कक्षा 10 गणित: त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

NCERT Solutions PDF Class 10 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 10 गणित के अध्याय 9, 'त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें ऊँचाई और दूरी से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण शामिल हैं, जो त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हैं। ये समाधान छात्रों को खंभे की ऊँचाई ज्ञात करने या टूटे हुए पेड़ों की ऊँचाई का अनुमान लगाने जैसी व्यावहारिक समस्याओं को समझने और हल करने में मदद करते हैं। प्रत्येक प्रश्न का समाधान स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने और परीक्षा की तैयारी के लिए एक मजबूत आधार बनाने में सहायता मिलती है। ये समाधान छात्रों को त्रिकोणमिति के व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महारत हासिल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 10
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	9. त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

Chapter summary

अध्याय 9, 'त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग' के ये NCERT समाधान छात्रों को ऊँचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमिति के उपयोग की मूल बातें सिखाते हैं। इसमें समकोण त्रिभुजों में साइन, कोसाइन और टैंजेंट जैसे त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करना शामिल है। समाधानों में एक खंभे की ऊँचाई ज्ञात करना और टूटे हुए पेड़ की कुल ऊँचाई की गणना करना शामिल है, जो छात्रों को वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय अवधारणाओं को लागू करने का अभ्यास प्रदान करते हैं।

Learning outcomes

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके ऊँचाई और दूरी की समस्याओं को हल करना सीखें।
समकोण त्रिभुजों में कोणों और भुजाओं के बीच संबंध को समझें।
वास्तविक दुनिया की स्थितियों को ज्यामितीय मॉडल में बदलना सीखें।
त्रिकोणमिति के व्यावहारिक अनुप्रयोगों को समझें।

Topics covered

Paper topics

त्रिकोणमिति का परिचय
ऊँचाई और दूरी की समस्याएँ
समकोण त्रिभुज
त्रिकोणमितीय अनुपात (साइन, कोसाइन, टैंजेंट)
कोणों का उन्नयन
कोणों का अवनमन

Important topics

ऊँचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों का अनुप्रयोग।
वास्तविक दुनिया की समस्याओं को त्रिकोणमितीय मॉडल में बदलना।
कोणों के उन्नयन और अवनमन को समझना।
समकोण त्रिभुजों में भुजाओं और कोणों के बीच संबंध।

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

सर्कस का एक कलाकार एक $20~\mathrm{m}$ लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

मान लीजिए खंभे की ऊँचाई $h$ मीटर है।

दी गई जानकारी के अनुसार:

डोर की लंबाई (कर्ण) = 20 मीटर
भूमि के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण ( $\theta$ ) = 30°

हम समकोण त्रिभुज में साइन (sin) अनुपात का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि यह सम्मुख भुजा (खंभे की ऊँचाई) और कर्ण (डोर की लंबाई) से संबंधित है।

समकोण त्रिभुज में,

$\sin\theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$

यहाँ, सम्मुख भुजा = खंभे की ऊँचाई ( $h$ ) और कर्ण = डोर की लंबाई (20 मीटर)।

इसलिए,

$\sin 30^{\circ} = \frac{h}{20}$

हम जानते हैं कि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ ।

$\frac{1}{2} = \frac{h}{20}$

अब, $h$ के लिए हल करें:

$2h = 20 \times 1$

$h = \frac{20}{2}$

$h = 10 \text{ m}$

अतः, खंभे की ऊँचाई 10 मीटर है।

प्रश्न 2

आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की पूरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

मान लीजिए कि पेड़ की कुल ऊँचाई $H$ मीटर है। पेड़ बिंदु A से टूटता है। टूटा हुआ भाग (BC) जमीन पर बिंदु C को छूता है। पेड़ का पाद-बिंदु B है।

दी गई जानकारी के अनुसार:

टूटे हुए शिखर और पेड़ के पाद-बिंदु के बीच की दूरी (BC, जो कि आसन्न भुजा है) = 8 मीटर।
टूटे हुए भाग द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण = 30°।

यहाँ, टूटा हुआ भाग पेड़ की कुल ऊँचाई का हिस्सा है, और यह जमीन पर एक निश्चित दूरी पर छूता है। हम समकोण त्रिभुज ABC में त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करेंगे, जहाँ ∠BCA = 30°।

सबसे पहले, हम टूटे हुए भाग की लंबाई (कर्ण AC) ज्ञात करते हैं। हम कोसाइन (cos) अनुपात का उपयोग कर सकते हैं:

$\cos\theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}}$

$\cos 30^{\circ} = \frac{8}{\text{AC}}$

हम जानते हैं कि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ।

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{\text{AC}}$

AC के लिए हल करें:

$\text{AC} = \frac{8 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \text{ मीटर}$

अब, हम पेड़ के उस हिस्से की ऊँचाई ज्ञात करते हैं जो टूटा नहीं है (AB, जो कि सम्मुख भुजा है)। हम टैंजेंट (tan) अनुपात का उपयोग कर सकते हैं:

$\tan\theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$

$\tan 30^{\circ} = \frac{\text{AB}}{8}$

हम जानते हैं कि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ।

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{AB}}{8}$

AB के लिए हल करें:

$\text{AB} = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ मीटर}$

पेड़ की कुल ऊँचाई ( $H$ ) न टूटे हुए भाग (AB) और टूटे हुए भाग (AC) की लंबाई का योग है:

$H = \text{AB} + \text{AC}$

$H = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{8 + 16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \text{ मीटर}$

हर का परिमेयकरण करने पर:

$H = \frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ मीटर}$

अतः, पेड़ की पूरी ऊँचाई $8\sqrt{3}$ मीटर है।

Common mistakes

त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin, cos, tan) को गलत तरीके से लागू करना।
समस्या को सही ढंग से चित्रित करने में विफलता।
गणना में त्रुटियाँ, विशेष रूप से कोणों के मानों के साथ।
टूटे हुए पेड़ जैसी समस्याओं में कुल ऊँचाई की गणना न करना।

Revision tips

प्रत्येक समस्या के लिए एक स्पष्ट चित्र बनाना सुनिश्चित करें।
समस्या में दिए गए कोणों और दूरियों को ध्यान से पहचानें।
सही त्रिकोणमितीय अनुपात का चयन करने का अभ्यास करें।
गणनाओं को दोबारा जांचें, खासकर जब भिन्न या वर्गमूल शामिल हों।

Practice MCQs

Q1. एक 20 मीटर लंबी डोरी एक खंभे के शिखर से बंधी है। यदि डोरी भूमि के साथ 30° का कोण बनाती है, तो खंभे की ऊँचाई क्या है?

Q2. एक पेड़ टूट गया है और जमीन को 30° के कोण पर छू रहा है। टूटे हुए शिखर और पेड़ के पाद-बिंदु के बीच की दूरी 8 मीटर है। पेड़ की कुल ऊँचाई क्या है?

Q3. त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में, ऊँचाई और दूरी ज्ञात करने के लिए मुख्य रूप से किन त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग किया जाता है?

Frequently asked questions

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में ऊँचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने के लिए किन मुख्य अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है?

इन समस्याओं को हल करने के लिए मुख्य रूप से समकोण त्रिभुजों और त्रिकोणमितीय अनुपातों (जैसे साइन, कोसाइन, टैंजेंट) का उपयोग किया जाता है। कोणों के उन्नयन और अवनमन की समझ भी महत्वपूर्ण है।

क्या ये समाधान कक्षा 10 के छात्रों के लिए उपयुक्त हैं?

हाँ, ये समाधान विशेष रूप से कक्षा 10 के छात्रों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो CBSE पाठ्यक्रम का अनुसरण करते हैं। वे स्पष्ट और चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं।

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों का वास्तविक जीवन में क्या उपयोग है?

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों का उपयोग खगोल विज्ञान में ग्रहों की दूरी मापने, इंजीनियरिंग में निर्माण की ऊँचाई और दूरी की गणना करने, नेविगेशन और मानचित्रण में किया जाता है।

एक टूटे हुए पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करने की समस्या को कैसे हल करें?

पेड़ को दो भागों में विभाजित करें: टूटा हुआ भाग (जो कर्ण बनता है) और न टूटा हुआ भाग (जो एक लम्बवत भुजा बनता है)। दिए गए कोण और दूरी का उपयोग करके, आप त्रिकोणमितीय अनुपातों की मदद से दोनों भागों की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं और फिर कुल ऊँचाई प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ सकते हैं।

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