कक्षा 9 गणित: अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन NCERT समाधान
यह पृष्ठ कक्षा 9 गणित के अध्याय 13, 'पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें घनाभ और घन जैसे त्रि-आयामी आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना से संबंधित अभ्यास 13.1 के प्रश्नों को हल किया गया है। समाधानों में प्लास्टिक के डिब्बे के लिए आवश्यक शीट की गणना, दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात करना, और हॉल की ऊँचाई का पता लगाना शामिल है। प्रत्येक प्रश्न के हल को स्पष्ट चरणों और आवश्यक सूत्रों के साथ समझाया गया है, जिससे छात्रों को इन अवधारणाओं को समझने और परीक्षा की तैयारी में मदद मिलती है।
Quick info
| Board | CBSE |
|---|---|
| Class | Class 9 |
| Subject | गणित |
| Session | 2026 |
| Language | Hindi |
| Type | NCERT Solutions |
| Chapter | 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन |
Chapter summary
कक्षा 9 गणित के अध्याय 13 'पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन' के लिए यह NCERT समाधान अभ्यास 13.1 पर केंद्रित है। इसमें घनाभ (जैसे डिब्बे, कमरे) के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना से संबंधित समस्याओं को हल किया गया है। समाधानों में खुले डिब्बे के लिए आवश्यक सामग्री की गणना, दीवारों और छत की सफेदी की लागत का निर्धारण, और हॉल की ऊँचाई ज्ञात करना शामिल है। यह अभ्यास छात्रों को पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों को लागू करने और वास्तविक जीवन की स्थितियों में उनका उपयोग करने का अभ्यास कराता है।
Learning outcomes
- खुले और बंद घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करना सीखें।
- दीवारों और छत सहित घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने का अभ्यास करें।
- दिए गए क्षेत्रफल और दर के आधार पर लागत की गणना करना समझें।
- परिमाप, लागत और दर का उपयोग करके घनाभ की ऊँचाई ज्ञात करना सीखें।
Topics covered
Paper topics
- घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
- खुले घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
- घनाभ की दीवारों और छत का क्षेत्रफल
- क्षेत्रफल की गणना
- लागत की गणना
- आयताकार हॉल का परिमाप
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
- ऊँचाई ज्ञात करना
Important topics
- खुले घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
- दीवारों और छत का क्षेत्रफल
- क्षेत्रफल और लागत के बीच संबंध
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और परिमाप से ऊँचाई ज्ञात करना
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Questions and Solutions
प्रश्न 1
- डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
- इस शीट का मूल्य, यदि 1 m² शीट का मूल्य ₹20 है।
डिब्बे की विमाएँ इस प्रकार हैं:
लंबाई (l) = 1.5 m
चौड़ाई (b) = 1.25 m
ऊँचाई (h) = 65 cm = 0.65 m
चूंकि डिब्बा ऊपर से खुला है, इसलिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल के योग के बराबर होगा।
आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल
= 2h(l+b) + lb
मान रखने पर:
= 2 \times 0.65 \text{ m} \times (1.5 \text{ m} + 1.25 \text{ m}) + (1.5 \text{ m} \times 1.25 \text{ m})
= 1.3 \text{ m} \times (2.75 \text{ m}) + 1.875 \text{ m}^2
= 3.575 \text{ m}^2 + 1.875 \text{ m}^2
= 5.45 \text{ m}^2
अतः, डिब्बा बनाने के लिए 5.45 m² प्लास्टिक शीट की आवश्यकता होगी।
अब, शीट का मूल्य ज्ञात करते हैं:
1 m² शीट का मूल्य = ₹20
5.45 m² शीट का मूल्य = 5.45 \times 20 रुपए
= 109 रुपए
उत्तर:
1. आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल 5.45 m² है।
2. शीट का मूल्य ₹109 है।
प्रश्न 2
कमरे की विमाएँ इस प्रकार हैं:
लंबाई (l) = 5 m
चौड़ाई (b) = 4 m
ऊँचाई (h) = 3 m
कमरे की दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम दीवारों के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल में आधार के क्षेत्रफल को जोड़ेंगे।
दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l+b)
= 2 \times 3 \text{ m} \times (5 \text{ m} + 4 \text{ m})
= 6 \text{ m} \times 9 \text{ m}
= 54 \text{ m}^2
छत का क्षेत्रफल = l \times b
= 5 \text{ m} \times 4 \text{ m}
= 20 \text{ m}^2
अतः, दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल = दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 54 \text{ m}^2 + 20 \text{ m}^2
= 74 \text{ m}^2
अब, सफेदी कराने का व्यय ज्ञात करते हैं:
सफेदी कराने की दर = ₹7.50 प्रति m²
कुल व्यय = कुल क्षेत्रफल × दर
= 74 \text{ m}^2 \times 7.50 \text{ रुपए/m}^2
= 555 रुपए
उत्तर: कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ₹555 है।
प्रश्न 3
[संकेत: चारों दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल]
दी गई जानकारी के अनुसार:
फर्श का परिमाप = 250 m
पेंट कराने की दर = ₹10 प्रति m²
चारों दीवारों पर पेंट कराने की कुल लागत = ₹15000
हम जानते हैं कि कुल लागत = क्षेत्रफल × दर।
इसलिए, चारों दीवारों का क्षेत्रफल (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल) ज्ञात करने के लिए, हम कुल लागत को दर से विभाजित करेंगे।
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}}
= \frac{15000 \text{ रुपए}}{10 \text{ रुपए/m}^2}
= 1500 \text{ m}^2
अब, हम जानते हैं कि घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आधार के परिमाप और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × ऊँचाई
हमें पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (1500 m²) और आधार का परिमाप (250 m) ज्ञात है। हम ऊँचाई (h) ज्ञात कर सकते हैं।
1500 \text{ m}^2 = 250 \text{ m} \times h
ऊँचाई (h) = \frac{1500 \text{ m}^2}{250 \text{ m}}
= 6 \text{ m}
उत्तर: इस हॉल की ऊँचाई 6 m है।
Common mistakes
- ऊँचाई को सेंटीमीटर से मीटर में परिवर्तित न करना।
- खुले डिब्बे के लिए क्षेत्रफल की गणना करते समय आधार के क्षेत्रफल को शामिल करना या न करना भूल जाना।
- दीवारों और छत के क्षेत्रफल की गणना के लिए सही सूत्र का उपयोग न करना।
- गणनाओं में इकाई (जैसे m², रुपए) का ध्यान न रखना।
Revision tips
- प्रत्येक प्रश्न के लिए उपयोग किए गए सूत्र को पहचानें और उसे अलग से लिखें।
- सेंटीमीटर को मीटर जैसी इकाइयों के रूपांतरण पर विशेष ध्यान दें।
- खुले डिब्बे के लिए क्षेत्रफल की गणना करते समय, आधार के क्षेत्रफल को जोड़ना या न जोड़ना याद रखें।
- लागत की गणना करते समय, क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर दर से गुणा करना सुनिश्चित करें।
Practice MCQs
Q1. एक प्लास्टिक के खुले डिब्बे की लंबाई 1.5 m, चौड़ाई 1.25 m और ऊँचाई 0.65 m है। डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल क्या है?
Explanation: खुले डिब्बे के लिए आवश्यक क्षेत्रफल = 2h(l+b) + lb = 2(0.65)(1.5+1.25) + (1.5)(1.25) = 1.3(2.75) + 1.875 = 3.575 + 1.875 = 5.45 m²।
Q2. एक कमरे की लंबाई 5 m, चौड़ाई 4 m और ऊँचाई 3 m है। दीवारों और छत पर सफेदी कराने का कुल क्षेत्रफल कितना है?
Explanation: दीवारों और छत का क्षेत्रफल = 2h(l+b) + lb = 2(3)(5+4) + (5)(4) = 6(9) + 20 = 54 + 20 = 74 m²।
Q3. यदि दीवारों और छत पर सफेदी कराने की दर ₹7.50 प्रति m² है और कुल क्षेत्रफल 74 m² है, तो कुल व्यय क्या होगा?
Explanation: कुल व्यय = क्षेत्रफल × दर = 74 m² × ₹7.50/m² = ₹555।
Q4. एक आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत ₹15000 है और दर ₹10 प्रति m² है, तो हॉल का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
Explanation: पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = कुल लागत / दर = ₹15000 / ₹10/m² = 1500 m²।
Q5. एक आयताकार हॉल का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 1500 m² है और फर्श का परिमाप 250 m है। हॉल की ऊँचाई क्या है?
Explanation: ऊँचाई = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल / परिमाप = 1500 m² / 250 m = 6 m।
Frequently asked questions
कक्षा 9 गणित के अध्याय 13 में कौन सी मुख्य आकृतियों का अध्ययन किया गया है?
कक्षा 9 गणित के अध्याय 13 'पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन' में मुख्य रूप से घनाभ (cuboid) और घन (cube) जैसी त्रि-आयामी आकृतियों का अध्ययन किया गया है, विशेष रूप से उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन से संबंधित।
अभ्यास 13.1 में किस प्रकार की समस्याओं को हल किया गया है?
अभ्यास 13.1 में मुख्य रूप से घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना से संबंधित समस्याएं हैं, जैसे कि खुले डिब्बे के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल, दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय, और दिए गए परिमाप व लागत से हॉल की ऊँचाई ज्ञात करना।
खुले डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं?
एक खुले डिब्बे (जिसका ऊपरी सतह खुला हो) का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में से आधार के क्षेत्रफल को घटा देते हैं, या सीधे सूत्र 2h(l+b) + lb का उपयोग करते हैं, जहाँ l लंबाई, b चौड़ाई और h ऊँचाई है।
दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय कैसे निकालते हैं?
दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय निकालने के लिए, पहले दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल (2h(l+b) + lb) ज्ञात किया जाता है, और फिर उस क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर सफेदी कराने की दर से गुणा किया जाता है।
क्या इन समाधानों से परीक्षा की तैयारी में मदद मिलेगी?
हाँ, ये समाधान अभ्यास 13.1 के प्रत्येक प्रश्न को चरण-दर-चरण हल करते हैं, जिससे छात्रों को पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने और परीक्षा में पूछे जाने वाले समान प्रकार के प्रश्नों को हल करने का अभ्यास करने में मदद मिलती है।
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