कक्षा 10 गणित: अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय - NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

NCERT Solutions PDF Class 10 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 10 के गणित के अध्याय 8, 'त्रिकोणमिति का परिचय' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें त्रिकोणमितीय अनुपातों, पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग और समकोण त्रिभुजों से संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल करने के तरीके शामिल हैं। समाधानों में sin A, cos A, tan A, cot A, sec A, और cosec A जैसे त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना शामिल है, जब त्रिभुज की भुजाएँ दी गई हों या कोई एक अनुपात ज्ञात हो। प्रत्येक प्रश्न को चरण-दर-चरण समझाया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने में मदद मिलती है। ये समाधान छात्रों को परीक्षा की तैयारी में सहायता करने और त्रिकोणमिति की मूल बातों में एक मजबूत आधार बनाने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 10
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	8. त्रिकोणमिति का परिचय

Chapter summary

कक्षा 10 के गणित के अध्याय 8 'त्रिकोणमिति का परिचय' के लिए NCERT समाधानों का यह संग्रह त्रिकोणमितीय अनुपातों की मूल अवधारणाओं पर केंद्रित है। इसमें समकोण त्रिभुजों की भुजाओं का उपयोग करके त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करना और दिए गए अनुपात से अन्य अनुपातों को ज्ञात करना सिखाया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजाओं को ज्ञात करना भी समाधानों का एक अभिन्न अंग है। यह अध्याय छात्रों को त्रिकोणमिति की नींव बनाने में मदद करता है, जो आगे की गणितीय पढ़ाई के लिए महत्वपूर्ण है।

Learning outcomes

समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin, cos, tan) को परिभाषित और परिकलित करना सीखें।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज की अज्ञात भुजाओं को ज्ञात करना।
दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात से अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान ज्ञात करना।
त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध को समझना और लागू करना।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के अनुप्रयोग को समझना।

Topics covered

Paper topics

त्रिकोणमितीय अनुपात
समकोण त्रिभुज
पाइथागोरस प्रमेय
sin A, cos A, tan A की गणना
cot A, sec A, cosec A की गणना
दिए गए अनुपात से अन्य अनुपातों का मान ज्ञात करना

Important topics

त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाएँ
पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग
दिए गए अनुपात से अन्य अनुपातों की गणना
त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24cm और BC = 7cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

(i). $\sin A$ , $\cos A$

(ii). $\sin C$ , $\cos C$

Solution:

दिया गया है कि ΔABC में, कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm।

सबसे पहले, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण AC की लंबाई ज्ञात करेंगे:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (24 \text{ cm})^2 + (7 \text{ cm})^2$

$AC^2 = 576 \text{ cm}^2 + 49 \text{ cm}^2$

$AC^2 = 625 \text{ cm}^2$

AC का मान ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेने पर:

$AC = \sqrt{625 \text{ cm}^2} = 25 \text{ cm}$

अब हम त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करेंगे:

(i) $\sin A$ और $\cos A$ का मान:

कोण A के लिए, लम्ब (opposite side) BC है और आधार (adjacent side) AB है। कर्ण AC है।

$\sin A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7 \text{ cm}}{25 \text{ cm}} = \frac{7}{25}$

$\cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24 \text{ cm}}{25 \text{ cm}} = \frac{24}{25}$

(ii) $\sin C$ और $\cos C$ का मान:

कोण C के लिए, लम्ब (opposite side) AB है और आधार (adjacent side) BC है। कर्ण AC है।

$\sin C = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24 \text{ cm}}{25 \text{ cm}} = \frac{24}{25}$

$\cos C = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7 \text{ cm}}{25 \text{ cm}} = \frac{7}{25}$

उत्तर:

(i) $\sin A = \frac{7}{25}$ , $\cos A = \frac{24}{25}$

(ii) $\sin C = \frac{24}{25}$ , $\cos C = \frac{7}{25}$

प्रश्न 2

आकृति 8.13 में, tan P - cot R का मान ज्ञात कीजिए।

(आकृति में एक समकोण त्रिभुज PQR दिखाया गया है, जिसमें कोण Q समकोण है, PQ = 12 cm और PR = 13 cm है।)

Solution:

आकृति 8.13 में दिए गए समकोण त्रिभुज PQR में, कोण Q समकोण है। हमें PQ = 12 cm और PR (कर्ण) = 13 cm दिया गया है।

हमें QR (आधार या लम्ब, कोण पर निर्भर करता है) की लंबाई ज्ञात करनी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

$PR^2 = PQ^2 + QR^2$

QR² को पक्षांतरित करने पर:

$QR^2 = PR^2 - PQ^2$

$QR^2 = (13 \text{ cm})^2 - (12 \text{ cm})^2$

$QR^2 = 169 \text{ cm}^2 - 144 \text{ cm}^2$

$QR^2 = 25 \text{ cm}^2$

QR का मान ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेने पर:

$QR = \sqrt{25 \text{ cm}^2} = 5 \text{ cm}$

अब हम $\tan P$ और $\cot R$ का मान ज्ञात करेंगे:

कोण P के लिए, लम्ब (opposite) QR है और आधार (adjacent) PQ है।

$\tan P = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = \frac{5}{12}$

कोण R के लिए, लम्ब (opposite) PQ है और आधार (adjacent) QR है।

$\cot R = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = \frac{5}{12}$

अब हम $\tan P - \cot R$ का मान ज्ञात करेंगे:

$\tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0$

उत्तर: $\tan P - \cot R = 0$

प्रश्न 3

यदि $\sin A = \frac{3}{4}$ तो $\cos A$ और $\tan A$ का मान परिकलित कीजिए।

Solution:

हमें दिया गया है कि $\sin A = \frac{3}{4}$ ।

हम जानते हैं कि $\sin A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}$ ।

माना कि लम्ब (BC) = 3k और कर्ण (AC) = 4k, जहाँ k एक धनात्मक स्थिरांक है।

एक समकोण त्रिभुज ABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम आधार (AB) ज्ञात कर सकते हैं:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

AB² को पक्षांतरित करने पर:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

$AB^2 = (4k)^2 - (3k)^2$

$AB^2 = 16k^2 - 9k^2$

$AB^2 = 7k^2$

AB का मान ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेने पर:

$AB = \sqrt{7k^2} = \sqrt{7}k$

अब हम $\cos A$ और $\tan A$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:

$\cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{7}k}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{\sqrt{7}k} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

हम $\tan A$ के हर का परिमेयकरण भी कर सकते हैं: $\tan A = \frac{3}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

उत्तर: $\cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}$ और $\tan A = \frac{3}{\sqrt{7}}$ (या $\frac{3\sqrt{7}}{7}$ )

प्रश्न 4

यदि $15 \cot A = 8$ हो तो $\sin A$ और $\sec A$ का मान ज्ञात कीजिए।

Solution:

हमें दिया गया है कि $15 \cot A = 8$ ।

इससे हम $\cot A$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:

$\cot A = \frac{8}{15}$

हम जानते हैं कि $\cot A = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}}$ ।

माना कि आधार (AB) = 8k और लम्ब (BC) = 15k, जहाँ k एक धनात्मक स्थिरांक है।

एक समकोण त्रिभुज ABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम कर्ण (AC) ज्ञात कर सकते हैं:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (8k)^2 + (15k)^2$

$AC^2 = 64k^2 + 225k^2$

$AC^2 = 289k^2$

AC का मान ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेने पर:

$AC = \sqrt{289k^2} = 17k$

अब हम $\sin A$ और $\sec A$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:

$\sin A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17}$

$\sec A = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{AB} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8}$

उत्तर: $\sin A = \frac{15}{17}$ और $\sec A = \frac{17}{8}$

Common mistakes

कोणों के संदर्भ में सही भुजाओं (लम्ब, आधार, कर्ण) की पहचान करने में त्रुटि।
पाइथागोरस प्रमेय को गलत तरीके से लागू करना।
त्रिकोणमितीय अनुपातों के सूत्र (जैसे sin A = लम्ब/कर्ण) को याद रखने में गलती।
गणनाओं में दशमलव या वर्गमूल को हल करते समय त्रुटियाँ।

Revision tips

प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात के सूत्र को एक समकोण त्रिभुज के संदर्भ में याद करें।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग का अभ्यास करें, खासकर जब त्रिभुज की एक भुजा अज्ञात हो।
दिए गए अनुपात से अन्य अनुपातों को ज्ञात करने वाले प्रश्नों को हल करने के लिए चरण-दर-चरण विधि का पालन करें।
आकृतियों को ध्यान से देखें और कोणों के अनुसार लम्ब और आधार की पहचान करें।

Practice MCQs

Q1. यदि एक समकोण त्रिभुज ABC में, कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है, तो AC का मान क्या है?

Q2. आकृति 8.13 में, यदि PR = 13 cm और PQ = 12 cm है, तो QR का मान क्या है?

Q3. यदि sin A = 3/4 है, तो cos A का मान क्या है?

Q4. यदि 15 cot A = 8 है, तो tan A का मान क्या है?

Q5. tan P - cot R का मान आकृति 8.13 के अनुसार क्या है?

Frequently asked questions

कक्षा 10 गणित के अध्याय 8 'त्रिकोणमिति का परिचय' में मुख्य रूप से क्या सिखाया जाता है?

यह अध्याय समकोण त्रिभुजों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय अनुपातों (जैसे sin, cos, tan) को परिभाषित करना और उनकी गणना करना सिखाता है। इसमें पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजाओं को ज्ञात करना और दिए गए अनुपात से अन्य अनुपातों का मान निकालना भी शामिल है।

त्रिकोणमिति में पाइथागोरस प्रमेय का क्या महत्व है?

पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज की तीन भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है (कर्ण² = लम्ब² + आधार²)। त्रिकोणमिति में, इसका उपयोग तब किया जाता है जब त्रिभुज की दो भुजाएँ दी गई हों और तीसरी भुजा ज्ञात करनी हो, ताकि त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना की जा सके।

यदि sin A का मान दिया गया है, तो cos A और tan A का मान कैसे ज्ञात करें?

sin A = लम्ब/कर्ण के रूप में दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार ज्ञात करें (आधार = √(कर्ण² - लम्ब²))। फिर, cos A = आधार/कर्ण और tan A = लम्ब/आधार का उपयोग करके मान ज्ञात करें।

क्या ये NCERT समाधान परीक्षा की तैयारी के लिए उपयोगी हैं?

हाँ, ये समाधान NCERT पाठ्यक्रम के अनुसार बनाए गए हैं और प्रत्येक प्रश्न को चरण-दर-चरण समझाते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्नों को हल करने का अभ्यास करने में मदद मिलती है।

त्रिकोणमितीय अनुपात में कोणों (जैसे A और C) का क्या महत्व है?

समकोण त्रिभुज में, लम्ब और आधार कोण पर निर्भर करते हैं। एक कोण के लिए जो भुजा लम्ब होती है, दूसरे न्यून कोण के लिए वह आधार बन जाती है। इसलिए, कोणों के अनुसार सही लम्ब और आधार की पहचान करना महत्वपूर्ण है।

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