कक्षा 11 गणित अध्याय 2: शांकव परिच्छेदन (वृत्त) के लिए NCERT समाधान
यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 2, 'शांकव परिच्छेदन' पर केंद्रित है, विशेष रूप से वृत्त के समीकरणों पर। इसमें प्रश्नावली 11.1 के प्रश्नों के विस्तृत समाधान शामिल हैं, जहाँ छात्रों को दिए गए केंद्र और त्रिज्या का उपयोग करके वृत्त का समीकरण ज्ञात करना होता है। प्रत्येक समाधान में वृत्त के मानक समीकरण का उपयोग करके चरण-दर-चरण प्रक्रिया को समझाया गया है, जिसमें बीजगणितीय विस्तार और सरलीकरण शामिल है। ये समाधान छात्रों को वृत्त के समीकरण की अवधारणा को समझने और विभिन्न दिए गए मापदंडों के साथ समीकरणों को हल करने का अभ्यास करने में मदद करते हैं। परीक्षा की तैयारी के लिए यह एक महत्वपूर्ण संसाधन है।
Quick info
| Board | CBSE |
|---|---|
| Class | Class 11 |
| Subject | गणित-II |
| Session | 2026 |
| Language | Hindi |
| Type | NCERT Solutions |
| Chapter | Chapter 2 |
Chapter summary
अध्याय 2, 'शांकव परिच्छेदन' के इस खंड में, हम वृत्त के समीकरण पर ध्यान केंद्रित करते हैं। प्रश्नावली 11.1 में, छात्रों को वृत्त के केंद्र और त्रिज्या के आधार पर उसका समीकरण निकालने का अभ्यास कराया गया है। समाधानों में वृत्त के मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> का अनुप्रयोग और बीजगणितीय विस्तार शामिल है। यह खंड छात्रों को वृत्त की ज्यामितीय परिभाषा को उसके बीजगणितीय निरूपण से जोड़ने में मदद करता है।
Learning outcomes
- वृत्त के मानक समीकरण को समझना।
- दिए गए केंद्र और त्रिज्या से वृत्त का समीकरण ज्ञात करना।
- वृत्त के समीकरण को विस्तारित और सरल करना।
- बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को हल करना।
Topics covered
Paper topics
- वृत्त का समीकरण
- वृत्त का मानक रूप
- केंद्र और त्रिज्या
- बीजगणितीय विस्तार
- समीकरणों का सरलीकरण
- शांकव परिच्छेदन का परिचय
Important topics
- वृत्त का मानक समीकरण
- दिए गए केंद्र और त्रिज्या से समीकरण ज्ञात करना
- बीजगणितीय विस्तार और सरलीकरण
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Questions and Solutions
प्रश्न 1
दिया गया है:
केंद्र (h, k) = (0, 2)
त्रिज्या r = 2
वृत्त के समीकरण का मानक रूप है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2
इसे विस्तारित करने पर:
x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4
समीकरण को सरल करने पर:
x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4
x^2 + y^2 - 4y = 4 - 4
x^2 + y^2 - 4y = 0
अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 - 4y = 0 है।
प्रश्न 2
दिया गया है:
केंद्र (h, k) = (-2, 3)
त्रिज्या r = 4
वृत्त के समीकरण का मानक रूप है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16
इसे विस्तारित करने पर:
(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 16
सभी पदों को एक साथ लाने पर:
x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 + 9 = 16x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 16x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 - 16 = 0
x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0
अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 है।
प्रश्न 3
दिया गया है:
केंद्र (h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)
त्रिज्या r = \frac{1}{12}
वृत्त के समीकरण का मानक रूप है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{1}{12}\right)^2
इसे विस्तारित करने पर:
\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) + \left(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) = \frac{1}{144}\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) + \left(y^2 - \frac{y}{2} + \frac{1}{16}\right) = \frac{1}{144}
सभी पदों को एक साथ लाने पर:
x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{1}{144}
भिन्नों को हल करने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें। \frac{1}{4} + \frac{1}{16} का LCM 16 है।
\frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}
अब समीकरण है:
x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} + \frac{5}{16} = \frac{1}{144}
स्थिरांकों को एक तरफ ले जाने पर:
x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} = \frac{1}{144} - \frac{5}{16}
\frac{5}{16} को \frac{1}{144} के पदों में व्यक्त करने के लिए, 16 को 9 से गुणा करने पर 144 मिलता है।
\frac{5 \times 9}{16 \times 9} = \frac{45}{144}
इसलिए, \frac{1}{144} - \frac{45}{144} = \frac{1 - 45}{144} = \frac{-44}{144}
समीकरण बनता है:
x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} - \frac{44}{144} = 0
\frac{44}{144} को सरल करने पर \frac{11}{36} मिलता है।
x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} - \frac{11}{36} = 0
पूरे समीकरण को 36 से गुणा करने पर हर समाप्त हो जाता है:
36(x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} - \frac{11}{36}) = 36 \times 036x^2 + 36y^2 - 36x - 18y - 11 = 0
36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y - 11 = 0
अतः, वृत्त का समीकरण 36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y - 11 = 0 है।
प्रश्न 4
दिया गया है:
केंद्र (h, k) = (1, 1)
त्रिज्या r = \sqrt{2}
वृत्त के समीकरण का मानक रूप है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{2})^2
इसे विस्तारित करने पर:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2
सभी पदों को एक साथ लाने पर:
x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 + 1 = 2x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 2x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 - 2 = 0
x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0
अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 है।
प्रश्न 5
दिया गया है:
केंद्र (h, k) = (-a, -b)
त्रिज्या r = \sqrt{a^2 - b^2}
वृत्त के समीकरण का मानक रूप है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
(x - (-a))^2 + (y - (-b))^2 = (\sqrt{a^2 - b^2})^2(x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 - b^2
इसे विस्तारित करने पर:
(x^2 + 2ax + a^2) + (y^2 + 2by + b^2) = a^2 - b^2
सभी पदों को एक साथ लाने पर:
x^2 + y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2 = a^2 - b^2
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
x^2 + y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2 - a^2 + b^2 = 0x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0
x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0
अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0 है।
Common mistakes
- बीजगणितीय विस्तार में त्रुटियाँ (जैसे (a-b)^2 या (a+b)^2 का विस्तार)।
- चिह्नों की गलतियाँ, विशेष रूप से केंद्र के निर्देशांक या समीकरण को सरल करते समय।
- त्रिज्या के वर्ग की गणना में त्रुटियाँ।
- अंतिम समीकरण को मानक रूप में लाने में गलतियाँ।
Revision tips
- वृत्त के मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> को अच्छी तरह याद करें।
- प्रत्येक प्रश्न के लिए केंद्र (h, k) और त्रिज्या (r) को स्पष्ट रूप से पहचानें।
- बीजगणितीय विस्तार करते समय सर्वसमिकाओं <math>(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab</math> और <math>(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab</math> का सही उपयोग करें।
- सरलीकरण के प्रत्येक चरण की जाँच करें, विशेष रूप से स्थिरांकों को एक साथ समूहित करते समय।
Practice MCQs
Q1. वृत्त का मानक समीकरण क्या है, जहाँ केंद्र (h, k) और त्रिज्या r है?
Explanation: वृत्त का मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> होता है, जहाँ (h, k) केंद्र और r त्रिज्या है।
Q2. केंद्र (0, 2) और त्रिज्या 2 वाले वृत्त का समीकरण क्या है?
Explanation: मानक समीकरण <math>(x-0)^2 + (y-2)^2 = 2^2</math> को हल करने पर <math>x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4</math> प्राप्त होता है, जो <math>x^2 + y^2 - 4y = 0</math> के बराबर है।
Q3. केंद्र (-2, 3) और त्रिज्या 4 वाले वृत्त का समीकरण क्या है?
Explanation: समीकरण <math>(x+2)^2 + (y-3)^2 = 4^2</math> को विस्तारित और सरल करने पर <math>x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0</math> प्राप्त होता है।
Q4. यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु (0, 0) है और त्रिज्या r है, तो समीकरण क्या होगा?
Explanation: जब केंद्र (0, 0) होता है, तो मानक समीकरण <math>(x-0)^2 + (y-0)^2 = r^2</math> सरल होकर <math>x^2 + y^2 = r^2</math> बन जाता है।
Q5. केंद्र (1, 1) और त्रिज्या <math>\sqrt{2}</math> वाले वृत्त का समीकरण क्या है?
Explanation: समीकरण <math>(x-1)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{2})^2</math> को विस्तारित और सरल करने पर <math>x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0</math> प्राप्त होता है।
Frequently asked questions
कक्षा 11 गणित के अध्याय 2 में किन मुख्य अवधारणाओं को शामिल किया गया है?
कक्षा 11 गणित के अध्याय 2, 'शांकव परिच्छेदन' के इस भाग में मुख्य रूप से वृत्त के समीकरण पर ध्यान केंद्रित किया गया है, जिसमें दिए गए केंद्र और त्रिज्या से वृत्त का समीकरण ज्ञात करना शामिल है।
वृत्त का मानक समीकरण क्या है?
वृत्त का मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> है, जहाँ (h, k) वृत्त के केंद्र के निर्देशांक हैं और r वृत्त की त्रिज्या है।
इन NCERT समाधानों का उपयोग कैसे करें?
इन समाधानों का उपयोग प्रत्येक प्रश्न को समझने, हल करने की विधि सीखने और अपनी समझ का परीक्षण करने के लिए करें। प्रत्येक चरण का पालन करें और बीजगणितीय विस्तार और सरलीकरण पर ध्यान दें।
यदि केंद्र मूल बिंदु पर हो तो वृत्त का समीकरण क्या होता है?
यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु (0, 0) पर हो, तो मानक समीकरण <math>(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r^2</math> सरल होकर <math>x^2 + y^2 = r^2</math> हो जाता है।
क्या ये समाधान परीक्षा की तैयारी में मदद करते हैं?
हाँ, ये समाधान परीक्षा की तैयारी के लिए बहुत उपयोगी हैं क्योंकि वे प्रत्येक प्रश्न के हल को स्पष्ट रूप से समझाते हैं और महत्वपूर्ण अवधारणाओं को सुदृढ़ करते हैं।
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