कक्षा 12 भौतिकी NCERT समाधान: स्थिर वैधुत विभव तथा धारिता

हल :

दिए गए आवेश हैं: $q\_1\; =\; 5\; \backslash times\; 10^\{-8\}$ C और $q\_2\; =\; -3\; \backslash times\; 10^\{-8\}$ C।

दोनों आवेशों के बीच की दूरी $r\; =\; 16$ cm = 0.16 m है।

माना कि बिंदु A पर $q\_1$ और बिंदु B पर $q\_2$ स्थित हैं। हम रेखा AB पर एक बिंदु P ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ कुल विद्युत विभव शून्य हो। हम अनंत पर विभव को शून्य मानते हैं।

स्थिति 1: बिंदु P दोनों आवेशों के बीच स्थित है।

माना $q\_1$ से बिंदु P की दूरी $x$ है। तब $q\_2$ से P की दूरी $(0.16\; -\; x)$ मीटर होगी।

बिंदु P पर कुल विभव $V$ निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$V\; =\; V\_1\; +\; V\_2\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{q\_1\}\{x\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{q\_2\}\{(0.16\; -\; x)\}$$

विभव को शून्य करने के लिए, $V\; =\; 0$ सेट करें:

$$0\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{5\; \backslash times\; 10^\{-8\}\}\{x\}\; +\; \backslash frac\{-3\; \backslash times\; 10^\{-8\}\}\{(0.16\; -\; x)\}\; \backslash right]$$

स्थिरांक $\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}$ और $10^\{-8\}$ को रद्द करने पर:

$$\backslash frac\{5\}\{x\}\; -\; \backslash frac\{3\}\{(0.16\; -\; x)\}\; =\; 0$$

$$\backslash frac\{5\}\{x\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{(0.16\; -\; x)\}$$

$$5(0.16\; -\; x)\; =\; 3x$$

$$0.8\; -\; 5x\; =\; 3x$$

$$0.8\; =\; 8x$$

$$x\; =\; \backslash frac\{0.8\}\{8\}\; =\; 0.1\; \backslash ,\backslash mathrm\{m\}$$

चूंकि $x\; =\; 0.1$ m, जो कि 0 और 0.16 m के बीच है, यह बिंदु दोनों आवेशों के बीच स्थित है।

अतः, $5\; \backslash times\; 10^\{-8\}$ C आवेश से 0.1 m (या 10 cm) की दूरी पर रेखा पर एक बिंदु है जहाँ विद्युत विभव शून्य है।

स्थिति 2: बिंदु P दोनों आवेशों के बाहर स्थित है।

माना बिंदु P, $q\_1$ से $x$ दूरी पर स्थित है, और $q\_1$ और $q\_2$ के बीच की दूरी 0.16 m है। यदि P, $q\_2$ के बाहर $q\_1$ की ओर है, तो $q\_1$ से P की दूरी $x$ और $q\_2$ से P की दूरी $(x\; -\; 0.16)$ होगी।

$$V\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{5\; \backslash times\; 10^\{-8\}\}\{x\}\; +\; \backslash frac\{-3\; \backslash times\; 10^\{-8\}\}\{(x\; -\; 0.16)\}\; \backslash right]\; =\; 0$$

$$\backslash frac\{5\}\{x\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{(x\; -\; 0.16)\}$$

$$5(x\; -\; 0.16)\; =\; 3x$$

$$5x\; -\; 0.8\; =\; 3x$$

$$2x\; =\; 0.8$$

$$x\; =\; 0.4\; \backslash ,\backslash mathrm\{m\}$$

यह बिंदु $q\_1$ से 0.4 m की दूरी पर है, जो $q\_2$ के बाहर है (0.16 m से आगे)।

अतः, $5\; \backslash times\; 10^\{-8\}$ C आवेश से 0.4 m (या 40 cm) की दूरी पर रेखा पर एक और बिंदु है जहाँ विद्युत विभव शून्य है।

उत्तर: विद्युत विभव $5\; \backslash times\; 10^\{-8\}$ C आवेश से 10 cm की दूरी पर (दोनों आवेशों के बीच) और 40 cm की दूरी पर (ऋणात्मक आवेश की ओर, $5\; \backslash times\; 10^\{-8\}$ C आवेश से दूर) शून्य होता है।

हल :

माना ABCDEF एक सम षट्भुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a\; =\; 10$ cm = 0.10 m है।

सम षट्भुज की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता यह है कि इसके केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी भुजा की लंबाई के बराबर होती है।

अतः, केंद्र O से प्रत्येक शीर्ष (A, B, C, D, E, F) की दूरी $r\; =\; a\; =\; 0.10$ m है।

प्रत्येक शीर्ष पर आवेश $q\; =\; 5\; \backslash mu\; C\; =\; 5\; \backslash times\; 10^\{-6\}$ C है।

विद्युत विभव एक अदिश राशि है। षट्भुज के केंद्र O पर कुल विभव, प्रत्येक शीर्ष पर आवेश के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग होगा।

प्रत्येक शीर्ष पर आवेश $q$ के कारण केंद्र O पर विभव $V\_i$ है:

$$V\_i\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{q\}\{r\}$$

चूंकि षट्भुज में 6 शीर्ष हैं और प्रत्येक पर समान आवेश $q$ है तथा केंद्र से प्रत्येक की दूरी $r$ समान है, तो केंद्र पर कुल विभव $V$ होगा:

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; V\_i\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{q\}\{r\}$$

मान रखने पर:

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash frac\{(9\; \backslash times\; 10^9\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{Nm\}^2/\backslash mathrm\{C\}^2)\; \backslash times\; (5\; \backslash times\; 10^\{-6\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{C\})\}\{0.10\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{m\}\}$$

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash frac\{45\; \backslash times\; 10^3\}\{0.10\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{V\}$$

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; 450\; \backslash times\; 10^3\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{V\}$$

$$V\; =\; 2700\; \backslash times\; 10^3\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{V\}$$

$$V\; =\; 2.7\; \backslash times\; 10^6\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{V\}$$

उत्तर: षट्भुज के केंद्र पर विभव $2.7\; \backslash times\; 10^6$ V है।

हल :

दिए गए आवेश हैं: $q\_A\; =\; +2\; \backslash mu\; C\; =\; +2\; \backslash times\; 10^\{-6\}$ C और $q\_B\; =\; -2\; \backslash mu\; C\; =\; -2\; \backslash times\; 10^\{-6\}$ C।

दोनों आवेशों के बीच की दूरी $d\; =\; 6$ cm = 0.06 m है।

(a) निकाय के सम विभव पृष्ठ की पहचान:

चूंकि दोनों आवेश परिमाण में बराबर हैं लेकिन चिन्ह में विपरीत हैं, वे एक विद्युत द्विध्रुव बनाते हैं। इस निकाय के लिए सम विभव पृष्ठ वह तल होता है जो दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत होता है और ठीक उनके मध्य बिंदु से होकर गुजरता है।

माना कि दोनों आवेशों के मध्य बिंदु M है। बिंदु M पर विभव शून्य है। M से गुजरने वाला और AB रेखा के लंबवत तल, एक सम विभव पृष्ठ है जहाँ कुल विभव शून्य है।

इस तल के प्रत्येक बिंदु P पर, $q\_A$ के कारण विभव $V\_A\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\_A\}\{PA\}$ और $q\_B$ के कारण विभव $V\_B\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\_B\}\{PB\}$ होता है।

चूंकि P, AB रेखा के लंबवत सम विभव तल पर है, $PA\; =\; PB$।

इसलिए, $V\_A\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{+2\; \backslash mu\; C\}\{PA\}$ और $V\_B\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{-2\; \backslash mu\; C\}\{PA\}$।

कुल विभव $V\; =\; V\_A\; +\; V\_B\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{2\; \backslash mu\; C\}\{PA\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{-2\; \backslash mu\; C\}\{PA\}\; =\; 0$।

अतः, दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत और उनके मध्य बिंदु से गुजरने वाला तल एक सम विभव पृष्ठ है (जिसका विभव शून्य है)।

(b) इस पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा:

विद्युत क्षेत्र रेखाएं हमेशा सम विभव पृष्ठ के लंबवत होती हैं। चूंकि आवेश $q\_A$ धनात्मक है और $q\_B$ ऋणात्मक है, विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनावेश से निकलती हैं और ऋणावेश में प्रवेश करती हैं।

इसलिए, सम विभव पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा, धनावेश $q\_A$ से ऋणावेश $q\_B$ की ओर जाने वाली रेखा के लंबवत होगी।

उत्तर: (a) दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत और उनके मध्य बिंदु से गुजरने वाला तल। (b) धनावेश से ऋणावेश की ओर जाने वाली रेखा के लंबवत दिशा में।

हल :

गोलीय चालक की त्रिज्या $R\; =\; 12$ cm = 0.12 m है।

गोले के पृष्ठ पर कुल आवेश $q\; =\; 1.6\; \backslash times\; 10^\{-7\}$ C है।

चूंकि आवेश एकसमान रूप से वितरित है, हम इसे एक बिंदु आवेश की तरह मान सकते हैं जो गोले के केंद्र पर स्थित है, जब हम गोले के बाहर के बिंदुओं पर विचार करते हैं।

(a) गोले के अन्दर विद्युत क्षेत्र:

किसी भी चालक के अंदर, स्थिरवैद्युत की स्थिति में, विद्युत क्षेत्र का मान शून्य होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि चालक के अंदर कोई शुद्ध आवेश नहीं होता है और प्रेरित आवेश केवल बाहरी सतह पर वितरित हो जाता है।

गॉस के नियम के अनुसार, यदि हम गोले के अंदर कोई गाऊसी पृष्ठ लेते हैं, तो उस पृष्ठ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होगा क्योंकि अंदर कुल आवेश शून्य है। इसलिए, विद्युत क्षेत्र शून्य होगा।

$$E\_\{\backslash text\{अंदर\}\}\; =\; 0$$

(b) गोले के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र:

गोले के ठीक बाहर (अर्थात् पृष्ठ पर), विद्युत क्षेत्र की गणना बिंदु आवेश के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ आवेश $q$ गोले के केंद्र पर स्थित माना जाता है।

$$E\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{q\}\{R^2\}$$

मान रखने पर:

$$E\; =\; \backslash frac\{(9\; \backslash times\; 10^9\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{Nm\}^2/\backslash mathrm\{C\}^2)\; \backslash times\; (1.6\; \backslash times\; 10^\{-7\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{C\})\}\{(0.12\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{m\})^2\}$$

$$E\; =\; \backslash frac\{14.4\; \backslash times\; 10^2\}\{0.0144\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{N/C\}$$

$$E\; =\; \backslash frac\{1440\}\{0.0144\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{N/C\}$$

$$E\; =\; 1\; \backslash times\; 10^5\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{N/C\}$$

यह क्षेत्र गोले के पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित होता है क्योंकि आवेश धनात्मक है।

(c) गोले के केंद्र से 18 cm पर अवस्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र:

केंद्र से 18 cm की दूरी पर स्थित बिंदु गोले के बाहर है। यहाँ भी, हम आवेश को गोले के केंद्र पर केंद्रित मान सकते हैं।

दूरी $r\; =\; 18$ cm = 0.18 m है।

$$E\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{q\}\{r^2\}$$

मान रखने पर:

$$E\; =\; \backslash frac\{(9\; \backslash times\; 10^9\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{Nm\}^2/\backslash mathrm\{C\}^2)\; \backslash times\; (1.6\; \backslash times\; 10^\{-7\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{C\})\}\{(0.18\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{m\})^2\}$$

$$E\; =\; \backslash frac\{14.4\; \backslash times\; 10^2\}\{0.0324\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{N/C\}$$

$$E\; =\; \backslash frac\{1440\}\{0.0324\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{N/C\}$$

$$E\; \backslash approx\; 4.44\; \backslash times\; 10^4\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{N/C\}$$

यह क्षेत्र भी गोले के केंद्र से बाहर की ओर निर्देशित होता है।

उत्तर:

(a) गोले के अन्दर विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(b) गोले के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $1\; \backslash times\; 10^5$ N/C है।

(c) गोले के केंद्र से 18 cm पर विद्युत क्षेत्र लगभग $4.44\; \backslash times\; 10^4$ N/C है।