कक्षा 11 गणित अध्याय 1 सरल रेखाएँ NCERT समाधान

दिए गए शीर्ष हैं: A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5), और D(-4, -2)। इन शीर्षों को कार्तीय तल पर आलेखित करके एक चतुर्भुज ABCD प्राप्त किया जा सकता है।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम इसे दो त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं, जैसे कि त्रिभुज ADC और त्रिभुज ABC। चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल।

हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करेंगे: यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष $(x\_1,\; y\_1)$, $(x\_2,\; y\_2)$ और $(x\_3,\; y\_3)$ हैं, तो क्षेत्रफल = $\backslash frac\{1\}\{2\}\; |x\_1(y\_2\; -\; y\_3)\; +\; x\_2(y\_3\; -\; y\_1)\; +\; x\_3(y\_1\; -\; y\_2)|$।

त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल:

यहाँ, $(x\_1,\; y\_1)\; =\; A(-4,\; 5)$, $(x\_2,\; y\_2)\; =\; D(-4,\; -2)$, $(x\_3,\; y\_3)\; =\; C(5,\; -5)$।

$$\backslash text\{क्षेत्रफल\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |(-4)(-2\; -\; (-5))\; +\; (-4)(-5\; -\; 5)\; +\; (5)(5\; -\; (-2))|$$

$$=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |(-4)(-2\; +\; 5)\; +\; (-4)(-10)\; +\; (5)(5\; +\; 2)|$$

$$=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |(-4)(3)\; +\; 40\; +\; (5)(7)|$$

$$=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |-12\; +\; 40\; +\; 35|$$

$$=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |63|\; =\; \backslash frac\{63\}\{2\}\; \backslash text\{\; वर्ग\; इकाई\}$$

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल:

यहाँ, $(x\_1,\; y\_1)\; =\; A(-4,\; 5)$, $(x\_2,\; y\_2)\; =\; B(0,\; 7)$, $(x\_3,\; y\_3)\; =\; C(5,\; -5)$।

$$\backslash text\{क्षेत्रफल\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |(-4)(7\; -\; (-5))\; +\; (0)(-5\; -\; 5)\; +\; (5)(5\; -\; 7)|$$

$$=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |(-4)(7\; +\; 5)\; +\; (0)(-10)\; +\; (5)(-2)|$$

$$=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |(-4)(12)\; +\; 0\; -\; 10|$$

$$=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |-48\; -\; 10|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; |-58|\; =\; \backslash frac\{58\}\{2\}\; =\; 29\; \backslash text\{\; वर्ग\; इकाई\}$$

चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल:

$$\backslash text\{कुल\; क्षेत्रफल\}\; =\; \backslash triangle\; ADC\; \backslash text\{\; का\; क्षेत्रफल\}\; +\; \backslash triangle\; ABC\; \backslash text\{\; का\; क्षेत्रफल\}$$

$$=\; \backslash frac\{63\}\{2\}\; +\; 29\; =\; \backslash frac\{63\; +\; 58\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{121\}\{2\}\; \backslash text\{\; वर्ग\; इकाई\}$$

अतः, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल $\backslash frac\{121\}\{2\}$ या 60.5 वर्ग इकाई है।

माना कि समबाहु त्रिभुज ABC है, जिसकी भुजा की लंबाई $2a$ है।

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का आधार Y-अक्ष के अनुदिश है और इसका मध्य-बिंदु मूल बिंदु (0, 0) पर है।

चूंकि आधार Y-अक्ष पर है और मध्य-बिंदु मूल बिंदु पर है, तो आधार के दो शीर्ष Y-अक्ष पर होंगे, जो मूल बिंदु से $a$ दूरी पर होंगे। मान लीजिए आधार BC है। तब B के निर्देशांक $(0,\; a)$ और C के निर्देशांक $(0,\; -a)$ होंगे। (या इसके विपरीत)।

चूंकि त्रिभुज समबाहु है, इसलिए तीसरा शीर्ष (A) आधार के मध्य-बिंदु (मूल बिंदु) से समान दूरी पर होगा और आधार के लंबवत दिशा में स्थित होगा। आधार Y-अक्ष पर है, इसलिए तीसरा शीर्ष X-अक्ष पर स्थित होगा।

मान लीजिए तीसरा शीर्ष A के निर्देशांक $(x,\; 0)$ हैं।

समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए AB = BC = CA = $2a$।

हम शीर्ष A और B के बीच की दूरी का उपयोग करके $x$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:

AB = $2a$

दूरी सूत्र का उपयोग करके, $AB^2\; =\; (x\; -\; 0)^2\; +\; (0\; -\; a)^2$

$$(2a)^2\; =\; x^2\; +\; (-a)^2$$

$$4a^2\; =\; x^2\; +\; a^2$$

$$x^2\; =\; 4a^2\; -\; a^2$$

$$x^2\; =\; 3a^2$$

$$x\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{3a^2\}\; =\; \backslash pm\; a\backslash sqrt\{3\}$$

इसलिए, तीसरे शीर्ष A के निर्देशांक $(a\backslash sqrt\{3\},\; 0)$ या $(-a\backslash sqrt\{3\},\; 0)$ हो सकते हैं।

अतः, त्रिभुज के शीर्ष हैं: $(0,\; a)$, $(0,\; -a)$, और $(a\backslash sqrt\{3\},\; 0)$ या $(0,\; a)$, $(0,\; -a)$, और $(-a\backslash sqrt\{3\},\; 0)$।