कक्षा 8 गणित: अध्याय 7 घन और घनमूल NCERT समाधान

किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक गुणनखंड की घात 3 का गुणज होनी चाहिए। आइए प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडन की जाँच करें:

1. 216:

   216 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3। यहाँ, गुणनखंड 2 तीन बार और गुणनखंड 3 तीन बार आता है। इसलिए, 216 एक पूर्ण घन है।

2. 128:

   128 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2। यहाँ, गुणनखंड 2 सात बार आता है। इसे तीन-तीन के समूहों में व्यवस्थित करने पर, हमारे पास तीन समूह (2 x 2 x 2) और एक अतिरिक्त 2 बचता है। चूँकि सभी गुणनखंड तीन के समूहों में नहीं हैं, 128 एक पूर्ण घन नहीं है।

3. 1000:

   1000 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5। यहाँ, गुणनखंड 2 तीन बार और गुणनखंड 5 तीन बार आता है। इसलिए, 1000 एक पूर्ण घन है।

4. 100:

   100 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 5 x 5। यहाँ, गुणनखंड 2 दो बार और गुणनखंड 5 दो बार आता है। कोई भी गुणनखंड तीन के समूह में नहीं है। इसलिए, 100 एक पूर्ण घन नहीं है।

5. 46656:

   46656 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3। इसे तीन-तीन के समूहों में व्यवस्थित करने पर, हमारे पास (2 x 2 x 2), (2 x 2 x 2), (3 x 3 x 3), और (3 x 3 x 3) के समूह बनते हैं। चूँकि सभी गुणनखंड तीन-तीन के समूहों में हैं, 46656 एक पूर्ण घन है।

निष्कर्ष: संख्याएँ 128 और 100 पूर्ण घन नहीं हैं।

किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें उसके अभाज्य गुणनखंडों को तीन-तीन के समूहों में व्यवस्थित करना होगा। यदि कोई गुणनखंड तीन के समूह में नहीं है, तो हमें उस संख्या से गुणा करना होगा ताकि वह तीन के समूह में आ जाए।

1. 243:

   243 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 3 x 3 x 3 x 3 x 3। यहाँ, 3 तीन बार आता है (एक समूह), और फिर 3 दो बार बचता है। पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 3 के एक और समूह की आवश्यकता है। इसलिए, हमें 3 x 3 = 9 से गुणा करना होगा।

   जाँच: 243 x 9 = 2187, जिसके अभाज्य गुणनखंड 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 हैं, जो (3^3) x (3^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 9 है जिससे 243 को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

2. 256:

   256 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2। यहाँ, 2 आठ बार आता है। इसे तीन-तीन के समूहों में व्यवस्थित करने पर, हमारे पास (2 x 2 x 2) और (2 x 2 x 2) के दो समूह बनते हैं, और 2 दो बार बचता है। पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 2 के एक और समूह की आवश्यकता है। इसलिए, हमें 2 x 2 = 4 से गुणा करना होगा।

   जाँच: 256 x 4 = 1024, जिसके अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 हैं, जो (2^3) x (2^3) x (2^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 4 है जिससे 256 को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

3. 72:

   72 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 3 x 3। यहाँ, 2 तीन बार आता है (एक समूह), लेकिन 3 केवल दो बार आता है। पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 3 के एक और समूह की आवश्यकता है। इसलिए, हमें 3 से गुणा करना होगा।

   जाँच: 72 x 3 = 216, जिसके अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 हैं, जो (2^3) x (3^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 3 है जिससे 72 को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

4. 675:

   675 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 3 x 3 x 3 x 5 x 5। यहाँ, 3 तीन बार आता है (एक समूह), लेकिन 5 केवल दो बार आता है। पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 5 के एक और समूह की आवश्यकता है। इसलिए, हमें 5 से गुणा करना होगा।

   जाँच: 675 x 5 = 3375, जिसके अभाज्य गुणनखंड 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 हैं, जो (3^3) x (5^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 5 है जिससे 675 को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

5. 100:

   100 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 5 x 5। यहाँ, 2 दो बार आता है और 5 दो बार आता है। पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 2 के एक और समूह (2 x 2 x 2) और 5 के एक और समूह (5 x 5 x 5) की आवश्यकता है। इसलिए, हमें 2 x 5 = 10 से गुणा करना होगा।

   जाँच: 100 x 10 = 1000, जिसके अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 हैं, जो (2^3) x (5^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 10 है जिससे 100 को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए भाग देने की विधि में, हम उसके अभाज्य गुणनखंडन करते हैं और उन गुणनखंडों को हटा देते हैं जो तीन के समूह में नहीं हैं।

1. 81:

   81 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 3 x 3 x 3 x 3। यहाँ, 3 तीन बार आता है (एक समूह), और एक अतिरिक्त 3 बचता है। इस अतिरिक्त 3 को हटाने के लिए, हमें 81 को 3 से भाग देना होगा।

   जाँच: 81 ÷ 3 = 27, जिसके अभाज्य गुणनखंड 3 x 3 x 3 हैं, जो (3^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 3 है जिससे 81 को भाग देने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

2. 128:

   128 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2। यहाँ, 2 सात बार आता है। इसे तीन-तीन के समूहों में व्यवस्थित करने पर, हमारे पास (2 x 2 x 2) और (2 x 2 x 2) के दो समूह बनते हैं, और एक अतिरिक्त 2 बचता है। इस अतिरिक्त 2 को हटाने के लिए, हमें 128 को 2 से भाग देना होगा।

   जाँच: 128 ÷ 2 = 64, जिसके अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 हैं, जो (2^3) x (2^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 2 है जिससे 128 को भाग देने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

3. 135:

   135 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 3 x 3 x 3 x 5। यहाँ, 3 तीन बार आता है (एक समूह), लेकिन 5 केवल एक बार आता है। इस अतिरिक्त 5 को हटाने के लिए, हमें 135 को 5 से भाग देना होगा।

   जाँच: 135 ÷ 5 = 27, जिसके अभाज्य गुणनखंड 3 x 3 x 3 हैं, जो (3^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 5 है जिससे 135 को भाग देने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

4. 192:

   192 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3। यहाँ, 2 छह बार आता है (दो समूह), लेकिन 3 केवल एक बार आता है। इस अतिरिक्त 3 को हटाने के लिए, हमें 192 को 3 से भाग देना होगा।

   जाँच: 192 ÷ 3 = 64, जिसके अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 हैं, जो (2^3) x (2^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 3 है जिससे 192 को भाग देने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

5. 704:

   704 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2। यहाँ, 2 नौ बार आता है। इसे तीन-तीन के समूहों में व्यवस्थित करने पर, हमारे पास (2 x 2 x 2), (2 x 2 x 2), और (2 x 2 x 2) के तीन समूह बनते हैं। चूँकि सभी गुणनखंड तीन के समूहों में हैं, 704 पहले से ही एक पूर्ण घन है। इसलिए, इसे किसी भी संख्या से भाग देने पर भागफल पूर्ण घन ही रहेगा, लेकिन प्रश्न सबसे छोटी संख्या पूछ रहा है जिससे भाग देने पर पूर्ण घन प्राप्त हो। यदि कोई संख्या पहले से ही पूर्ण घन है, तो उसे 1 से भाग देने पर वह पूर्ण घन ही रहेगी। हालाँकि, यदि प्रश्न का अर्थ है कि 'अतिरिक्त' गुणनखंडों को हटाना है, तो यहाँ कोई अतिरिक्त गुणनखंड नहीं है। यदि हम प्रश्न के संदर्भ में देखें, तो 704 = 2^9 = (2^3)^3 = 8^3 = 512। यह एक पूर्ण घन है। यदि प्रश्न का अर्थ है कि 'सबसे छोटी संख्या जिससे भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए', तो वह संख्या 1 होगी। लेकिन आमतौर पर ऐसे प्रश्नों में एक ऐसी संख्या होती है जिसे भाग देकर पूर्ण घन बनाया जाता है। स्रोत में 704 के लिए कोई अभाज्य गुणनखंडन नहीं दिया गया है। यदि हम 704 के गुणनखंड करें: 704 = 2 x 352 = 2 x 2 x 176 = 2 x 2 x 2 x 88 = 2 x 2 x 2 x 2 x 44 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 22 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 11। यहाँ 2 छह बार है (पूर्ण घन समूह) और 11 एक बार है। इस 11 को हटाने के लिए, हमें 704 को 11 से भाग देना होगा।

   जाँच: 704 ÷ 11 = 64, जिसके अभाज्य गुणनखंड 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 हैं, जो (2^3) x (2^3) है।

   अतः, सबसे छोटी संख्या 11 है जिससे 704 को भाग देने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।