कक्षा 12 भौतिकी NCERT समाधान: अध्याय 9 - किरण प्रकाशिकी एवं प्रकाशिक यंत्र

दिया गया है:

मोमबत्ती का साइज़ (वस्तु की ऊँचाई), \(O = 2.5\) सेमी।

अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या, \(|r| = 36\) सेमी।

अतः, अवतल दर्पण की फोकस दूरी, \(|f| = \frac{|r|}{2} = \frac{36}{2} = 18\) सेमी।

चिह्न परिपाटी के अनुसार, अवतल दर्पण के लिए फोकस दूरी ऋणात्मक होती है, इसलिए \(f = -18\) सेमी।

मोमबत्ती की दर्पण से दूरी (वस्तु की दूरी), \(u = -27\) सेमी (क्योंकि यह दर्पण के सामने रखी है)।

दर्पण सूत्र का उपयोग करके प्रतिबिम्ब की दूरी (v) ज्ञात करते हैं:

\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}

\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-18} - \frac{1}{(-27)}

\frac{1}{v} = \frac{-1}{18} + \frac{1}{27} = \frac{-3 + 2}{54} = \frac{-1}{54}

\therefore v = -54\text{ सेमी}

चूंकि v ऋणात्मक है, प्रतिबिम्ब दर्पण के सामने 54 सेमी की दूरी पर बनेगा। अतः, सुस्पष्ट प्रतिबिम्ब प्राप्त करने के लिए परदे को दर्पण से 54 सेमी की दूरी पर रखना होगा।

प्रतिबिम्ब का साइज़ (ऊँचाई) ज्ञात करने के लिए आवर्धन सूत्र का उपयोग करते हैं:

\nI = -\left(\frac{v}{u}\right) \times O

\nI = -\left(\frac{-54\text{ सेमी}}{-27\text{ सेमी}}\right) \times 2.5\text{ सेमी}

\nI = -(2) \times 2.5\text{ सेमी} = -5.0\text{ सेमी}

प्रतिबिम्ब की ऊँचाई ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबिम्ब उल्टा है। इसका साइज़ 5.0 सेमी है। अतः, प्रतिबिम्ब वास्तविक, उल्टा और 5.0 सेमी ऊँचा है।

मोमबत्ती को दर्पण की ओर ले जाने पर:

जब मोमबत्ती को दर्पण के पास (27 सेमी से 18 सेमी की ओर) ले जाया जाता है, तो प्रतिबिम्ब दर्पण से दूर (54 सेमी से अनंत की ओर) खिसकता है। इसलिए, परदे को दर्पण से दूर हटाना पड़ेगा। यदि मोमबत्ती को फोकस दूरी (18 सेमी) से कम दूरी पर रखा जाता है, तो प्रतिबिम्ब आभासी और दर्पण के पीछे बनेगा, जिसे परदे पर प्राप्त नहीं किया जा सकता।

दिया गया है:

सुई का साइज़ (वस्तु की ऊँचाई), \(O = 4.5\) सेमी।

उत्तल दर्पण की फोकस दूरी, \(f = +15\) सेमी (उत्तल दर्पण के लिए फोकस दूरी धनात्मक होती है)।

सुई की दर्पण से दूरी (वस्तु की दूरी), \(u = -12\) सेमी (वस्तु हमेशा दर्पण के सामने रखी जाती है)।

दर्पण सूत्र का उपयोग करके प्रतिबिम्ब की दूरी (v) ज्ञात करते हैं:

\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}

\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{15} - \frac{1}{(-12)}

\frac{1}{v} = \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 5}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}

\therefore v = \frac{20}{3}\text{ सेमी} \approx 6.67\text{ सेमी}

चूंकि v धनात्मक है, प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे 6.67 सेमी की दूरी पर बनेगा।

आवर्धन (m) ज्ञात करते हैं:

\nm = -\left(\frac{v}{u}\right)

\nm = -\left(\frac{20/3\text{ सेमी}}{-12\text{ सेमी}}\right) = -\left(\frac{20}{3 \times -12}\right) = -\left(\frac{20}{-36}\right) = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} \approx 0.56

आवर्धन धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबिम्ब सीधा है। इसका मान 1 से कम है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबिम्ब वस्तु से छोटा है।

प्रतिबिम्ब का साइज़ (ऊँचाई) ज्ञात करते हैं:

\nI = m \times O = \frac{5}{9} \times 4.5\text{ सेमी} = \frac{5}{9} \times \frac{9}{2}\text{ सेमी} = \frac{5}{2}\text{ सेमी} = 2.5\text{ सेमी}

अतः, प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे 6.67 सेमी की दूरी पर, सीधा, आभासी और 2.5 सेमी ऊँचा बनेगा।

जब सुई को दर्पण से दूर ले जाते हैं:

जब सुई को उत्तल दर्पण से दूर ले जाया जाता है (अर्थात, u का ऋणात्मक मान बढ़ता है), तो प्रतिबिम्ब दर्पण के करीब (v का धनात्मक मान घटता है) और फोकस की ओर खिसकता है। साथ ही, प्रतिबिम्ब का आकार भी घटता जाता है।

दिया गया है:

जल की वास्तविक गहराई, \(h = 12.5\) सेमी।

जल में सुई की आभासी गहराई, \(h' = 9.4\) सेमी।

अपवर्तन के कारण आभासी गहराई का सूत्र है:

\text{अपवर्तनांक } (n) = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}} = \frac{h}{h'}

जल का अपवर्तनांक ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए मानों को सूत्र में रखते हैं:

\nn_{\text{जल}} = \frac{12.5\text{ सेमी}}{9.4\text{ सेमी}} \approx 1.3297 \approx 1.33

अतः, जल का अपवर्तनांक लगभग 1.33 है।

अब, बीकर में जल के स्थान पर 1.63 अपवर्तनांक वाले अन्य द्रव को भरा जाता है।

द्रव का अपवर्तनांक, \(n_{\text{द्रव}} = 1.63\)।

वास्तविक गहराई वही रहती है, \(h = 12.5\) सेमी।

इस द्रव में सुई की नई आभासी गहराई (\(h''\)) ज्ञात करते हैं:

\nn_{\text{द्रव}} = \frac{h}{h''}

\nh'' = \frac{h}{n_{\text{द्रव}}} = \frac{12.5\text{ सेमी}}{1.63} \approx 7.6687\text{ सेमी} \approx 7.7\text{ सेमी}

पहले सूक्ष्मदर्शी 9.4 सेमी की आभासी गहराई पर फोकसित था। अब नई आभासी गहराई 7.7 सेमी है। इसका मतलब है कि सुई अब सतह के करीब दिखाई देगी। सुई को पुनः फोकसित करने के लिए, सूक्ष्मदर्शी को ऊपर ले जाना होगा।

सूक्ष्मदर्शी को ऊपर ले जाने की दूरी = पुरानी आभासी गहराई - नई आभासी गहराई

\text{विस्थापन} = h' - h'' = 9.4\text{ सेमी} - 7.7\text{ सेमी} = 1.7\text{ सेमी}

अतः, सुई को पुनः फोकसित करने के लिए सूक्ष्मदर्शी को 1.7 सेमी ऊपर ले जाना होगा।

हम स्नेल के नियम का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि दो माध्यमों के बीच अन्तरापृष्ठ पर आपतन कोण की ज्या (sine) और अपवर्तन कोण की ज्या का अनुपात दूसरे माध्यम के पहले माध्यम के सापेक्ष अपवर्तनांक के बराबर होता है। गणितीय रूप से,

\frac{\sin i}{\sin r} = {^1n_2}

, जहाँ \(i\) आपतन कोण है और \(r\) अपवर्तन कोण है।

चित्र 9.1 (a) से:

यह काँच-वायु अन्तरापृष्ठ को दर्शाता है। आपतन कोण \(i = 60^\circ\) (वायु से काँच में)।

अपवर्तन कोण \(r = 35^\circ\) (काँच से वायु में)।

स्नेल के नियम से, वायु के सापेक्ष काँच का अपवर्तनांक (\(a n_g\)) है:

a n_g = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 35^\circ}

\na n_g = \frac{0.8660}{0.5736} \approx 1.51

चित्र 9.1 (b) से:

यह जल-वायु अन्तरापृष्ठ को दर्शाता है। आपतन कोण \(i = 60^\circ\) (वायु से जल में)।

अपवर्तन कोण \(r = 41^\circ\) (जल से वायु में)।

स्नेल के नियम से, वायु के सापेक्ष जल का अपवर्तनांक (\(a n_w\)) है:

a n_w = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 41^\circ}

\na n_w = \frac{0.8660}{0.6561} \approx 1.32

चित्र 9.1 (c) के लिए:

हमें जल-काँच अन्तरापृष्ठ पर अपवर्तन कोण ज्ञात करना है। यहाँ आपतित किरण जल से काँच में जा रही है।

आपतन कोण \(i = 45^\circ\) (जल से काँच में)।

हमें जल के सापेक्ष काँच का अपवर्तनांक (\(w n_g\)) ज्ञात करना होगा।

हम जानते हैं कि

w n_g = \frac{a n_g}{a n_w}

\nw n_g = \frac{1.51}{1.32} \approx 1.144

अब, स्नेल के नियम का उपयोग करके जल-काँच अन्तरापृष्ठ पर अपवर्तन कोण (\(r\)) ज्ञात करते हैं:

w n_g = \frac{\sin i}{\sin r}

1.144 = \frac{\sin 45^\circ}{\sin r}

\sin r = \frac{\sin 45^\circ}{1.144} = \frac{0.7071}{1.144}

\sin r \approx 0.6181

\nr = \sin^{-1}(0.6181) \approx 38.18^\circ

अतः, जल में जल-काँच अन्तरापृष्ठ पर अपवर्तन कोण लगभग \(38.2^\circ\) होगा।