कक्षा 10 गणित: अध्याय 2 बहुपद के लिए NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 10 के गणित के अध्याय 2, बहुपद के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें अभ्यास 2.1 और 2.2 के प्रश्नों को शामिल किया गया है, जिसमें बहुपदों के शून्यकों की संख्या ज्ञात करना और द्विघात बहुपदों के शून्यकों तथा उनके गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच करना सिखाया गया है। प्रत्येक प्रश्न का समाधान चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण के साथ प्रस्तुत किया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने में मदद मिलती है। ये समाधान परीक्षा की तैयारी और अवधारणाओं की स्पष्टता के लिए एक उत्कृष्ट संसाधन हैं।

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BoardCBSE
ClassClass 10
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter2. बहुपद

Chapter summary

कक्षा 10 के गणित के अध्याय 2, बहुपद के लिए NCERT समाधान, बहुपदों के मूल सिद्धांतों पर केंद्रित हैं। इसमें ग्राफिकल रूप से शून्यकों की संख्या निर्धारित करना और द्विघात बहुपदों के शून्यकों को ज्ञात करना शामिल है। समाधान शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करने की प्रक्रिया को भी स्पष्ट करते हैं। यह अध्याय छात्रों को बीजगणितीय व्यंजकों को समझने और उनके गुणों का विश्लेषण करने में मदद करता है।

Learning outcomes

  • किसी बहुपद के ग्राफ से शून्यकों की संख्या ज्ञात करना सीखें।
  • द्विघात बहुपदों के शून्यकों की गणना करना सीखें।
  • द्विघात बहुपदों के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच करना सीखें।
  • बहुपद की अवधारणाओं को ग्राफ और बीजगणितीय विधियों से समझें।

Topics covered

Paper topics

  • बहुपद
  • शून्यक
  • ग्राफ द्वारा शून्यकों की संख्या ज्ञात करना
  • द्विघात बहुपद
  • शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध
  • गुणनखंडन विधि
  • बहुपद का मान ज्ञात करना

Important topics

  • ग्राफ से शून्यकों की संख्या ज्ञात करना
  • द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात करना
  • शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

किसी बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है। प्रत्येक स्थिति में, $p(x)$ के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(i) आकृति

(ii) आकृति

(iii) आकृति

(iv) आकृति

(v) आकृति

(vi) आकृति

आकृति 2.10

Solution:

किसी बहुपद के शून्यकों की संख्या उसके ग्राफ द्वारा x-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है।

(i) ग्राफ x-अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है। अतः, शून्यकों की संख्या 0 है।

(ii) ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यकों की संख्या 1 है।

(iii) ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यकों की संख्या 3 है।

(iv) ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यकों की संख्या 2 है।

(v) ग्राफ x-अक्ष को चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यकों की संख्या 4 है।

(vi) ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यकों की संख्या 3 है।

प्रश्न 1

निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए:

(i) $x^2 - 2x - 8$

(ii) $4s^2 - 4s + 1$

(iii) $6x^2 - 3 - 7x$

(iv) $4u^2 + 8u$

(v) $t^2 - 15$

(vi) $3x^2 - x - 4$

Solution:

(i) बहुपद $x^2 - 2x - 8$ के लिए:

हम बहुपद को गुणनखंडित करते हैं: $x^2 - 2x - 8 = x^2 - 4x + 2x - 8$

= $x(x-4) + 2(x-4)$

= $(x+2)(x-4)$

शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं: $(x+2)(x-4) = 0$

इससे हमें $x+2=0$ या $x-4=0$ प्राप्त होता है।

अतः, शून्यक $x = -2$ और $x = 4$ हैं।

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करते हैं:

शून्यकों का योग = $(-2) + 4 = 2$

सूत्र से, योग = $\frac{-(\text{x का गुणांक})}{(\text{x}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-(-2)}{1} = 2$

शून्यकों का गुणनफल = $(-2) \times 4 = -8$

सूत्र से, गुणनफल = $\frac{(\text{अचर पद})}{(\text{x}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-8}{1} = -8$

दोनों मान मेल खाते हैं, अतः संबंध सत्य है।

(ii) बहुपद $4s^2 - 4s + 1$ के लिए:

हम बहुपद को गुणनखंडित करते हैं: $4s^2 - 4s + 1 = 4s^2 - 2s - 2s + 1$

= $2s(2s-1) - 1(2s-1)$

= $(2s-1)(2s-1)$

शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं: $(2s-1)(2s-1) = 0$

इससे हमें $2s-1=0$ प्राप्त होता है।

अतः, शून्यक $s = \frac{1}{2}$ (दो बार) है।

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करते हैं:

शून्यकों का योग = $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

सूत्र से, योग = $\frac{-(\text{s का गुणांक})}{(\text{s}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-(-4)}{4} = \frac{4}{4} = 1$

शून्यकों का गुणनफल = $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

सूत्र से, गुणनफल = $\frac{(\text{अचर पद})}{(\text{s}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{1}{4}$

दोनों मान मेल खाते हैं, अतः संबंध सत्य है।

(iii) बहुपद $6x^2 - 3 - 7x$ के लिए:

पहले बहुपद को मानक रूप में लिखें: $6x^2 - 7x - 3$

हम बहुपद को गुणनखंडित करते हैं: $6x^2 - 7x - 3 = 6x^2 - 9x + 2x - 3$

= $3x(2x-3) + 1(2x-3)$

= $(3x+1)(2x-3)$

शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं: $(3x+1)(2x-3) = 0$

इससे हमें $3x+1=0$ या $2x-3=0$ प्राप्त होता है।

अतः, शून्यक $x = -\frac{1}{3}$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करते हैं:

शून्यकों का योग = $(-\frac{1}{3}) + \frac{3}{2} = \frac{-2 + 9}{6} = \frac{7}{6}$

सूत्र से, योग = $\frac{-(\text{x का गुणांक})}{(\text{x}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-(-7)}{6} = \frac{7}{6}$

शून्यकों का गुणनफल = $(-\frac{1}{3}) \times \frac{3}{2} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

सूत्र से, गुणनफल = $\frac{(\text{अचर पद})}{(\text{x}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

दोनों मान मेल खाते हैं, अतः संबंध सत्य है।

(iv) बहुपद $4u^2 + 8u$ के लिए:

हम बहुपद को गुणनखंडित करते हैं: $4u^2 + 8u = 4u(u+2)$

शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं: $4u(u+2) = 0$

इससे हमें $4u=0$ या $u+2=0$ प्राप्त होता है।

अतः, शून्यक $u = 0$ और $u = -2$ हैं।

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करते हैं:

शून्यकों का योग = $0 + (-2) = -2$

सूत्र से, योग = $\frac{-(\text{u का गुणांक})}{(\text{u}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-(8)}{4} = -2$

शून्यकों का गुणनफल = $0 \times (-2) = 0$

सूत्र से, गुणनफल = $\frac{(\text{अचर पद})}{(\text{u}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{0}{4} = 0$

दोनों मान मेल खाते हैं, अतः संबंध सत्य है।

(v) बहुपद $t^2 - 15$ के लिए:

हम बहुपद को गुणनखंडित करते हैं: $t^2 - 15 = (t - \sqrt{15})(t + \sqrt{15})$

शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं: $(t - \sqrt{15})(t + \sqrt{15}) = 0$

इससे हमें $t - \sqrt{15}=0$ या $t + \sqrt{15}=0$ प्राप्त होता है।

अतः, शून्यक $t = \sqrt{15}$ और $t = -\sqrt{15}$ हैं।

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करते हैं:

शून्यकों का योग = $\sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$

सूत्र से, योग = $\frac{-(\text{t का गुणांक})}{(\text{t}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-(0)}{1} = 0$

शून्यकों का गुणनफल = $\sqrt{15} \times (-\sqrt{15}) = -15$

सूत्र से, गुणनफल = $\frac{(\text{अचर पद})}{(\text{t}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-15}{1} = -15$

दोनों मान मेल खाते हैं, अतः संबंध सत्य है।

(vi) बहुपद $3x^2 - x - 4$ के लिए:

हम बहुपद को गुणनखंडित करते हैं: $3x^2 - x - 4 = 3x^2 - 4x + 3x - 4$

= $x(3x-4) + 1(3x-4)$

= $(x+1)(3x-4)$

शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं: $(x+1)(3x-4) = 0$

इससे हमें $x+1=0$ या $3x-4=0$ प्राप्त होता है।

अतः, शून्यक $x = -1$ और $x = \frac{4}{3}$ हैं।

अब, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करते हैं:

शून्यकों का योग = $(-1) + \frac{4}{3} = \frac{-3 + 4}{3} = \frac{1}{3}$

सूत्र से, योग = $\frac{-(\text{x का गुणांक})}{(\text{x}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-(-1)}{3} = \frac{1}{3}$

शून्यकों का गुणनफल = $(-1) \times \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$

सूत्र से, गुणनफल = $\frac{(\text{अचर पद})}{(\text{x}^2 \text{ का गुणांक})} = \frac{-4}{3}$

दोनों मान मेल खाते हैं, अतः संबंध सत्य है।

Common mistakes

  • ग्राफ को x-अक्ष के बजाय y-अक्ष पर प्रतिच्छेद करने वाले बिंदुओं को गिनना।
  • द्विघात समीकरणों को हल करते समय गुणनखंडन में त्रुटियाँ करना।
  • शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करते समय चिन्हों की गलतियाँ करना।
  • पूर्ण वर्ग बनाने या द्विघात सूत्र का उपयोग करते समय गणनात्मक त्रुटियाँ करना।

Revision tips

  • प्रत्येक ग्राफ को ध्यान से देखें और x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या गिनने का अभ्यास करें।
  • द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात करने के लिए गुणनखंडन विधि का अभ्यास करें।
  • शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करने के सूत्रों को याद करें और विभिन्न उदाहरणों पर लागू करें।
  • सभी प्रकार के बहुपदों (रैखिक, द्विघात, त्रिघात) के शून्यकों की अवधारणा को समझें।

Practice MCQs

Q1. आकृति 2.10 (i) में दिए गए ग्राफ के लिए, p(x) के शून्यकों की संख्या कितनी है?

Q2. बहुपद $x^2 - 2x - 8$ के शून्यक क्या हैं?

Q3. बहुपद $4s^2 - 4s + 1$ के शून्यक और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच में, शून्यकों का योग क्या होगा?

Q4. यदि किसी द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं, तो $\alpha \times \beta$ किसके बराबर होता है?

Q5. बहुपद $t^2 - 15$ के शून्यक क्या हैं?

Frequently asked questions

कक्षा 10 गणित के अध्याय 2 'बहुपद' में शून्यकों की संख्या कैसे ज्ञात की जाती है?

किसी बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ x-अक्ष को जितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, वही उस बहुपद के शून्यकों की संख्या होती है।

द्विघात बहुपद $x^2 - 2x - 8$ के शून्यक क्या हैं?

बहुपद $x^2 - 2x - 8$ के शून्यक -2 और 4 हैं। इन्हें गुणनखंडन विधि $(x+2)(x-4)$ द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच कैसे की जाती है?

द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के लिए, शून्यकों का योग $-b/a$ होता है और शून्यकों का गुणनफल $c/a$ होता है। इन सूत्रों का उपयोग करके सत्यता की जाँच की जाती है।

क्या ये समाधान परीक्षा की तैयारी के लिए उपयोगी हैं?

हाँ, ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के विस्तृत, चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जो अवधारणाओं को समझने और परीक्षा के लिए प्रभावी ढंग से तैयारी करने में मदद करते हैं।

क्या इन समाधानों में सभी प्रकार के बहुपदों को शामिल किया गया है?

यह समाधान मुख्य रूप से द्विघात बहुपदों पर केंद्रित है, जिसमें उनके शून्यकों को ज्ञात करना और गुणांकों के साथ उनके संबंधों की जाँच करना शामिल है। साथ ही, ग्राफिकल विधि से शून्यकों की संख्या ज्ञात करने का भी उल्लेख है।

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