कक्षा 11 गणित अध्याय 5: गणितीय विवेचन NCERT समाधान

एक कथन वह वाक्य होता है जो या तो निश्चित रूप से सत्य हो या निश्चित रूप से असत्य हो।

(i) यह वाक्य असत्य है, क्योंकि किसी भी महीने में अधिकतम 31 दिन होते हैं। अतः यह एक कथन है।

(ii) यह एक कथन नहीं है। यह एक व्यक्तिगत राय है; कुछ लोगों के लिए गणित सरल हो सकता है और दूसरों के लिए कठिन। इसकी सत्यता या असत्यता निश्चित नहीं है।

(iii) यह वाक्य सत्य है, क्योंकि 5 और 7 का योगफल 12 होता है, जो 10 से अधिक है। अतः यह एक कथन है।

(iv) यह एक कथन नहीं है। किसी संख्या का वर्ग सम हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, 4 का वर्ग (16) सम है, लेकिन 3 का वर्ग (9) विषम है। इसलिए, यह वाक्य हमेशा सत्य या हमेशा असत्य नहीं है।

(v) यह एक कथन नहीं है। यह वाक्य हमेशा सत्य नहीं होता। उदाहरण के लिए, एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, लेकिन एक आयत की सभी भुजाएँ बराबर नहीं होतीं। इसकी सत्यता संदर्भ पर निर्भर करती है।

(vi) यह एक कथन नहीं है। यह एक आदेश (imperative sentence) है, जिसका सत्य या असत्य होना निर्धारित नहीं किया जा सकता।

(vii) यह वाक्य असत्य है, क्योंकि -1 और 8 का गुणनफल -8 होता है, न कि 8। अतः यह एक कथन है।

(viii) यह वाक्य सत्य है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योगफल हमेशा 180° होता है। अतः यह एक कथन है।

(ix) यह एक कथन नहीं है। 'आज' और 'तूफानी दिन' जैसे शब्द व्यक्तिपरक हैं और संदर्भ पर निर्भर करते हैं। यह वाक्य निश्चित रूप से सत्य या असत्य नहीं है।

(x) यह वाक्य सत्य है। प्रत्येक वास्तविक संख्या को $x\; +\; 0i$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $x$ वास्तविक संख्या है। इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं। अतः यह एक कथन है।

ऐसे तीन वाक्य जो कथन नहीं हैं, उनके उदाहरण और कारण निम्नलिखित हैं:

(i) "इस कमरे में उपस्थित प्रत्येक व्यक्ति निडर है।"

कारण: यह वाक्य कथन नहीं है क्योंकि 'इस कमरे' का संदर्भ स्पष्ट नहीं है (कौन सा कमरा?) और 'निडर' शब्द की परिभाषा व्यक्तिपरक है। वाक्य की सत्यता या असत्यता निश्चित रूप से निर्धारित नहीं की जा सकती।

(ii) "वह अभियान्त्रिकी की छात्रा है।"

कारण: यह वाक्य कथन नहीं है क्योंकि 'वह' सर्वनाम का प्रयोग किया गया है, जिससे यह स्पष्ट नहीं होता कि किस व्यक्ति का उल्लेख किया जा रहा है। वाक्य की सत्यता या असत्यता को जाने बिना निर्धारित नहीं किया जा सकता।

(iii) "$\backslash cos^2\backslash theta$ का मान सदैव 1/2 से अधिक होता है।"

कारण: यह वाक्य कथन नहीं है जब तक कि $\backslash theta$ का मान ज्ञात न हो। $\backslash cos^2\backslash theta$ का मान 0 और 1 के बीच होता है। उदाहरण के लिए, यदि $\backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$, तो $\backslash cos^2\backslash theta\; =\; 0$, जो 1/2 से अधिक नहीं है। इसलिए, यह वाक्य हमेशा सत्य नहीं है।

किसी कथन का निषेधन (negation) वह कथन होता है जो मूल कथन के सत्य होने पर असत्य और मूल कथन के असत्य होने पर सत्य होता है। निषेधन बनाने के लिए, हम सामान्यतः वाक्य में 'नहीं' शब्द जोड़ते या हटाते हैं।

(i) मूल कथन: चेन्नई, तमिलनाडु की राजघानी है।

निषेधन: चेन्नई, तमिलनाडु की राजघानी नहीं है।

(ii) मूल कथन: $\backslash sqrt\{2\}$ एक सम्मिश्र संख्या नहीं है।

निषेधन: $\backslash sqrt\{2\}$ एक सम्मिश्र संख्या है। (यहाँ से 'नहीं' हटा दिया गया है।)

(iii) मूल कथन: सभी त्रिभुज समबाहु त्रिभुज नहीं होते हैं।

निषेधन: सभी त्रिभुज समबाहु त्रिभुज होते हैं। (यहाँ से 'नहीं' हटा दिया गया है।)

(iv) मूल कथन: संख्या 2, संख्या 7 से अधिक है।

निषेधन: संख्या 2, संख्या 7 से अधिक नहीं है। (यह वाक्य सत्य है, क्योंकि 2, 7 से कम है। वैकल्पिक रूप से, "संख्या 2, संख्या 7 से कम या बराबर है" भी एक मान्य निषेधन है।)

(v) मूल कथन: प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है।

निषेधन: प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक नहीं होती है। (यह निषेधन असत्य है, क्योंकि सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्णांक होती हैं।)