कक्षा 10 गणित: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ NCERT समाधान

हम प्रत्येक भाग के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, जहाँ a > b, हम उन्हें इस प्रकार लिख सकते हैं: a = bq + r, जहाँ q भागफल है और r शेषफल है, और 0 ≤ r < b। HCF वह अंतिम गैर-शून्य शेषफल होता है जो हमें प्राप्त होता है।

1. 135 और 225

चूंकि 225 > 135, हम 225 को 135 से विभाजित करते हैं:

$$225\; =\; 135\; \backslash times\; 1\; +\; 90$$

शेषफल 90 ≠ 0 है, इसलिए हम 135 को 90 से विभाजित करते हैं:

$$135\; =\; 90\; \backslash times\; 1\; +\; 45$$

शेषफल 45 ≠ 0 है, इसलिए हम 90 को 45 से विभाजित करते हैं:

$$90\; =\; 45\; \backslash times\; 2\; +\; 0$$

शेषफल 0 है। इसलिए, अंतिम गैर-शून्य भाजक 45 है।

अतः, 135 और 225 का HCF 45 है।

2. 196 और 38220

चूंकि 38220 > 196, हम 38220 को 196 से विभाजित करते हैं:

$$38220\; =\; 196\; \backslash times\; 195\; +\; 0$$

शेषफल 0 है। इसलिए, अंतिम गैर-शून्य भाजक 196 है।

अतः, 196 और 38220 का HCF 196 है।

3. 867 और 255

चूंकि 867 > 255, हम 867 को 255 से विभाजित करते हैं:

$$867\; =\; 255\; \backslash times\; 3\; +\; 102$$

शेषफल 102 ≠ 0 है, इसलिए हम 255 को 102 से विभाजित करते हैं:

$$255\; =\; 102\; \backslash times\; 2\; +\; 51$$

शेषफल 51 ≠ 0 है, इसलिए हम 102 को 51 से विभाजित करते हैं:

$$102\; =\; 51\; \backslash times\; 2\; +\; 0$$

शेषफल 0 है। इसलिए, अंतिम गैर-शून्य भाजक 51 है।

अतः, 867 और 255 का HCF 51 है।

माना कि 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, हम 'a' को 6 से विभाजित करने पर इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$a\; =\; 6q\; +\; r$$

जहाँ q एक पूर्णांक है (q ≥ 0) और r शेषफल है, जिसके लिए 0 ≤ r < 6। इसका मतलब है कि r के संभावित मान 0, 1, 2, 3, 4, या 5 हो सकते हैं।

इसलिए, 'a' निम्नलिखित रूपों में से एक हो सकता है:

• 6q + 0 = 6q
• 6q + 1
• 6q + 2
• 6q + 3
• 6q + 4
• 6q + 5

हमें यह दिखाना है कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, 6q + 3, या 6q + 5 के रूप का होता है। एक विषम पूर्णांक वह होता है जो 2 से विभाज्य नहीं होता है। आइए उपरोक्त रूपों की जाँच करें:

• 6q = 2(3q)। यह 2 का गुणज है, इसलिए यह एक सम पूर्णांक है।
• 6q + 1 = 2(3q) + 1। यह 2 से विभाजित नहीं होता है, इसलिए यह एक विषम पूर्णांक है।
• 6q + 2 = 2(3q + 1)। यह 2 का गुणज है, इसलिए यह एक सम पूर्णांक है।
• 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1। यह 2 से विभाजित नहीं होता है, इसलिए यह एक विषम पूर्णांक है। (इसे (6q + 2) + 1 के रूप में भी सोचा जा सकता है)
• 6q + 4 = 2(3q + 2)। यह 2 का गुणज है, इसलिए यह एक सम पूर्णांक है।
• 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1। यह 2 से विभाजित नहीं होता है, इसलिए यह एक विषम पूर्णांक है। (इसे (6q + 4) + 1 के रूप में भी सोचा जा सकता है)

इस प्रकार, हम देखते हैं कि केवल 6q + 1, 6q + 3, और 6q + 5 ही वे रूप हैं जो विषम पूर्णांकों को दर्शाते हैं।

अतः, यह सिद्ध होता है कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, 6q + 3, या 6q + 5 के रूप का होता है।