो 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

Q3. अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6 से 3-अंकीय सम संख्याएँ (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) बनाने के लिए इकाई स्थान के कितने विकल्प हैं?

Q4. अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4-अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है?

Frequently asked questions

यह समाधान किस कक्षा और विषय के लिए है?

यह समाधान CBSE कक्षा 11 गणित (Maths-I) के लिए है, विशेष रूप से अध्याय 7: क्रमचय एवं संचय (Permutations and Combinations) पर केंद्रित है।

क्रमचय एवं संचय क्या हैं?

क्रमचय (Permutation) वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है, जबकि संचय (Combination) वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता।

क्या इन समाधानों में अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति वाले प्रश्न शामिल हैं?

हाँ, इन समाधानों में ऐसे प्रश्न शामिल हैं जहाँ अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है और जहाँ अनुमति नहीं है, दोनों स्थितियों को समझाया गया है।

ये समाधान परीक्षा की तैयारी में कैसे मदद करते हैं?

ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए विस्तृत, चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और परीक्षा में समान समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है।

क्या इन समाधानों में केवल सूत्र दिए गए हैं?

नहीं, इन समाधानों में केवल सूत्र नहीं दिए गए हैं, बल्कि गणना के आधारभूत सिद्धांत का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की पूरी प्रक्रिया को समझाया गया है।

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