कक्षा 8 गणित: अध्याय 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ - NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

NCERT Solutions PDF Class 8 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 8 के गणित के अध्याय 9, 'बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें प्रश्नावली 9.1 के सभी प्रश्नों के हल शामिल हैं, जो बीजीय व्यंजकों के पदों और गुणांकों की पहचान करने, व्यंजकों को एकपदी, द्विपद और त्रिपद के रूप में वर्गीकृत करने, व्यंजकों का योग ज्ञात करने और व्यंजकों को घटाने की विधियों पर केंद्रित हैं। प्रत्येक समाधान को स्पष्टता और समझ को बढ़ाने के लिए विस्तृत चरणों और स्पष्टीकरणों के साथ फिर से लिखा गया है। यह संसाधन छात्रों को बीजीय व्यंजकों की मूल बातें समझने और परीक्षा की तैयारी के लिए अभ्यास करने में मदद करेगा।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 8
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	9. बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ

Chapter summary

कक्षा 8 के गणित के अध्याय 9, 'बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ' के लिए ये NCERT समाधान छात्रों को बीजीय व्यंजकों की बुनियादी समझ प्रदान करते हैं। समाधानों में पदों और गुणांकों की पहचान, व्यंजकों का वर्गीकरण (एकपदी, द्विपद, त्रिपद), और व्यंजकों के योग और घटाव की प्रक्रियाएं शामिल हैं। यह अध्याय छात्रों को बीजगणित की दुनिया से परिचित कराता है, जो आगे की गणितीय शिक्षा के लिए एक महत्वपूर्ण आधार है।

Learning outcomes

बीजीय व्यंजकों के पदों और गुणांकों की पहचान करना सीखें।
व्यंजकों को एकपदी, द्विपद और त्रिपद के रूप में वर्गीकृत करना समझें।
बीजीय व्यंजकों का योग ज्ञात करने की प्रक्रिया का अभ्यास करें।
बीजीय व्यंजकों को घटाने की विधि को समझें और लागू करें।
बीजीय व्यंजकों से संबंधित विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल करने में सक्षम बनें।

Topics covered

Paper topics

बीजीय व्यंजक
पद
गुणांक
एकपदी
द्विपद
त्रिपद
बहुपद
बीजीय व्यंजकों का योग
बीजीय व्यंजकों का घटाव
समान पद
असमान पद
बीजगणित का परिचय

Important topics

पदों और गुणांकों की पहचान
एकपदी, द्विपद, त्रिपद में वर्गीकरण
बीजीय व्यंजकों का योग
बीजीय व्यंजकों का घटाव
समान पदों को पहचानना और संयोजित करना

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के पदों एवं गुणांकों को पहचानिए:

(i) 5xyz^2 - 3zy

(ii) 1 + x + x^2

(iii) 4x^2y^2 - 4x^2y^2z^2 + z^2

(iv) 3-pq+qr-rp (v) \frac{x}{2} + \frac{y}{2} - xy

(vi) 0.3a - 0.6ab + 0.5b

Solution:

किसी बीजीय व्यंजक में पदों को '+' या '-' चिह्नों द्वारा अलग किए गए भागों के रूप में पहचाना जाता है। प्रत्येक पद के साथ लगा संख्यात्मक गुणक उसका गुणांक कहलाता है।

(i) व्यंजक 5xyz^2 - 3zy के पद हैं 5xyz^2 और -3zy।

5xyz^2 का गुणांक 5 है और -3zy का गुणांक -3 है।

(ii) व्यंजक 1 + x + x^2 के पद हैं 1, x, और x^2।

x का गुणांक 1 है और x^2 का गुणांक 1 है। स्थिरांक पद 1 का गुणांक भी 1 माना जाता है।

(iii) व्यंजक 4x^2y^2 - 4x^2y^2z^2 + z^2 के पद हैं 4x^2y^2, -4x^2y^2z^2, और z^2।

4x^2y^2 का गुणांक 4 है, -4x^2y^2z^2 का गुणांक -4 है, और z^2 का गुणांक 1 है।

(iv) व्यंजक 3-pq+qr-rp के पद हैं 3, -pq, qr, और -rp।

-pq का गुणांक -1 है, qr का गुणांक 1 है, और -rp का गुणांक -1 है। स्थिरांक पद 3 का गुणांक 3 है।

(v) व्यंजक

\frac{x}{2} + \frac{y}{2} - xy

के पद हैं \frac{x}{2}, \frac{y}{2}, और -xy।

\frac{x}{2} का गुणांक \frac{1}{2} है, \frac{y}{2} का गुणांक \frac{1}{2} है, और -xy का गुणांक -1 है।

(vi) व्यंजक 0.3a - 0.6ab + 0.5b के पद हैं 0.3a, -0.6ab, और 0.5b।

0.3a का गुणांक 0.3 है, -0.6ab का गुणांक -0.6 है, और 0.5b का गुणांक 0.5 है।

प्रश्न 2

निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपद एवं त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन-सा बहुपद इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है?

$x+y$ , 1000, $x+x^2+x^3+x^4$ , $7+y+5x$ , $2y-3y^2$ , $2y-3y^2+4y^3$ , $5x-4y+3xy$ , $4z-15z^2$ , $ab+bc+cd+da$ , $pqr$ , $p^2q+pq^2$ , $2p+2q$

Solution:

एकपदी, द्विपद और त्रिपद को उनके पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। एकपदी में एक पद होता है, द्विपद में दो पद होते हैं, और त्रिपद में तीन पद होते हैं। जिन व्यंजकों में तीन से अधिक पद होते हैं, वे इन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं आते हैं।

(i) $x+y$ : इसमें 2 पद हैं, इसलिए यह एक द्विपद है।

(ii) 1000: इसमें 1 पद है, इसलिए यह एक एकपदी है।

(iii) $x+x^2+x^3+x^4$ : इसमें 4 पद हैं, इसलिए यह इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है।

(iv) $7+y+5x$ : इसमें 3 पद हैं, इसलिए यह एक त्रिपद है।

(v) $2y-3y^2$ : इसमें 2 पद हैं, इसलिए यह एक द्विपद है।

(vi) $2y-3y^2+4y^3$ : इसमें 3 पद हैं, इसलिए यह एक त्रिपद है।

(vii) $5x-4y+3xy$ : इसमें 3 पद हैं, इसलिए यह एक त्रिपद है।

(viii) $4z-15z^2$ : इसमें 2 पद हैं, इसलिए यह एक द्विपद है।

(ix) $ab+bc+cd+da$ : इसमें 4 पद हैं, इसलिए यह इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है।

(x) $pqr$ : इसमें 1 पद है, इसलिए यह एक एकपदी है।

(xi) $p^2q+pq^2$ : इसमें 2 पद हैं, इसलिए यह एक द्विपद है।

(xii) $2p+2q$ : इसमें 2 पद हैं, इसलिए यह एक द्विपद है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए:

(i) $ab-bc, bc-ca, ca-ab$

(ii) $a-b+ab, b-c+bc, c-a+ac$

(iii) $2p^2q^2-3pq+4, 5+7pq-3p^2q^2$

(iv) $l^2 + m^2, m^2 + n^2, n^2 + l^2, 2lm + 2mn + 2nl$

Solution:

योग ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजकों को इस प्रकार लिखते हैं कि समान पद एक दूसरे के नीचे आ जाएँ, और फिर समान पदों के गुणांकों को जोड़ते हैं।

(i) व्यंजकों ab-bc, bc-ca, और ca-ab का योग:

ab - bc \\

+ bc - ca \\

+ ca - ab \\

---------- \\ 0 अतः, योग 0 है।

(ii) व्यंजकों a-b+ab, b-c+bc, और c-a+ac का योग:

a - b + ab \\

+ b - c + bc \\

+ c - a + ac \\

---------- \\

0 + 0 + ab + 0 + bc + ac

अतः, योग ab+bc+ac है।

(iii) व्यंजकों 2p^2q^2-3pq+4 और 5+7pq-3p^2q^2 का योग:

2p^2q^2 - 3pq + 4 \\

-3p^2q^2 + 7pq + 5 \\

------------------ \\

-p^2q^2 + 4pq + 9

अतः, योग -p^2q^2+4pq+9 है।

(iv) व्यंजकों l^2 + m^2, m^2 + n^2, n^2 + l^2, और 2lm + 2mn + 2nl का योग:

l^2 + m^2 \\

+ m^2 + n^2 \\

+ n^2 + l^2 \\

+ 2lm + 2mn + 2nl \\

-------------------------- \\

2l^2 + 2m^2 + 2n^2 + 2lm + 2mn + 2nl

इसे 2(l^2+m^2+n^2+lm+mn+nl) के रूप में भी लिखा जा सकता है।

अतः, योग 2l^2 + 2m^2 + 2n^2 + 2lm + 2mn + 2nl है।

प्रश्न 4

निम्नलिखित को घटाइए:

(a) $12a-9ab+5b-3$ में से $4a-7ab+3b+12$ को घटाइए।

(b) $5xy - 2yz - 2zx + 10xyz$ में से $3xy + 5yz - 7zx$ को घटाइए।

Solution:

घटाने के लिए, हम दूसरे व्यंजक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलते हैं और फिर उसे पहले व्यंजक के समान पदों में जोड़ते हैं।

(a) 12a-9ab+5b-3 में से 4a-7ab+3b+12 को घटाना:

12a - 9ab + 5b - 3 \\

- (4a - 7ab + 3b + 12) \\

-------------------------- \\

12a - 9ab + 5b - 3 \\

- 4a + 7ab - 3b - 12 \\

-------------------------- \\

8a - 2ab + 2b - 15

अतः, परिणाम 8a - 2ab + 2b - 15 है।

(b) 5xy - 2yz - 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz - 7zx को घटाना:

5xy - 2yz - 2zx + 10xyz \\

- (3xy + 5yz - 7zx) \\

-------------------------- \\

5xy - 2yz - 2zx + 10xyz \\

- 3xy - 5yz + 7zx \\

-------------------------- \\

2xy - 7yz + 5zx + 10xyz

अतः, परिणाम 2xy - 7yz + 5zx + 10xyz है।

पहले व्यंजकों को मानक रूप में व्यवस्थित करें:

5p^2q - 2pq^2 + 5pq - 11q - 3p + 18

4p^2q + 5pq^2 - 3pq + 7q - 8p - 10

अब घटाएं:

5p^2q - 2pq^2 + 5pq - 11q - 3p + 18 \\

- (4p^2q + 5pq^2 - 3pq + 7q - 8p - 10) \\

------------------------------------------ \\

5p^2q - 2pq^2 + 5pq - 11q - 3p + 18 \\

- 4p^2q - 5pq^2 + 3pq - 7q + 8p + 10 \\

------------------------------------------ \\

p^2q - 7pq^2 + 8pq - 18q + 5p + 28

अतः, परिणाम p^2q - 7pq^2 + 8pq - 18q + 5p + 28 है।

Common mistakes

पदों और गुणांकों की पहचान करते समय चिह्नों (धनात्मक/ऋणात्मक) को गलत समझना।
समान पदों को जोड़ते या घटाते समय गुणांकों को गलत तरीके से जोड़ना या घटाना।
व्यंजकों को वर्गीकृत करते समय पदों की सही संख्या गिनने में त्रुटि करना।
घटाव करते समय दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिह्नों को बदलने में चूक जाना।

Revision tips

प्रत्येक प्रश्न के हल को ध्यान से पढ़ें, विशेषकर पदों और गुणांकों की पहचान पर ध्यान दें।
योग और घटाव के प्रश्नों में, समान पदों को एक साथ समूहित करने और चिह्नों का ध्यान रखने का अभ्यास करें।
एकपदी, द्विपद और त्रिपद के वर्गीकरण के लिए प्रत्येक व्यंजक में पदों की संख्या गिनने का अभ्यास करें।
सभी उदाहरणों और प्रश्नावली के प्रश्नों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. व्यंजक <math>4x^2y^2 - 4x^2y^2z^2 + z^2</math> में <math>x^2y^2z^2</math> का गुणांक क्या है?

Q2. निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक एक द्विपद है?

Q3. व्यंजक <math>ab-bc, bc-ca, ca-ab</math> का योग क्या है?

Q4. व्यंजक <math>5x-4y+3xy</math> को किस रूप में वर्गीकृत किया जाएगा?

Q5. जब हम <math>4a-7ab+3b+12</math> को <math>12a-9ab+5b-3</math> में से घटाते हैं, तो परिणाम क्या होता है?

Frequently asked questions

कक्षा 8 के गणित में 'बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ' अध्याय का क्या महत्व है?

यह अध्याय छात्रों को बीजगणित की मूल बातें सिखाता है, जैसे कि चर, स्थिरांक, पद, गुणांक और विभिन्न प्रकार के व्यंजक। यह आगे की गणितीय अवधारणाओं के लिए एक मजबूत नींव रखता है।

बीजीय व्यंजक में 'पद' और 'गुणांक' क्या होते हैं?

पद व्यंजक के वे भाग होते हैं जो '+' या '-' चिह्नों से अलग होते हैं। गुणांक वह संख्यात्मक मान होता है जो चर के साथ गुणा में होता है।

एकपदी, द्विपद और त्रिपद में क्या अंतर है?

एकपदी में केवल एक पद होता है, द्विपद में दो पद होते हैं, और त्रिपद में तीन पद होते हैं। ये व्यंजकों को उनके पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत करने के तरीके हैं।

बीजीय व्यंजकों का योग कैसे ज्ञात किया जाता है?

योग ज्ञात करने के लिए, समान पदों को एक साथ समूहित किया जाता है और उनके गुणांकों को जोड़ा या घटाया जाता है। असमान पदों को वैसे ही लिखा जाता है।

क्या इन समाधानों का उपयोग परीक्षा की तैयारी के लिए किया जा सकता है?

हाँ, ये समाधान विस्तृत स्पष्टीकरण और हल किए गए उदाहरण प्रदान करते हैं, जो परीक्षा की तैयारी और अवधारणाओं को मजबूत करने के लिए बहुत उपयोगी हैं।

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