कक्षा 11 गणित NCERT समाधान: अध्याय 2 संबंध एवं फलन

हमें दिया गया है कि दो क्रमित युग्म बराबर हैं: $\backslash left(\backslash frac\{x\}\{3\}+1,\; y-\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{5\}\{3\},\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)$.

दो क्रमित युग्मों की समानता के गुणधर्म के अनुसार, उनके संगत अवयव बराबर होने चाहिए। इसलिए, हम निम्नलिखित दो समीकरण प्राप्त करते हैं:

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; +\; 1\; =\; \backslash frac\{5\}\{3\}$$

$$y\; -\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$$

पहले समीकरण को हल करने पर:

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{5\}\{3\}\; -\; 1$$

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{5\; -\; 3\}\{3\}$$

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$$

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर, हमें $x\; =\; 2$ मिलता है।

दूसरे समीकरण को हल करने पर:

$$y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{3\}$$

$$y\; =\; \backslash frac\{1\; +\; 2\}\{3\}$$

$$y\; =\; \backslash frac\{3\}\{3\}$$

$$y\; =\; 1$$

अतः, $x\; =\; 2$ और $y\; =\; 1$।

हमें दिया गया है कि समुच्चय A में अवयवों की संख्या $n(A)\; =\; 3$ है।

समुच्चय B दिया गया है: $B\; =\; \backslash \{3,\; 4,\; 5\backslash \}$. इसलिए, समुच्चय B में अवयवों की संख्या $n(B)\; =\; 3$ है।

दो समुच्चयों के कार्तीय गुणन $A\; \backslash times\; B$ में अवयवों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है: $n(A\; \backslash times\; B)\; =\; n(A)\; \backslash times\; n(B)$.

इस सूत्र का प्रयोग करने पर:

$n(A\; \backslash times\; B)\; =\; 3\; \backslash times\; 3\; =\; 9$.

अतः, $A\; \backslash times\; B$ में 9 अवयव होंगे।

हमें दो समुच्चय दिए गए हैं: $G\; =\; \backslash \{7,\; 8\backslash \}$ और $H\; =\; \backslash \{5,\; 4,\; 2\backslash \}$.

दो अरिक्त समुच्चय P और Q का कार्तीय गुणन $P\; \backslash times\; Q$ उन सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, जिनको प्रथम घटक P से तथा द्वितीय घटक Q से लेकर बनाया जाता है। अर्थात $P\; \backslash times\; Q\; =\; \backslash \{(p,\; q)\; :\; p\; \backslash in\; P,\; q\; \backslash in\; Q\backslash \}$.

अब, हम $G\; \backslash times\; H$ की गणना करते हैं:

$G\; \backslash times\; H\; =\; \backslash \{7,\; 8\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{5,\; 4,\; 2\backslash \}$

इसके लिए, हम G के प्रत्येक अवयव को H के प्रत्येक अवयव के साथ क्रमित युग्म के रूप में लिखते हैं:

$G\; \backslash times\; H\; =\; \backslash \{(7,\; 5),\; (7,\; 4),\; (7,\; 2),\; (8,\; 5),\; (8,\; 4),\; (8,\; 2)\backslash \}$

अब, हम $H\; \backslash times\; G$ की गणना करते हैं:

$H\; \backslash times\; G\; =\; \backslash \{5,\; 4,\; 2\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{7,\; 8\backslash \}$

इसके लिए, हम H के प्रत्येक अवयव को G के प्रत्येक अवयव के साथ क्रमित युग्म के रूप में लिखते हैं:

$H\; \backslash times\; G\; =\; \backslash \{(5,\; 7),\; (5,\; 8),\; (4,\; 7),\; (4,\; 8),\; (2,\; 7),\; (2,\; 8)\backslash \}$

अतः, $G\; \backslash times\; H\; =\; \backslash \{(7,\; 5),\; (7,\; 4),\; (7,\; 2),\; (8,\; 5),\; (8,\; 4),\; (8,\; 2)\backslash \}$ और $H\; \backslash times\; G\; =\; \backslash \{(5,\; 7),\; (5,\; 8),\; (4,\; 7),\; (4,\; 8),\; (2,\; 7),\; (2,\; 8)\backslash \}$.

1. यह कथन असत्य है।

   कारण: यदि $P\; =\; \backslash \{m,\; n\backslash \}$ और $Q\; =\; \backslash \{n,\; m\backslash \}$, तो $P\; \backslash times\; Q$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $P\; \backslash times\; Q\; =\; \backslash \{m,\; n\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{n,\; m\backslash \}\; =\; \backslash \{(m,\; n),\; (m,\; m),\; (n,\; n),\; (n,\; m)\backslash \}$. इसलिए, सही कथन है: $P\; \backslash times\; Q\; =\; \backslash \{(m,\; n),\; (m,\; m),\; (n,\; n),\; (n,\; m)\backslash \}$.

2. यह कथन सत्य है।

   कारण: कार्तीय गुणन $A\; \backslash times\; B$ की परिभाषा के अनुसार, यह उन सभी क्रमित युग्मों $(x,\; y)$ का समुच्चय है जहाँ $x\; \backslash in\; A$ और $y\; \backslash in\; B$. यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं, तो $A\; \backslash times\; B$ भी एक अरिक्त समुच्चय होगा।

3. यह कथन सत्य है।

   कारण: हम जानते हैं कि किसी भी समुच्चय B के लिए, $B\; \backslash cap\; \backslash phi\; =\; \backslash phi$ (किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ सर्वनिष्ठ हमेशा रिक्त समुच्चय होता है)। इसलिए, $A\; \backslash times\; (B\; \backslash cap\; \backslash phi)\; =\; A\; \backslash times\; \backslash phi$. और किसी भी समुच्चय A के लिए, $A\; \backslash times\; \backslash phi\; =\; \backslash phi$ (किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन हमेशा रिक्त समुच्चय होता है)। अतः, $A\; \backslash times\; (B\; \backslash cap\; \backslash phi)\; =\; \backslash phi$ सत्य है।

हमें समुच्चय $A\; =\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}$ दिया गया है।

सबसे पहले, हम $A\; \backslash times\; A$ की गणना करते हैं:

$A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}$

$A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{(-1,\; -1),\; (-1,\; 1),\; (1,\; -1),\; (1,\; 1)\backslash \}$

अब, हम $A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A$ की गणना करते हैं, जो $(A\; \backslash times\; A)\; \backslash times\; A$ के बराबर है:

$A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{(-1,\; -1),\; (-1,\; 1),\; (1,\; -1),\; (1,\; 1)\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}$

इसके लिए, हम $A\; \backslash times\; A$ के प्रत्येक अवयव (जो एक क्रमित युग्म है) को A के प्रत्येक अवयव के साथ मिलाकर एक त्रिक (triplet) बनाते हैं:

$A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{(-1,\; -1,\; -1),\; (-1,\; -1,\; 1),\; (-1,\; 1,\; -1),\; (-1,\; 1,\; 1),\; (1,\; -1,\; -1),\; (1,\; -1,\; 1),\; (1,\; 1,\; -1),\; (1,\; 1,\; 1)\backslash \}$

अतः, $A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A$ में 8 अवयव हैं।

हमें कार्तीय गुणन $A\; \backslash times\; B\; =\; \backslash \{(a,\; x),\; (a,\; y),\; (b,\; x),\; (b,\; y)\backslash \}$ दिया गया है।

समुच्चय $A\; \backslash times\; B$ के अवयव क्रमित युग्म $(p,\; q)$ के रूप में होते हैं, जहाँ $p\; \backslash in\; A$ और $q\; \backslash in\; B$.

इसलिए, $A\; \backslash times\; B$ में दिए गए क्रमित युग्मों के प्रथम अवयवों का समुच्चय समुच्चय A का निर्माण करता है, और द्वितीय अवयवों का समुच्चय समुच्चय B का निर्माण करता है।

प्रथम अवयवों को सूचीबद्ध करने पर, हमें समुच्चय A के अवयव मिलते हैं: $a$ और $b$. अतः, $A\; =\; \backslash \{a,\; b\backslash \}$.

द्वितीय अवयवों को सूचीबद्ध करने पर, हमें समुच्चय B के अवयव मिलते हैं: $x$ और $y$. अतः, $B\; =\; \backslash \{x,\; y\backslash \}$.

अतः, $A\; =\; \backslash \{a,\; b\backslash \}$ और $B\; =\; \backslash \{x,\; y\backslash \}$.