कक्षा 9 गणित: अध्याय 2 बहुपद के NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 9 गणित के अध्याय 2 'बहुपद' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें एक चर में बहुपद की पहचान करना, बहुपदों में x^2 के गुणांक ज्ञात करना, विभिन्न घातों वाले द्विपद और एकपदी के उदाहरण देना, और बहुपदों की घात निर्धारित करना शामिल है। प्रत्येक प्रश्न का समाधान स्पष्ट चरणों और संक्षिप्त स्पष्टीकरण के साथ प्रदान किया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने और परीक्षा की तैयारी में सहायता मिलती है। ये समाधान छात्रों को बीजगणितीय व्यंजकों की मूल बातें मजबूत करने में मदद करते हैं।

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Quick info

BoardCBSE
ClassClass 9
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter2. बहुपद

Chapter summary

कक्षा 9 गणित के अध्याय 2 'बहुपद' के लिए NCERT समाधान छात्रों को बहुपद की अवधारणाओं से परिचित कराते हैं। इसमें एक चर में बहुपद की पहचान करना, चर की घातों के आधार पर वर्गीकरण, x^2 जैसे विशिष्ट पदों के गुणांक ज्ञात करना, और द्विपद व एकपदी के उदाहरण देना सिखाया गया है। साथ ही, बहुपदों की उच्चतम घात ज्ञात करने का तरीका भी समझाया गया है। यह अध्याय बीजगणितीय व्यंजकों की समझ के लिए एक मजबूत आधार प्रदान करता है।

Learning outcomes

  • एक चर में बहुपद की पहचान करना सीखें।
  • बहुपद में x^2 के गुणांक को पहचानें और लिखें।
  • दी गई घात के द्विपद और एकपदी के उदाहरण दें।
  • दिए गए बहुपद की घात निर्धारित करें।

Topics covered

Paper topics

  • बहुपद की परिभाषा
  • एक चर में बहुपद
  • बहुपद में गुणांक
  • बहुपद की घात
  • द्विपद
  • एकपदी
  • भिन्नात्मक घात
  • ऋणात्मक घात

Important topics

  • एक चर में बहुपद की पहचान
  • x^2 का गुणांक ज्ञात करना
  • बहुपद की घात निर्धारित करना
  • द्विपद और एकपदी के उदाहरण

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

निम्नलिखित व्यंजकों में से कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? अपने उत्तर के कारण भी दीजिए:

(i) 4x^2 - 3x + 7

(ii) y^2 + \sqrt{2}

(iii) 3\sqrt{t} + t\sqrt{2}

(iv) y + 2/y

(v) x^{10} + y^3 + t^{50}

Solution:

एक चर में बहुपद होने के लिए, व्यंजक में केवल एक चर होना चाहिए और उस चर की सभी घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (अर्थात, 0, 1, 2, 3, ...) होनी चाहिए।

(i) 4x^2 - 3x + 7

यह एक चर (x) में बहुपद है क्योंकि चर x की सभी घातें (2 और 1) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

(ii) y^2 + \sqrt{2}

यह एक चर (y) में बहुपद है क्योंकि चर y की घात (2) एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

(iii) 3\sqrt{t} + t\sqrt{2}

यह एक चर में बहुपद नहीं है। इसका कारण यह है कि पद 3\sqrt{t} को 3t^{1/2} के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ चर t की घात 1/2 है, जो एक भिन्नात्मक संख्या है, न कि एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक।

(iv) y + 2/y

यह एक चर में बहुपद नहीं है। इसे y + 2y^{-1} के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ चर y की घात -1 है, जो एक ऋणात्मक संख्या है।

(v) x^{10} + y^3 + t^{50}

यह एक चर में बहुपद नहीं है। इसमें तीन अलग-अलग चर (x, y, और t) हैं, इसलिए यह तीन चर में एक बहुपद है।

प्रश्न 2

निम्नलिखित में से प्रत्येक बहुपद में x^2 का गुणांक लिखिए:

(i) 2 + x^2 + x

(ii) 2 - x^2 + x^3

(iii) \pi/2 x^2 + x

(iv) \sqrt{2}x - 1

Solution:

किसी बहुपद में x^2 का गुणांक वह संख्या होती है जो x^2 पद के साथ गुणा के रूप में होती है।

(i) 2 + x^2 + x

इस बहुपद में, x^2 पद +1 \cdot x^2 है। इसलिए, x^2 का गुणांक 1 है।

(ii) 2 - x^2 + x^3

इस बहुपद में, x^2 पद -1 \cdot x^2 है। इसलिए, x^2 का गुणांक -1 है।

(iii) \pi/2 x^2 + x

इस बहुपद में, x^2 पद (\pi/2) \cdot x^2 है। इसलिए, x^2 का गुणांक \pi/2 है।

(iv) \sqrt{2}x - 1

इस बहुपद में x^2 का पद मौजूद नहीं है। इसे 0 \cdot x^2 + \sqrt{2}x - 1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, x^2 का गुणांक 0 है।

प्रश्न 3

35 घात के एक द्विपद का और 100 घात के एक एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
Solution:

एक द्विपद (Binomial) वह बहुपद होता है जिसमें ठीक दो पद होते हैं। एक एकपदी (Monomial) वह बहुपद होता है जिसमें केवल एक पद होता है। घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।

35 घात का एक द्विपद:

हमें एक ऐसा बहुपद लिखना है जिसमें दो पद हों और चर की उच्चतम घात 35 हो। उदाहरण के लिए:

2x^{35} + 5

यहाँ दो पद हैं (2x^35 और 5) और चर x की उच्चतम घात 35 है।

100 घात का एक एकपदी:

हमें एक ऐसा बहुपद लिखना है जिसमें केवल एक पद हो और चर की उच्चतम घात 100 हो। उदाहरण के लिए:

7y^{100}

यहाँ केवल एक पद है (7y^100) और चर y की उच्चतम घात 100 है।

प्रश्न 4

निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक की घात लिखिए:

(i) 5x^3 + 4x^2 + 7x

(ii) 4 - y^2

(iii) 5t - \sqrt{7}

(iv) 3

Solution:

किसी बहुपद की घात उसके सभी पदों में चर की उच्चतम घात होती है।

(i) 5x^3 + 4x^2 + 7x

इस बहुपद के पदों में चर x की घातें क्रमशः 3, 2 और 1 हैं। इनमें से उच्चतम घात 3 है। अतः, इस बहुपद की घात 3 है।

(ii) 4 - y^2

इस बहुपद के पदों में चर y की घातें क्रमशः 0 (क्योंकि 4 को 4y^0 लिखा जा सकता है) और 2 हैं। इनमें से उच्चतम घात 2 है। अतः, इस बहुपद की घात 2 है।

(iii) 5t - \sqrt{7}

इस बहुपद के पदों में चर t की घातें क्रमशः 1 और 0 (क्योंकि \sqrt{7} को \sqrt{7}t^0 लिखा जा सकता है) हैं। इनमें से उच्चतम घात 1 है। अतः, इस बहुपद की घात 1 है।

(iv) 3

यह एक अचर बहुपद है। इसे 3t^0 (या 3x^0, आदि) के रूप में लिखा जा सकता है। चर की घात 0 है। अतः, इस बहुपद की घात 0 है।

Common mistakes

  • चर की घात को प्राकृत संख्या (पूर्ण संख्या) न होने पर बहुपद न मानना।
  • ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातों को बहुपद के लिए अमान्य समझना।
  • एक चर वाले बहुपद की पहचान में गलती करना जब कई चर मौजूद हों।
  • x^2 पद की अनुपस्थिति में उसका गुणांक शून्य मानने में संकोच करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के समाधान में दिए गए कारणों पर ध्यान दें, खासकर बहुपद की परिभाषा से संबंधित।
  • गुणांक लिखते समय चिन्हों (+/-) का विशेष ध्यान रखें।
  • घात लिखते समय बहुपद के सभी पदों की घातों की तुलना करें और उच्चतम घात चुनें।
  • द्विपद और एकपदी के उदाहरण बनाते समय पदों की संख्या और घात की शर्तों को याद रखें।

Practice MCQs

Q1. निम्नलिखित में से कौन सा एक चर में बहुपद है?

Q2. व्यंजक 2 - x^2 + x^3 में x^2 का गुणांक क्या है?

Q3. 35 घात वाले एक द्विपद का उदाहरण दीजिए।

Q4. बहुपद 5x^3 + 4x^2 + 7x की घात क्या है?

Q5. निम्नलिखित में से कौन सा एक चर में बहुपद नहीं है?

Frequently asked questions

कक्षा 9 गणित में 'बहुपद' अध्याय क्या है?

यह अध्याय बीजगणितीय व्यंजकों से संबंधित है, विशेष रूप से उन व्यंजकों पर ध्यान केंद्रित करता है जहाँ चर की घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। इसमें बहुपद की पहचान, उनकी घात, गुणांक और विभिन्न प्रकार के बहुपद जैसे एकपदी और द्विपद शामिल हैं।

एक चर में बहुपद का क्या मतलब है?

एक चर में बहुपद एक ऐसा बीजगणितीय व्यंजक होता है जिसमें केवल एक ही चर (जैसे x, y, या t) का उपयोग होता है और उस चर की सभी घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं।

बहुपद की घात कैसे ज्ञात करते हैं?

बहुपद की घात उसके सभी पदों में चर की उच्चतम घात होती है। उदाहरण के लिए, 5x^3 + 4x^2 + 7x में, उच्चतम घात 3 है, इसलिए बहुपद की घात 3 है।

क्या ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात वाले व्यंजक बहुपद होते हैं?

नहीं, यदि किसी व्यंजक में चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक (जैसे 1/2) है, तो वह बहुपद नहीं कहलाता है। बहुपद के लिए चर की घात हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (0, 1, 2, 3,...) होनी चाहिए।

द्विपद और एकपदी में क्या अंतर है?

एकपदी एक ऐसा बहुपद होता है जिसमें केवल एक पद होता है (जैसे 3x या 5y^2)। द्विपद एक ऐसा बहुपद होता है जिसमें ठीक दो पद होते हैं (जैसे x + 5 या 2y^2 - 3)।

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