कक्षा 8 गणित: अध्याय 6 वर्ग और वर्गमूल NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

NCERT Solutions PDF Class 8 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 8 के गणित विषय के अध्याय 6, 'वर्ग और वर्गमूल' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें प्रश्नावली 6.1 के सभी प्रश्नों के हल शामिल हैं, जो छात्रों को वर्ग संख्याओं की विशेषताओं, इकाई के अंकों की पहचान करने और पूर्ण वर्ग संख्याओं के गुणों को समझने में मदद करते हैं। समाधानों में प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण दिया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने और परीक्षा की तैयारी में सहायता मिलती है। यह संसाधन छात्रों को वर्ग और वर्गमूल की अवधारणाओं को प्रभावी ढंग से सीखने और अभ्यास करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 8
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	6. वर्ग और वर्गमूल

Chapter summary

अध्याय 6 'वर्ग और वर्गमूल' के ये NCERT समाधान कक्षा 8 के छात्रों के लिए वर्ग संख्याओं के मूल सिद्धांतों को समझने में मदद करते हैं। इसमें प्रश्नावली 6.1 के प्रश्न शामिल हैं जो वर्ग संख्याओं के इकाई के अंकों की पहचान, पूर्ण वर्ग न होने के कारणों का विश्लेषण, और विषम वर्ग संख्याओं की पहचान पर केंद्रित हैं। समाधानों में पैटर्न-आधारित प्रश्नों को भी हल किया गया है, जो छात्रों को वर्ग और वर्गमूल की संरचनात्मक समझ विकसित करने में सहायता करते हैं।

Learning outcomes

किसी दी गई संख्या के वर्ग के इकाई के अंक का निर्धारण करना।
पूर्ण वर्ग संख्याओं की विशेषताओं को समझना।
यह पहचानना कि कौन सी संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं हैं और इसके कारण बताना।
विषम संख्याओं के वर्गों की प्रकृति को समझना।
वर्ग संख्याओं से संबंधित पैटर्न को पहचानना और लागू करना।

Topics covered

Paper topics

वर्ग संख्याएँ
वर्गमूल
इकाई के अंक
पूर्ण वर्ग संख्याएँ
पूर्ण वर्ग न होने के कारण
विषम वर्ग
पैटर्न अवलोकन
संख्याओं के वर्ग

Important topics

पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई के अंक
पूर्ण वर्ग न होने की शर्तें
विषम संख्याओं के वर्ग की प्रकृति
वर्ग संख्याओं में पैटर्न की पहचान

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?

(i) 81

(ii) 272

(iii) 799

(iv) 3853

(v) 1234

(vi) 26387

(vii) 52698

(viii) 99880

(ix) 12796

(x) 55555

Solution:

किसी संख्या के वर्ग का इकाई का अंक उस संख्या के इकाई के अंक के वर्ग के इकाई के अंक के समान होता है। हम प्रत्येक संख्या के इकाई के अंक का वर्ग करेंगे और उसके इकाई के अंक को ज्ञात करेंगे:

81: इकाई का अंक 1 है। $1^2 = 1$ । अतः, 81 के वर्ग का इकाई अंक 1 होगा।
272: इकाई का अंक 2 है। $2^2 = 4$ । अतः, 272 के वर्ग का इकाई अंक 4 होगा।
799: इकाई का अंक 9 है। $9^2 = 81$ । अतः, 799 के वर्ग का इकाई अंक 1 होगा।
3853: इकाई का अंक 3 है। $3^2 = 9$ । अतः, 3853 के वर्ग का इकाई अंक 9 होगा।
1234: इकाई का अंक 4 है। $4^2 = 16$ । अतः, 1234 के वर्ग का इकाई अंक 6 होगा।
26387: इकाई का अंक 7 है। $7^2 = 49$ । अतः, 26387 के वर्ग का इकाई अंक 9 होगा।
52698: इकाई का अंक 8 है। $8^2 = 64$ । अतः, 52698 के वर्ग का इकाई अंक 4 होगा।
99880: इकाई का अंक 0 है। $0^2 = 0$ । अतः, 99880 के वर्ग का इकाई अंक 0 होगा।
12796: इकाई का अंक 6 है। $6^2 = 36$ । अतः, 12796 के वर्ग का इकाई अंक 6 होगा।
55555: इकाई का अंक 5 है। $5^2 = 25$ । अतः, 55555 के वर्ग का इकाई अंक 5 होगा।

प्रश्न 2

निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण बताइए।

(i) 1057

(ii) 23453

(iii) 7928

(iv) 222222

(v) 64000

(vi) 89722

(vii) 222000

(viii) 505050

Solution:

हम जानते हैं कि किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या के इकाई के अंक 0, 1, 4, 5, 6, या 9 ही हो सकते हैं। इसके अतिरिक्त, यदि किसी संख्या के अंत में शून्य (0) हैं, तो उनकी संख्या सम होनी चाहिए। इन नियमों के आधार पर हम संख्याओं का विश्लेषण करेंगे:

1057: इस संख्या का इकाई का अंक 7 है। चूँकि 7 किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक नहीं हो सकता, इसलिए 1057 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।
23453: इस संख्या का इकाई का अंक 3 है। चूँकि 3 किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक नहीं हो सकता, इसलिए 23453 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।
7928: इस संख्या का इकाई का अंक 8 है। चूँकि 8 किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक नहीं हो सकता, इसलिए 7928 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।
222222: इस संख्या का इकाई का अंक 2 है। चूँकि 2 किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक नहीं हो सकता, इसलिए 222222 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।
64000: इस संख्या के अंत में तीन शून्य (0) हैं। पूर्ण वर्ग संख्याओं के अंत में शून्यों की संख्या सम होनी चाहिए (जैसे 2, 4, 6, आदि)। चूँकि यहाँ शून्यों की संख्या विषम (3) है, इसलिए 64000 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।
89722: इस संख्या का इकाई का अंक 2 है। चूँकि 2 किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक नहीं हो सकता, इसलिए 89722 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।
222000: इस संख्या के अंत में तीन शून्य (0) हैं। पूर्ण वर्ग संख्याओं के अंत में शून्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चूँकि यहाँ शून्यों की संख्या विषम (3) है, इसलिए 222000 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।
505050: इस संख्या के अंत में एक शून्य (0) है। पूर्ण वर्ग संख्याओं के अंत में शून्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चूँकि यहाँ शून्यों की संख्या विषम (1) है, इसलिए 505050 स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम होगा?

(i) 431

(ii) 2826

(iii) 799

(iv) 82004

Solution:

हम जानते हैं कि एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है, और एक सम संख्या का वर्ग हमेशा सम होता है। इसलिए, हमें केवल उन संख्याओं की पहचान करनी है जो विषम हैं।

431: यह एक विषम संख्या है क्योंकि इसका इकाई का अंक 1 है। अतः, 431 का वर्ग विषम होगा।
2826: यह एक सम संख्या है क्योंकि इसका इकाई का अंक 6 है। अतः, 2826 का वर्ग सम होगा, विषम नहीं।
799: यह एक विषम संख्या है क्योंकि इसका इकाई का अंक 9 है। अतः, 799 का वर्ग विषम होगा।
82004: यह एक सम संख्या है क्योंकि इसका इकाई का अंक 4 है। अतः, 82004 का वर्ग सम होगा, विषम नहीं।

इसलिए, 431 और 799 का वर्ग विषम होगा।

प्रश्न 4

निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए:

$11^{2} = 121$

$101^{2} = 10201$

$1001^{2} = 1002001$

$10001^{2} = 100020001$

$1000001^{2} = 1000002000001$

Solution:

दिए गए पैटर्न का अवलोकन करने पर, हम देखते हैं कि जब हम 1 के बाद शून्य की संख्या बढ़ाते हैं और फिर 1 का वर्ग करते हैं, तो परिणामी संख्या में '2' के दोनों ओर शून्यों की संख्या मूल संख्या में शून्यों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए:

$11^{2}$ (0 शून्य) = 121
$101^{2}$ (1 शून्य) = 10201
$1001^{2}$ (2 शून्य) = 1002001
$10001^{2}$ (3 शून्य) = 100020001
$1000001^{2}$ (5 शून्य) = 1000002000001

इस पैटर्न का अनुसरण करते हुए, हम रिक्त स्थानों को भर सकते हैं:

$100001^{2} = 10000200001$

$10000001^{2} = 100000020000001$

प्रश्न 5

निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए:

$11^{2} = 121$

$101^{2} = 10201$

$10101^{2} = 102030201$

$1010101^{2} = 1020304030201$

$101010101^{2} = 10203040504030201$

Solution:

इस पैटर्न में, संख्या में '1' की संख्या (और उनके बीच के '0' की संख्या) के आधार पर परिणामी वर्ग बनता है। संख्या में जितने '1' होते हैं, परिणामी संख्या में अंक बढ़ते क्रम में उस संख्या तक जाते हैं और फिर घटते क्रम में वापस 1 तक आते हैं, बीच में '0' के साथ।

$11^{2}$ (दो 1s) = 121 (1, 2, 1)
$101^{2}$ (दो 1s) = 10201 (1, 0, 2, 0, 1)
$10101^{2}$ (तीन 1s) = 102030201 (1, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 1)
$1010101^{2}$ (चार 1s) = 1020304030201 (1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 1)
$101010101^{2}$ (पाँच 1s) = 10203040504030201 (1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 1)

इस पैटर्न का अनुसरण करते हुए, हम रिक्त स्थानों को भर सकते हैं:

$1010101^{2} = 1020304030201$

$101010101^{2} = 10203040504030201$

प्रश्न 6

दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को प्राप्त कीजिए:

$2 = 121$

$? = 10201$

$? = 1002001$

$? = 100020001$

$? = 10000200001$

Solution:

यह प्रश्न प्रश्न 4 के पैटर्न का ही एक रूप है, जहाँ हमें वर्ग के परिणाम से मूल संख्या ज्ञात करनी है। हम जानते हैं कि संख्या के वर्ग में '2' के दोनों ओर शून्यों की संख्या मूल संख्या में शून्यों की संख्या के बराबर होती है।

$121 = 11^{2}$ (0 शून्य)
$10201 = 101^{2}$ (1 शून्य)
$1002001 = 1001^{2}$ (2 शून्य)
$100020001 = 10001^{2}$ (3 शून्य)
$10000200001 = 100001^{2}$ (4 शून्य)

इसलिए, लुप्त संख्याएँ हैं:

$11^{2} = 121$

$101^{2} = 10201$

$1001^{2} = 1002001$

$10001^{2} = 100020001$

$100001^{2} = 10000200001$

Common mistakes

वर्ग के इकाई के अंक को गलत तरीके से निर्धारित करना।
पूर्ण वर्ग न होने के कारणों को गलत समझना, विशेषकर शून्य की संख्या के संबंध में।
पैटर्न-आधारित प्रश्नों में संख्याओं के बीच संबंध स्थापित करने में कठिनाई।

Revision tips

प्रत्येक संख्या के इकाई के अंक का वर्ग करके उसके इकाई के अंक पर ध्यान केंद्रित करें।
पूर्ण वर्ग न होने वाली संख्याओं के लिए इकाई के अंक और शून्य की संख्या वाले नियमों को याद रखें।
दिए गए पैटर्न को ध्यान से देखें और संख्याओं के बीच संबंध स्थापित करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. संख्या 799 के वर्ग के इकाई का अंक क्या होगा?

Q2. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है?

Q3. यदि किसी संख्या का वर्ग विषम है, तो वह संख्या कैसी होगी?

Q4. पैटर्न 11^2 = 121, 101^2 = 10201 में, 1001^2 का मान क्या होगा?

Q5. संख्या 64000 पूर्ण वर्ग क्यों नहीं है?

Frequently asked questions

कक्षा 8 के गणित में अध्याय 6 का क्या महत्व है?

अध्याय 6 'वर्ग और वर्गमूल' छात्रों को संख्याओं के वर्गों और उनके मूल की अवधारणाओं से परिचित कराता है, जो आगे की गणितीय शिक्षा के लिए एक महत्वपूर्ण आधार है।

वर्ग संख्या के इकाई के अंक का पता कैसे लगाएं?

किसी संख्या के वर्ग का इकाई का अंक उस संख्या के इकाई के अंक के वर्ग के इकाई के अंक के समान होता है। उदाहरण के लिए, 81 के वर्ग का इकाई अंक 1 होगा क्योंकि 1 का वर्ग 1 होता है।

कौन सी संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं?

जिन संख्याओं के इकाई के अंक 2, 3, 7, या 8 होते हैं, वे स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं होतीं। साथ ही, जिन संख्याओं के अंत में विषम संख्या में शून्य होते हैं, वे भी पूर्ण वर्ग नहीं होतीं।

क्या विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है?

हाँ, किसी भी विषम संख्या का वर्ग हमेशा एक विषम संख्या ही होती है।

इन समाधानों का उपयोग परीक्षा की तैयारी के लिए कैसे करें?

इन समाधानों का उपयोग करके, आप प्रत्येक प्रश्न के हल को समझ सकते हैं, मुख्य अवधारणाओं को याद कर सकते हैं, और अभ्यास प्रश्नों को हल करने का तरीका सीख सकते हैं, जिससे आपकी परीक्षा की तैयारी मजबूत होगी।

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