कक्षा 9 गणित NCERT समाधान: अध्याय 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

(i) असत्य। एक दिए गए बिंदु से होकर अनंत संख्या में रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यह यूक्लिड की अभिधारणाओं के विपरीत है।

(ii) असत्य। दो भिन्न बिंदुओं से होकर केवल एक और केवल एक ही अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है। यह यूक्लिड की अभिधारणाओं में से एक है।

(iii) सत्य। यूक्लिड की अभिधारणाओं के अनुसार, एक सांत (सीमित) रेखाखंड को दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

(iv) सत्य। यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो इसका अर्थ है कि वे एक दूसरे पर पूरी तरह से अध्यारोपित हो सकते हैं। इसके लिए उनकी त्रिज्याएँ बराबर होनी चाहिए।

(v) सत्य। यह समानता (equality) के संकर्मक गुण (transitive property) को दर्शाता है। यदि रेखाखंड AB की लंबाई रेखाखंड PQ की लंबाई के बराबर है, और PQ की लंबाई XY की लंबाई के बराबर है, तो AB की लंबाई XY की लंबाई के बराबर होगी।

(i) समांतर रेखाएँ: वे दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हों और एक दूसरे को कभी प्रतिच्छेद न करें, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं। इसका अर्थ है कि उनके बीच की लंबवत दूरी सदैव स्थिर रहती है।

(ii) लम्ब रेखाएँ: दो रेखाएँ एक दूसरे पर लम्ब कहलाती हैं यदि वे एक दूसरे को समकोण (90°) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(iii) रेखाखंड: एक रेखा का वह भाग जिसके दो अंत बिंदु होते हैं, रेखाखंड कहलाता है।

(iv) वृत्त की त्रिज्या: वृत्त के केंद्र से उसकी परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु तक की दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहते हैं।

(v) वर्ग: एक वर्ग एक चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं और चारों कोण समकोण (90°) होते हैं।

परिभाषित करने की आवश्यकता वाले पद:

इन परिभाषाओं में 'रेखा', 'तल', 'बिंदु', 'प्रतिच्छेद करना', 'दूरी', 'समकोण', 'चतुर्भुज', 'भुजा' और 'कोण' जैसे पद अपरिभाषित (undefined) हैं। यूक्लिड ने इन्हें मूल अवधारणाओं के रूप में लिया है। उदाहरण के लिए, 'रेखा' को लंबाई वाली एक चौड़ाई रहित विस्तार के रूप में समझा जा सकता है, और 'बिंदु' को एक स्थिति के रूप में समझा जा सकता है जिसका कोई आयाम नहीं होता।

ये दोनों कथन यूक्लिड की अभिधारणाओं के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं।

(i) यह अभिधारणा ज्यामिति में बिंदुओं की निरंतरता (continuity) को दर्शाती है। यह बताती है कि किन्हीं दो बिंदुओं के बीच हमेशा एक तीसरा बिंदु मौजूद होता है।

(ii) यह अभिधारणा बताती है कि एक तल में कम से कम तीन अ-संरेख (non-collinear) बिंदु मौजूद होते हैं। यह ज्यामितीय आकृतियों के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है जो रेखाएँ नहीं हैं, जैसे त्रिभुज।

ये दोनों अभिधारणाएँ सुसंगत (consistent) हैं और एक दूसरे का खंडन नहीं करतीं। ये ज्यामितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आधार प्रदान करती हैं।

दिया है : बिंदु C, A और B के बीच स्थित है, और $AC\; =\; BC$ है।

सिद्ध करना है : $AC\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}AB$

प्रमाण :

चूंकि बिंदु C, A और B के बीच स्थित है, इसलिए रेखाखंड AB की लंबाई AC और BC की लंबाइयों के योग के बराबर होगी।

$$AC\; +\; BC\; =\; AB$$

हमें दिया गया है कि $AC\; =\; BC$। इसलिए, हम BC के स्थान पर AC का प्रयोग कर सकते हैं:

$$AC\; +\; AC\; =\; AB$$

इसे सरल करने पर:

$$2AC\; =\; AB$$

अब, दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर:

$$AC\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}AB$$

अतः, सिद्ध हुआ।

आकृति:

(यहाँ एक रेखाखंड AB खींचा जाएगा, जिसके मध्य बिंदु C को दर्शाया जाएगा। AC और BC की लंबाई बराबर दिखाई जाएगी।)