कक्षा 9 गणित के लिए NCERT समाधान: अध्याय 6 - रेखाएँ और कोण
यह पृष्ठ कक्षा 9 गणित के अध्याय 6, 'रेखाएँ और कोण' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें अभ्यास 6.1 के प्रश्नों को हल किया गया है, जिसमें प्रतिच्छेदी रेखाओं, शीर्षाभिमुख कोणों, रैखिक युग्मों और कोणों के योग जैसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणाओं पर ध्यान केंद्रित किया गया है। प्रत्येक प्रश्न का हल चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण के साथ प्रदान किया गया है, जिससे छात्रों को इन अवधारणाओं को गहराई से समझने में मदद मिलती है। यह संसाधन छात्रों को परीक्षा की तैयारी के लिए एक मजबूत आधार बनाने और ज्यामिति में अपनी समस्या-समाधान कौशल को बेहतर बनाने में सहायता करता है।
Quick info
| Board | CBSE |
|---|---|
| Class | Class 9 |
| Subject | गणित |
| Session | 2026 |
| Language | Hindi |
| Type | NCERT Solutions |
| Chapter | 6. रेखाएँ और कोण |
Chapter summary
अध्याय 6, 'रेखाएँ और कोण' के लिए NCERT समाधान, अभ्यास 6.1 पर केंद्रित हैं। ये समाधान छात्रों को प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले कोणों, विशेष रूप से शीर्षाभिमुख कोणों और रैखिक युग्मों की पहचान और गणना करने में मार्गदर्शन करते हैं। इसमें दिए गए कोणों के योग का उपयोग करके अज्ञात कोणों को ज्ञात करने की विधियाँ शामिल हैं। यह अभ्यास छात्रों की ज्यामितीय तर्क और कोणों के गुणों की समझ को मजबूत करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
Learning outcomes
- प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले शीर्षाभिमुख कोणों की पहचान करना और उनका उपयोग करना।
- रैखिक युग्म के गुण का उपयोग करके आसन्न कोणों की गणना करना।
- दिए गए कोणों के योग का उपयोग करके अज्ञात कोणों का मान ज्ञात करना।
- प्रतिवर्ती कोण की अवधारणा को समझना और उसकी गणना करना।
- ज्यामितीय आकृतियों में कोणों के बीच संबंधों का विश्लेषण करना।
Topics covered
Paper topics
- रेखाएँ और कोण
- प्रतिच्छेदी रेखाएँ
- शीर्षाभिमुख कोण
- रैखिक युग्म
- आसन्न कोण
- कोणों का योग
- प्रतिवर्ती कोण
- ज्यामितीय आकृतियाँ
- कोणों के गुण
- अनुपात और कोण
Important topics
- शीर्षाभिमुख कोणों की पहचान और गुण
- रैखिक युग्म का उपयोग करके कोणों की गणना
- प्रतिवर्ती कोणों की अवधारणा और गणना
- दिए गए अनुपात से कोणों का मान ज्ञात करना
- सरल रेखा पर कोणों का योग
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Questions and Solutions
प्रश्न 1
आकृति 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle$AOC + $\angle$BOE = 70° है और $\angle$BOD = 40° है तो $\angle$BOE और प्रतिवर्ती $\angle$COE ज्ञात कीजिए।
हमें दिया गया है कि रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
दिया है: $\angle$AOC + $\angle$BOE = 70°
और $\angle$BOD = 40°
चूँकि रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए, $\angle$AOC = $\angle$BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
चूँकि $\angle$BOD = 40°, तो $\angle$AOC = 40°।
अब, दिए गए समीकरण $\angle$AOC + $\angle$BOE = 70° में $\angle$AOC का मान रखने पर:
40° + $\angle$BOE = 70°
$\angle$BOE = 70° - 40°
$\angle$BOE = 30°
इसके अतिरिक्त, रेखा AB एक सीधी रेखा है। इसलिए, रेखा AB पर स्थित कोणों का योग 180° होगा (रैखिक युग्म)।
$\angle$AOC + $\angle$COE + $\angle$BOE = 180°
हमें $\angle$AOC = 40° और $\angle$BOE = 30° ज्ञात है। इन मानों को समीकरण में रखने पर:
40° + $\angle$COE + 30° = 180°
$\angle$COE + 70° = 180°
$\angle$COE = 180° - 70°
$\angle$COE = 110°
अब हमें प्रतिवर्ती $\angle$COE ज्ञात करना है। प्रतिवर्ती कोण की गणना 360° में से मूल कोण को घटाकर की जाती है।
प्रतिवर्ती $\angle$COE = 360° - $\angle$COE
प्रतिवर्ती $\angle$COE = 360° - 110°
प्रतिवर्ती $\angle$COE = 250°
अतः, $\angle$BOE = 30° और प्रतिवर्ती $\angle$COE = 250°।
प्रश्न 2
आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle$POY = 90° और $a:b = 2:3$ है तो $c$ ज्ञात कीजिए।
हमें दिया गया है कि रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
दिया है: $\angle$POY = 90°
और कोणों का अनुपात $a:b = 2:3$ है।
चूँकि रेखा XY एक सीधी रेखा है, इस पर बने कोणों का योग 180° होगा (रैखिक युग्म)।
इसलिए, $\angle$XOP + $\angle$POY = 180°
यहाँ, $\angle$XOP कोण $a$ और $b$ से मिलकर बना है, अर्थात $\angle$XOP = $a + b$।
तो, $a + b + \angle$POY = 180°
हमें $\angle$POY = 90° दिया गया है।
$a + b + 90° = 180°
$a + b = 180° - 90°
$a + b = 90°
अब, हमें $a:b = 2:3$ दिया गया है। मान लीजिए $a = 2x$ और $b = 3x$।
इन मानों को $a + b = 90°$ में रखने पर:
$2x + 3x = 90°
$5x = 90°
$x = \frac{90°}{5}
$x = 18°
अब हम $a$ और $b$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:
$a = 2x = 2 \times 18° = 36°
$b = 3x = 3 \times 18° = 54°
हमें कोण $c$ ज्ञात करना है। कोण $c$ और कोण $a$ शीर्षाभिमुख कोण हैं क्योंकि वे रेखाएँ XY और MN के प्रतिच्छेदन से बनते हैं।
इसलिए, $c = a$ (शीर्षाभिमुख कोण)
चूँकि $a = 36°$, तो $c = 36°।
अतः, $c = 36°।
Common mistakes
- शीर्षाभिमुख कोणों और रैखिक युग्मों के बीच भ्रमित होना।
- कोणों के योग की गणना में अंकगणितीय त्रुटियाँ करना।
- प्रतिवर्ती कोण की गणना करते समय 360° से घटाना भूल जाना।
- दिए गए अनुपात को कोणों में सही ढंग से परिवर्तित न कर पाना।
Revision tips
- प्रत्येक प्रश्न को हल करने से पहले संबंधित ज्यामितीय गुणों (जैसे शीर्षाभिमुख कोण, रैखिक युग्म) को दोहराएँ।
- हल किए गए प्रत्येक चरण के पीछे के तर्क को समझने पर ध्यान केंद्रित करें।
- आकृतियों को ध्यान से देखें और दिए गए कोणों और ज्ञात कोणों के बीच संबंधों को पहचानें।
- प्रतिवर्ती कोणों की गणना के लिए 360° के पूर्ण कोण की अवधारणा को याद रखें।
- अभ्यास के लिए समान प्रकार की अतिरिक्त समस्याएँ हल करें।
Practice MCQs
Q1. जब दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो बनने वाले विपरीत कोणों को क्या कहा जाता है?
Explanation: जब दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं, तो वे शीर्ष पर आमने-सामने बनने वाले कोणों का एक जोड़ा बनाती हैं, जिन्हें शीर्षाभिमुख कोण कहा जाता है। ये कोण हमेशा बराबर होते हैं।
Q2. यदि एक सीधी रेखा पर दो आसन्न कोणों का योग 180° है, तो इन कोणों के युग्म को क्या कहा जाता है?
Explanation: एक सीधी रेखा पर बने दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है, और इस युग्म को रैखिक युग्म कहा जाता है।
Q3. यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° और ∠AOC = 40° है, तो ∠BOE का मान क्या होगा?
Explanation: चूंकि ∠AOC और ∠BOD शीर्षाभिमुख कोण हैं, ∠BOD = 40°। दिए गए समीकरण ∠AOC + ∠BOE = 70° में ∠AOC का मान रखने पर, 40° + ∠BOE = 70°, जिससे ∠BOE = 30° प्राप्त होता है।
Q4. एक कोण का प्रतिवर्ती कोण ज्ञात करने के लिए, उसे किस मान से घटाया जाता है?
Explanation: किसी कोण का प्रतिवर्ती कोण वह कोण होता है जो 360° में से उस मूल कोण को घटाने पर प्राप्त होता है। यह मूल कोण के चारों ओर का शेष भाग होता है।
Q5. यदि दो रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, ∠POY = 90° और ∠a: ∠b = 2: 3 है, तो ∠a का मान क्या है?
Explanation: चूंकि XOY एक सीधी रेखा है, ∠a + ∠b + ∠POY = 180°। ∠POY = 90° रखने पर, ∠a + ∠b = 90°। यदि ∠a = 2x और ∠b = 3x, तो 5x = 90°, जिससे x = 18°। अतः ∠a = 2 * 18° = 36°।
Frequently asked questions
कक्षा 9 गणित के अध्याय 6 'रेखाएँ और कोण' में कौन सी मुख्य अवधारणाएँ शामिल हैं?
इस अध्याय में मुख्य रूप से प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले कोणों, जैसे शीर्षाभिमुख कोण और रैखिक युग्म, तथा कोणों के योग और प्रतिवर्ती कोणों की गणना जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं।
अभ्यास 6.1 के प्रश्नों को हल करने के लिए किन ज्यामितीय गुणों का उपयोग किया जाता है?
अभ्यास 6.1 के प्रश्नों को हल करने के लिए शीर्षाभिमुख कोणों की समानता और एक सीधी रेखा पर बने कोणों के योग (रैखिक युग्म) के गुण का उपयोग किया जाता है।
प्रतिवर्ती कोण क्या होता है और इसकी गणना कैसे की जाती है?
प्रतिवर्ती कोण वह कोण होता है जो 360° में से मूल कोण को घटाने पर प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक कोण 110° है, तो उसका प्रतिवर्ती कोण 360° - 110° = 250° होगा।
क्या ये समाधान परीक्षा की तैयारी में मदद करेंगे?
हाँ, ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और ज्यामिति में समस्या-समाधान कौशल को बेहतर बनाने में मदद मिलती है, जो परीक्षा की तैयारी के लिए महत्वपूर्ण है।
यदि कोणों का अनुपात दिया गया हो तो अज्ञात कोणों की गणना कैसे करें?
यदि कोणों का अनुपात दिया गया है, तो प्रत्येक कोण को अनुपात के पदों में एक चर (जैसे 2x, 3x) के रूप में व्यक्त करें। फिर, कोणों के योग के ज्ञात गुण (जैसे रैखिक युग्म) का उपयोग करके समीकरण बनाएं और चर का मान ज्ञात करें, जिससे प्रत्येक कोण का मान निकाला जा सके।
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