कक्षा 11 गणित अध्याय 16 प्रायिकता के लिए NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के लिए अध्याय 16, प्रायिकता पर विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रतिदर्श समष्टि की अवधारणा को समझने के लिए विभिन्न परीक्षणों के सभी संभावित परिणामों का वर्णन किया गया है। समाधानों में सिक्का उछालना, पासा फेंकना और इन दोनों को मिलाकर किए जाने वाले प्रयोगों के प्रतिदर्श समष्टि को सूचीबद्ध करना शामिल है। प्रत्येक प्रश्न के हल को स्पष्ट रूप से समझाया गया है, जिससे छात्रों को प्रायिकता की मूल बातें समझने में मदद मिलती है। ये समाधान परीक्षा की तैयारी और अवधारणाओं की स्पष्ट समझ के लिए अत्यंत उपयोगी हैं।

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Quick info

BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित-II
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
ChapterChapter 7

Chapter summary

अध्याय 16, प्रायिकता, के NCERT समाधान छात्रों को यादृच्छिक परीक्षणों के प्रतिदर्श समष्टि को परिभाषित करने और ज्ञात करने में मार्गदर्शन करते हैं। समाधानों में एक सिक्का तीन बार उछालने, एक पासा दो बार फेंकने, एक सिक्का चार बार उछालने, एक सिक्का उछालने और एक पासा फेंकने, तथा एक विशेष शर्त के तहत सिक्का उछालने और पासा फेंकने जैसे विभिन्न परिदृश्यों को शामिल किया गया है। यह अध्याय प्रायिकता की नींव रखने वाले सभी संभावित परिणामों को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करने पर केंद्रित है।

Learning outcomes

  • यादृच्छिक परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि को परिभाषित करना सीखें।
  • एक सिक्के को तीन बार उछालने के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • एक पासा दो बार फेंकने के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • एक सिक्के को चार बार उछालने के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • सिक्का उछालने और पासा फेंकने के संयुक्त परीक्षणों के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • दी गई शर्तों के अनुसार प्रतिदर्श समष्टि का निर्माण करना।

Topics covered

Paper topics

  • प्रायिकता का परिचय
  • यादृच्छिक परीक्षण
  • प्रतिदर्श समष्टि
  • सिक्का उछालना
  • पासा फेंकना
  • एक सिक्के की तीन उछालें
  • एक पासे की दो फेंक
  • एक सिक्के की चार उछालें
  • सिक्का और पासा का संयुक्त प्रयोग
  • सशर्त प्रयोग
  • परिणामों का समुच्चय
  • प्रायिकता की मूल अवधारणाएँ

Important topics

  • प्रतिदर्श समष्टि की परिभाषा और निर्माण
  • एक सिक्के की विभिन्न उछालों के प्रतिदर्श समष्टि
  • एक पासे की विभिन्न फेंकों के प्रतिदर्श समष्टि
  • संयुक्त परीक्षणों के प्रतिदर्श समष्टि
  • सशर्त प्रयोगों के प्रतिदर्श समष्टि

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Questions and Solutions

प्रश्न 1. एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है।

एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution: किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी संभावित परिणामों के समुच्चय को उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि कहा जाता है। जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो प्रत्येक उछाल के दो संभावित परिणाम होते हैं: चित (H) या पट (T)। तीन उछालों के लिए सभी संभावित परिणामों का समुच्चय निम्नलिखित है:

S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}

जहाँ, H चित को प्रदर्शित करता है और T पट को प्रदर्शित करता है। इस प्रकार, प्रतिदर्श समष्टि में 8 परिणाम हैं।

प्रश्न 2. एक पासा दो बार फेंका गया है।

एक पासा दो बार फेंका गया है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution: जब एक पासा दो बार फेंका जाता है, तो प्रत्येक फेंक पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या आ सकती है। पहले फेंक के परिणाम को पहले स्थान पर और दूसरे फेंक के परिणाम को दूसरे स्थान पर रखकर क्रमित युग्म (ordered pair) के रूप में परिणामों को दर्शाया जाता है। प्रतिदर्श समष्टि S में सभी संभावित क्रमित युग्मों का समुच्चय शामिल है:

S = \{(x, y) \mid x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}

इसे विस्तार से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

इस प्रतिदर्श समष्टि में कुल 36 परिणाम हैं।

प्रश्न 3. एक सिक्का चार बार उछाला गया है।

एक सिक्का चार बार उछाला गया है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution: जब एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है, तो प्रत्येक उछाल के दो संभावित परिणाम (चित 'H' या पट 'T') होते हैं। चार उछालों के लिए कुल संभावित परिणामों की संख्या \(2^4 = 16\) होती है। प्रतिदर्श समष्टि S में इन सभी 16 परिणामों का समुच्चय शामिल है:

S = \{HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT\}

जहाँ, H सिक्के के चित को और T सिक्के के पट को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 4. एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है। सिक्के पर H और T प्राप्त होते हैं तथा पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या प्राप्त होती है।

एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है। इस संयुक्त परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए, जहाँ सिक्के पर चित (H) या पट (T) प्राप्त होता है और पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या प्राप्त होती है।
Solution: इस परीक्षण में दो घटनाएँ एक साथ हो रही हैं: एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना। सिक्के के दो संभावित परिणाम हैं: H (चित) और T (पट)। पासे के छह संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6। प्रतिदर्श समष्टि S में वे सभी क्रमित युग्म शामिल होंगे जहाँ पहला तत्व सिक्के का परिणाम (H या T) है और दूसरा तत्व पासे का परिणाम (1 से 6) है।

S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}

इस प्रतिदर्श समष्टि में कुल \(2 \times 6 = 12\) परिणाम हैं।

प्रश्न 5. एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के पर चित प्राप्त होता है एक पासा फेंका जाता है।

एक सिक्का उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित (H) प्राप्त होता है, तो एक पासा फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution: इस परीक्षण में, यदि सिक्का उछालने पर पट (T) आता है, तो प्रयोग वहीं समाप्त हो जाता है। केवल तभी जब चित (H) आता है, पासा फेंका जाता है, जिसके परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, 6 हो सकते हैं। इसलिए, प्रतिदर्श समष्टि में दो प्रकार के परिणाम होंगे:
  1. वह परिणाम जहाँ सिक्का उछालने पर पट (T) आता है।
  2. वे परिणाम जहाँ सिक्का उछालने पर चित (H) आता है और उसके बाद पासा फेंका जाता है, जो (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6) हैं।
अतः, प्रतिदर्श समष्टि S को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

S = \{T, H1, H2, H3, H4, H5, H6\}

इस प्रतिदर्श समष्टि में कुल \(1 + 6 = 7\) परिणाम हैं।

Common mistakes

  • सभी संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करने में चूक जाना।
  • परिणामों को व्यवस्थित करने में त्रुटियाँ करना।
  • सशर्त परीक्षणों के लिए प्रतिदर्श समष्टि को गलत तरीके से परिभाषित करना।
  • H (चित) और T (पट) के प्रतीकों का गलत उपयोग।

Revision tips

  • प्रत्येक परीक्षण के लिए प्रतिदर्श समष्टि को सूचीबद्ध करने का अभ्यास करें।
  • सिक्का उछालने और पासा फेंकने के विभिन्न संयोजनों को समझें।
  • उन स्थितियों पर ध्यान केंद्रित करें जहाँ प्रतिदर्श समष्टि का निर्माण सशर्त होता है।
  • सुनिश्चित करें कि आप सभी संभावित परिणामों को शामिल करते हैं और कोई दोहराव नहीं है।

Practice MCQs

Q1. एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम होते हैं?

Q2. जब एक पासा दो बार फेंका जाता है, तो पहले फेंक पर 3 आने की क्या प्रायिकता है?

Q3. एक सिक्का उछाला जाता है और यदि चित आता है तो एक पासा फेंका जाता है। प्रतिदर्श समष्टि क्या है?

Q4. एक पासे को दो बार फेंकने पर प्राप्त परिणामों के समुच्चय को कैसे दर्शाया जाता है?

Frequently asked questions

प्रतिदर्श समष्टि क्या है?

प्रतिदर्श समष्टि किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय होता है। इसे आमतौर पर 'S' अक्षर से दर्शाया जाता है।

एक सिक्के को तीन बार उछालने पर कितने संभावित परिणाम होते हैं?

एक सिक्के को तीन बार उछालने पर कुल 2^3 = 8 संभावित परिणाम होते हैं। ये हैं: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}।

एक पासे को दो बार फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि कैसे ज्ञात करते हैं?

एक पासे को दो बार फेंकने पर, प्रत्येक फेंक के लिए 6 संभावित परिणाम होते हैं। कुल परिणामों की संख्या 6 × 6 = 36 होती है, जिन्हें क्रमित युग्म (x, y) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ x और y 1 से 6 तक कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं।

क्या ये समाधान कक्षा 11 के छात्रों के लिए उपयोगी हैं?

हाँ, ये समाधान विशेष रूप से कक्षा 11 के छात्रों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो NCERT पाठ्यक्रम के अनुसार प्रायिकता अध्याय का अध्ययन कर रहे हैं। ये अवधारणाओं को स्पष्ट करने में मदद करते हैं।

प्रश्न 5 में दिया गया प्रतिदर्श समष्टि क्यों केवल {H1, H2, H3, H4, H5, H6} है?

प्रश्न 5 में, पासा केवल तभी फेंका जाता है जब सिक्के पर चित (H) आता है। यदि पट (T) आता है, तो प्रयोग वहीं समाप्त हो जाता है। इसलिए, केवल वे परिणाम शामिल किए जाते हैं जहाँ चित आता है और उसके बाद पासा फेंका जाता है।

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