CBSE Class 11 Math Chapter 3: Introduction to Three Dimensional Geometry NCERT Solutions

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This chapter introduces students to the fundamental concepts of three-dimensional geometry. It covers the coordinate system in three dimensions, octants, and the distance formula between two points in space. The NCERT Solutions for Chapter 3 of Class 11 Mathematics provide clear explanations and step-by-step solutions to all exercises. These solutions are designed to help students understand how to determine the coordinates of points on axes and planes, identify the octant in which a point lies based on its coordinates, and calculate the distance between any two points in 3D space. Mastering these concepts is crucial for building a strong foundation in analytical geometry and preparing for examinations.

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BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित-II
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
ChapterChapter 3

Chapter summary

Chapter 3, 'Introduction to Three Dimensional Geometry', for Class 11 Mathematics NCERT Solutions, focuses on establishing the basic framework for working in 3D space. It details the coordinate system, the division of space into octants by the coordinate planes, and the representation of points using three coordinates. The chapter also includes the essential distance formula in three dimensions. The provided solutions guide students through identifying point locations and calculating distances, reinforcing these foundational skills.

Learning outcomes

  • Understand the concept of a three-dimensional coordinate system.
  • Identify the octant in which a point lies based on its coordinate signs.
  • Determine the coordinates of points lying on the coordinate axes and coordinate planes.
  • Apply the distance formula to find the distance between two points in three-dimensional space.
  • Solve problems related to points and distances in 3D geometry.

Topics covered

Paper topics

  • Three-dimensional coordinate system
  • Coordinate axes and planes
  • Octants
  • Coordinates of a point in space
  • Points on axes
  • Points in coordinate planes
  • Distance formula in three dimensions

Important topics

  • Three-dimensional coordinate system
  • Octants
  • Distance formula in three dimensions
  • Coordinates of a point in space

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

एक बिंदु x-अक्ष पर स्थित है। इसके y-निर्देशांक तथा z-निर्देशांक क्या हैं?
Solution:

किसी भी बिंदु के लिए जो x-अक्ष पर स्थित होता है, उसके निर्देशांकों का रूप (x, 0, 0) होता है। इसका अर्थ है कि x-अक्ष पर स्थित होने के कारण, उस बिंदु के y-निर्देशांक और z-निर्देशांक दोनों ही शून्य होते हैं।

अतः, बिंदु के y-निर्देशांक और z-निर्देशांक 0 हैं।

प्रश्न 2

एक बिंदु XZ-तल में है। इसके y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
Solution:

जब कोई बिंदु XZ-तल में स्थित होता है, तो उसके निर्देशांकों का रूप (x, 0, z) होता है। इस निरूपण में, y-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है क्योंकि बिंदु y-अक्ष से शून्य दूरी पर होता है और यह तल y-अक्ष के लंबवत होता है।

इसलिए, XZ-तल में स्थित किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है।

प्रश्न 3

उन अष्टांशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिंदु स्थित हैं: (1,2,3), (4,-2,3), (4,2,-5), (-4,2,-5), (-4,2,5), (-3,-1,6), (2,-4,-7)
Solution:

त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक तल अंतरिक्ष को आठ अष्टांशों में विभाजित करते हैं। प्रत्येक अष्टांश को निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर पहचाना जाता है।

  • (1, 2, 3): तीनों निर्देशांक धनात्मक हैं (x>0, y>0, z>0)। यह प्रथम अष्टांश है।
  • (4, -2, 3): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक (x>0, y<0, z>0)। यह चतुर्थ अष्टांश है।
  • (4, 2, -5): x धनात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक (x>0, y>0, z<0)। यह षष्ठम अष्टांश है।
  • (-4, 2, -5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक (x<0, y>0, z<0)। यह पंचम अष्टांश है।
  • (-4, 2, 5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z धनात्मक (x<0, y>0, z>0)। यह द्वितीय अष्टांश है।
  • (-3, -1, 6): x ऋणात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक (x<0, y<0, z>0)। यह तृतीय अष्टांश है।
  • (2, -4, -7): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z ऋणात्मक (x>0, y<0, z<0)। यह सप्तम अष्टांश है।

नोट: अष्टांशों का क्रम और नामकरण विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में थोड़ा भिन्न हो सकता है, लेकिन निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर पहचान सार्वभौमिक है। ऊपर दिए गए नामकरण में, प्रथम चार अष्टांशों में z>0 होता है और अगले चार में z<0 होता है, जो xy-तल के ऊपर और नीचे के अनुरूप होते हैं।

प्रश्न 4

रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए:
  1. z-अक्ष और y-अक्ष दोनों एकसाथ मिलकर एक तल बनाते हैं, उस तल को ....... कहते हैं।
  2. XY-तल में एक बिंदु के निर्देशांक ..... रूप के होते हैं।
  3. निर्देशांक तल अंतरिक्ष को ...... अष्टांश में विपाजित करते हैं।
Solution:
  1. z-अक्ष और y-अक्ष मिलकर YZ-तल बनाते हैं।
  2. XY-तल में एक बिंदु के निर्देशांक (x, y, 0) रूप के होते हैं, जहाँ z-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।
  3. निर्देशांक तल अंतरिक्ष को आठ (8) अष्टांशों में विभाजित करते हैं।

प्रश्न 1

निम्नलिखित बिंदु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
  1. (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
  2. (-3, 7, 2) और (2, 4, -1)
  3. (-1, 3, -4) और (1, -3, 4)
  4. (2, -1, 3) और (-2, 1, 3)
Solution:

त्रिविमीय अंतरिक्ष में दो बिंदुओं (x_1, y_1, z_1) और (x_2, y_2, z_2) के बीच की दूरी की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

(i) बिंदु (2, 3, 5) और (4, 3, 1) के बीच की दूरी:

माना (x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 5) और (x_2, y_2, z_2) = (4, 3, 1)।

दूरी d = \sqrt{(4-2)^2 + (3-3)^2 + (1-5)^2}

d = \sqrt{(2)^2 + (0)^2 + (-4)^2}

d = \sqrt{4 + 0 + 16}

d = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}

अतः, दूरी 2\sqrt{5} इकाई है।

(ii) बिंदु (-3, 7, 2) और (2, 4, -1) के बीच की दूरी:

माना (x_1, y_1, z_1) = (-3, 7, 2) और (x_2, y_2, z_2) = (2, 4, -1)।

दूरी d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (4 - 7)^2 + (-1 - 2)^2}

d = \sqrt{(2 + 3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2}

d = \sqrt{(5)^2 + 9 + 9}

d = \sqrt{25 + 9 + 9}

d = \sqrt{43}

अतः, दूरी \sqrt{43} इकाई है।

(iii) बिंदु (-1, 3, -4) और (1, -3, 4) के बीच की दूरी:

माना (x_1, y_1, z_1) = (-1, 3, -4) और (x_2, y_2, z_2) = (1, -3, 4)।

दूरी d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - 3)^2 + (4 - (-4))^2}

d = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-6)^2 + (4 + 4)^2}

d = \sqrt{(2)^2 + 36 + (8)^2}

d = \sqrt{4 + 36 + 64}

d = \sqrt{104} = \sqrt{4 \times 26} = 2\sqrt{26}

अतः, दूरी 2\sqrt{26} इकाई है।

(iv) बिंदु (2, -1, 3) और (-2, 1, 3) के बीच की दूरी:

माना (x_1, y_1, z_1) = (2, -1, 3) और (x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, 3)।

दूरी d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2 + (3 - 3)^2}

d = \sqrt{(-4)^2 + (1 + 1)^2 + (0)^2}

d = \sqrt{16 + (2)^2 + 0}

d = \sqrt{16 + 4}

d = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}

अतः, दूरी 2\sqrt{5} इकाई है।

Common mistakes

  • Incorrectly identifying the octant for points with negative coordinates.
  • Errors in applying the distance formula, especially with signs of coordinates.
  • Confusing 2D coordinate concepts with 3D space.
  • Mistakes in calculating squares or square roots in the distance formula.

Revision tips

  • Visualize the 3D coordinate system and octants to better understand point locations.
  • Practice identifying the octant for various points by checking the signs of x, y, and z coordinates.
  • Memorize the distance formula and practice applying it to different point pairs.
  • Review the definitions of coordinate planes and axes in 3D space.

Practice MCQs

Q1. यदि कोई बिंदु x-अक्ष पर स्थित है, तो उसके y-निर्देशांक और z-निर्देशांक क्या होंगे?

Q2. XZ-तल में स्थित किसी बिंदु के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

Q3. बिंदु (1, 2, 3) किस अष्टांश में स्थित है?

Q4. दो बिंदुओं (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी का सूत्र क्या है?

Q5. निर्देशांक तल अंतरिक्ष को कितने अष्टांशों में विभाजित करते हैं?

Frequently asked questions

त्रिविमीय ज्यामिति में निर्देशांक प्रणाली क्या है?

त्रिविमीय ज्यामिति में निर्देशांक प्रणाली तीन परस्पर लंबवत अक्षों (x-अक्ष, y-अक्ष, और z-अक्ष) का उपयोग करके अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को परिभाषित करती है। प्रत्येक बिंदु को तीन संख्याओं (x, y, z) के एक क्रमबद्ध त्रिक द्वारा दर्शाया जाता है।

अष्टांश क्या होते हैं?

तीन निर्देशांक तल (XY-तल, YZ-तल, XZ-तल) अंतरिक्ष को आठ क्षेत्रों में विभाजित करते हैं, जिन्हें अष्टांश कहा जाता है। प्रत्येक अष्टांश को निर्देशांकों के चिह्नों के एक विशिष्ट संयोजन द्वारा पहचाना जाता है।

बिंदु (4, -2, 3) किस अष्टांश में स्थित है?

बिंदु (4, -2, 3) चतुर्थ अष्टांश में स्थित है क्योंकि x-निर्देशांक धनात्मक है, y-निर्देशांक ऋणात्मक है, और z-निर्देशांक धनात्मक है।

त्रिविमीय अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना कैसे की जाती है?

त्रिविमीय अंतरिक्ष में दो बिंदुओं (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके की जाती है: √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)।

क्या ये समाधान CBSE कक्षा 11 गणित के पाठ्यक्रम के लिए प्रासंगिक हैं?

हाँ, ये समाधान विशेष रूप से CBSE कक्षा 11 गणित के पाठ्यक्रम के अध्याय 3: त्रिविमीय ज्यामिति के परिचय के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

इन समाधानों का उपयोग परीक्षा की तैयारी के लिए कैसे किया जा सकता है?

ये समाधान आपको अध्याय की अवधारणाओं को समझने, अभ्यास प्रश्नों को हल करने और सामान्य गलतियों से बचने में मदद करते हैं, जिससे आपकी परीक्षा की तैयारी मजबूत होती है।

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