कक्षा 9 गणित अध्याय 12: हीरोन का सूत्र NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

NCERT Solutions PDF Class 9 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 9 गणित के लिए "हीरोन का सूत्र" अध्याय पर विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रश्नावली 12.1 के प्रश्नों के हल शामिल हैं, जो छात्रों को त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हीरोन के सूत्र को समझने और लागू करने में मदद करते हैं। समाधानों में समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना और परिमाप के आधार पर भुजा की लंबाई ज्ञात करना शामिल है। इसके अतिरिक्त, यह एक त्रिभुजाकार दीवार के क्षेत्रफल की गणना करने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसका उपयोग विज्ञापन के लिए किया जाता है, और 3 महीने के लिए किराए की लागत का निर्धारण करता है। ये समाधान छात्रों को परीक्षा की तैयारी के लिए एक स्पष्ट और संक्षिप्त मार्गदर्शिका प्रदान करते हैं।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 9
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	12. हीरोन का सूत्र

Chapter summary

हीरोन के सूत्र पर यह NCERT समाधान अध्याय छात्रों को त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय उपकरण से परिचित कराता है। इसमें हीरोन के सूत्र का उपयोग करके समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के उदाहरण शामिल हैं, साथ ही दिए गए परिमाप से भुजा की लंबाई ज्ञात करना भी शामिल है। यह अध्याय यह भी बताता है कि कैसे त्रिभुजाकार आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, जिनका उपयोग व्यावहारिक अनुप्रयोगों जैसे कि विज्ञापन के लिए किया जाता है, और किराए की लागत का निर्धारण कैसे किया जाता है।

Learning outcomes

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखें।
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना समझें।
दिए गए परिमाप के आधार पर त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करें।
त्रिभुजाकार आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के व्यावहारिक अनुप्रयोगों को समझें।
विज्ञापन के लिए त्रिभुजाकार दीवारों के किराए की लागत की गणना करें।

Topics covered

Paper topics

हीरोन का सूत्र
त्रिभुज का क्षेत्रफल
समबाहु त्रिभुज
परिमाप
अर्ध-परिमाप
क्षेत्रफल की गणना
व्यावहारिक अनुप्रयोग
विज्ञापन किराया गणना

Important topics

हीरोन के सूत्र का अनुप्रयोग
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
परिमाप से भुजा ज्ञात करना
क्षेत्रफल की व्यावहारिक गणना

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Questions and Solutions

प्रश्नावली 12.1, प्रश्न 1

एक यातायात संकेत बोर्ड पर 'आगे स्कूल है' लिखा है और यह भुजा 'a' वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

Solution:

चूंकि संकेत बोर्ड एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है, इसलिए इसकी तीनों भुजाएँ बराबर होंगी।

माना त्रिभुज की भुजाएँ a, b, और c हैं।

समबाहु त्रिभुज के लिए, a = b = c = 'a' (भुजा की लंबाई)।

हीरोन के सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें पहले अर्ध-परिमाप (s) की गणना करनी होगी:

$s = \frac{a+b+c}{2}$

समबाहु त्रिभुज के लिए,

$s = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$

अब, हीरोन के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करें:

$क्षेत्रफल = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

मान रखने पर:

$क्षेत्रफल = \sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)}$

$क्षेत्रफल = \sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right)}$

$क्षेत्रफल = \sqrt{\frac{3a^4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

यह समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र है।

अब, यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है:

परिमाप = 3 × भुजा

$180 \text{ cm} = 3 \times a$

भुजा (a) = $\frac{180}{3} = 60 \text{ cm}$

अब, इस भुजा की लंबाई का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करें:

$क्षेत्रफल = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (60 \text{ cm})^2$

$क्षेत्रफल = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3600 \text{ cm}^2$

$क्षेत्रफल = 900 \sqrt{3} \text{ cm}^2$

अतः, संकेत बोर्ड का क्षेत्रफल $900 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ होगा।

प्रश्नावली 12.1, प्रश्न 2

किसी फ्रलाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

Solution:

त्रिभुजाकार दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ हैं: a = 122 m, b = 22 m, और c = 120 m।

सबसे पहले, हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करने के लिए त्रिभुज का अर्ध-परिमाप (s) ज्ञात करेंगे:

$s = \frac{a+b+c}{2}$

$s = \frac{122 + 22 + 120}{2} = \frac{264}{2} = 132 \text{ m}$

अब, हीरोन के सूत्र का उपयोग करके दीवार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

$क्षेत्रफल = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

मान रखने पर:

$क्षेत्रफल = \sqrt{132(132-122)(132-22)(132-120)}$

$क्षेत्रफल = \sqrt{132(10)(110)(12)}$

गुणनखंड करने पर:

$क्षेत्रफल = \sqrt{(12 \times 11) \times 10 \times (11 \times 10) \times 12}$

$क्षेत्रफल = \sqrt{12^2 \times 11^2 \times 10^2}$

$क्षेत्रफल = 12 \times 11 \times 10 = 1320 \text{ m}^2$

दीवार का क्षेत्रफल 1320 m² है।

विज्ञापन से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति m² की दर से आय होती है।

वार्षिक आय = क्षेत्रफल × दर प्रति वर्ष

वार्षिक आय = $1320 \text{ m}^2 \times 5000 \text{ रु/m}^2 = 66,00,000$ रु

कम्पनी ने दीवार को 3 महीने के लिए किराए पर लिया है। चूँकि 1 वर्ष में 12 महीने होते हैं, 3 महीने 1 वर्ष का $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ भाग है।

3 महीने के लिए किराया = वार्षिक आय का $\frac{1}{4}$

3 महीने का किराया = $\frac{1}{4} \times 66,00,000$ रु

3 महीने का किराया = $16,50,000$ रु

अतः, कम्पनी ने 3 महीने के लिए ₹16,50,000 का किराया दिया।

Common mistakes

अर्ध-परिमाप (s) की गणना में त्रुटियाँ करना।
हीरोन के सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते समय अंकगणितीय त्रुटियाँ।
इकाइयों (जैसे m² या cm²) को सही ढंग से न लिखना या परिवर्तित न करना।
परिमाप और अर्ध-परिमाप के बीच भ्रमित होना।

Revision tips

हीरोन के सूत्र को याद करें: क्षेत्रफल = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}।
अर्ध-परिमाप (s) की गणना का अभ्यास करें।
प्रत्येक प्रश्न के लिए इकाईयों पर ध्यान दें।
व्यावहारिक अनुप्रयोगों वाले प्रश्नों को हल करने के लिए अतिरिक्त अभ्यास करें।

Practice MCQs

Q1. हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें पहले क्या गणना करनी चाहिए?

Q2. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 'a' है। हीरोन के सूत्र से इसका क्षेत्रफल क्या है?

Q3. यदि एक त्रिभुजाकार दीवार का परिमाप 180 cm है और यह समबाहु है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी?

Q4. एक त्रिभुज की भुजाएँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। इसका अर्ध-परिमाप (s) क्या है?

Q5. यदि विज्ञापन के लिए प्रति वर्ष ₹5000 प्रति m² की दर से किराया लिया जाता है, तो 3 महीने के लिए कितना किराया देना होगा?

Frequently asked questions

हीरोन का सूत्र क्या है?

हीरोन का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक तरीका है जब उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। सूत्र है: क्षेत्रफल = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं और s अर्ध-परिमाप है।

अर्ध-परिमाप (s) की गणना कैसे की जाती है?

अर्ध-परिमाप (s) त्रिभुज के परिमाप का आधा होता है। इसकी गणना s = (a+b+c)/2 सूत्र से की जाती है, जहाँ a, b, और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।

क्या हीरोन का सूत्र केवल समबाहु त्रिभुजों के लिए है?

नहीं, हीरोन का सूत्र किसी भी प्रकार के त्रिभुज (समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु, समकोण) के क्षेत्रफल की गणना के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, बशर्ते उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो।

प्रश्नावली 12.1 में विज्ञापन के लिए किराए की गणना कैसे की गई है?

किराए की गणना विज्ञापन के लिए उपयोग की जाने वाली त्रिभुजाकार दीवार के क्षेत्रफल और विज्ञापन की दर पर आधारित होती है। दर को प्रति वर्ष दिया गया है, इसलिए इसे किराए पर लिए गए महीनों के अनुसार समायोजित किया जाता है (जैसे 3 महीने के लिए 1/4)।

कक्षा 9 के लिए हीरोन के सूत्र के समाधान क्यों महत्वपूर्ण हैं?

ये समाधान छात्रों को हीरोन के सूत्र को समझने और लागू करने में मदद करते हैं, जो ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा है। यह परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में भी उपयोगी है।

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