कक्षा 10 गणित: अध्याय 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

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यह पृष्ठ कक्षा 10 गणित के अध्याय 3, 'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें प्रश्नावली 3.1 के प्रश्नों को हल किया गया है, जिसमें बीजगणितीय निरूपण और ग्राफीय निरूपण दोनों शामिल हैं। छात्रों को आयु संबंधी समस्याओं को रैखिक समीकरणों में बदलने और उन्हें हल करने की विधि सिखाई जाती है। समाधानों में प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से समझाया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने में मदद मिलती है। यह सामग्री परीक्षा की तैयारी के लिए एक उत्कृष्ट संसाधन है, जो छात्रों को इन समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों में महारत हासिल करने में सहायता करती है।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 10
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	3. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Chapter summary

कक्षा 10 गणित के अध्याय 3 'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' के लिए ये NCERT समाधान छात्रों को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्मों को समझने और हल करने में मदद करते हैं। इसमें बीजगणितीय निरूपण (समीकरण बनाना) और ग्राफीय निरूपण (ग्राफ बनाना) दोनों पर ध्यान केंद्रित किया गया है। समाधानों में आयु संबंधी समस्याओं को हल करने के उदाहरण शामिल हैं, जो छात्रों को वास्तविक दुनिया की स्थितियों को गणितीय मॉडल में बदलने का तरीका सिखाते हैं।

Learning outcomes

दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करना सीखना।
आयु संबंधी समस्याओं को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलना।
रैखिक समीकरणों के युग्म को ग्राफीय रूप में निरूपित करना।
दिए गए समीकरणों के लिए बिंदुओं की तालिका बनाना।
रैखिक समीकरणों की अवधारणाओं को समझना।

Topics covered

Paper topics

दो चर वाले रैखिक समीकरण
रैखिक समीकरण युग्म
बीजगणितीय निरूपण
ग्राफीय निरूपण
आयु संबंधी समस्याएं
समीकरणों का निर्माण
बिंदुओं की तालिका
निर्देशांक ज्यामिति

Important topics

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का बीजगणितीय निरूपण
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय निरूपण
आयु संबंधी समस्याओं को रैखिक समीकरणों में बदलना
समीकरणों के लिए बिंदुओं की तालिका बनाना

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, 'सात वर्ष पूर्व, मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। आज से 3 वर्ष बाद, मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।' क्या यह स्थिति मनोरंजक है? इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।

हल:

माना आफ़ताब की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।

स्थिति 1: सात वर्ष पूर्व

सात वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु $x - 7$ वर्ष थी।

सात वर्ष पूर्व उसकी पुत्री की आयु $y - 7$ वर्ष थी।

प्रश्न के अनुसार, सात वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु उसकी पुत्री की आयु की सात गुनी थी। इसलिए,

$x - 7 = 7(y - 7)$

समीकरण को सरल करने पर:

$x - 7 = 7y - 49$

$x - 7y = -49 + 7$

$x - 7y = -42 \quad \dots (1)$

स्थिति 2: आज से 3 वर्ष बाद

आज से 3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु $x + 3$ वर्ष होगी।

आज से 3 वर्ष बाद उसकी पुत्री की आयु $y + 3$ वर्ष होगी।

प्रश्न के अनुसार, 3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु उसकी पुत्री की आयु की तीन गुनी होगी। इसलिए,

$x + 3 = 3(y + 3)$

समीकरण को सरल करने पर:

$x + 3 = 3y + 9$

$x - 3y = 9 - 3$

$x - 3y = 6 \quad \dots (2)$

बीजगणितीय निरूपण:

उपरोक्त दोनों स्थितियों से प्राप्त समीकरण युग्म बीजगणितीय निरूपण है:

$x - 7y = -42 \quad \dots (1)$

$x - 3y = 6 \quad \dots (2)$

ग्राफीय निरूपण:

ग्राफीय निरूपण के लिए, हम दोनों समीकरणों से बिंदुओं की तालिकाएँ बनाएंगे।

समीकरण (1) के लिए: $x - 7y = -42$ या $x = 7y - 42$

जब $y = 5$ , $x = 7(5) - 42 = 35 - 42 = -7$ । बिंदु (-7, 5)

जब $y = 6$ , $x = 7(6) - 42 = 42 - 42 = 0$ । बिंदु (0, 6)

जब $y = 7$ , $x = 7(7) - 42 = 49 - 42 = 7$ । बिंदु (7, 7)

समीकरण (2) के लिए: $x - 3y = 6$ या $x = 3y + 6$

जब $y = -2$ , $x = 3(-2) + 6 = -6 + 6 = 0$ । बिंदु (0, -2)

जब $y = -3$ , $x = 3(-3) + 6 = -9 + 6 = -3$ । बिंदु (-3, -3)

जब $y = 0$ , $x = 3(0) + 6 = 0 + 6 = 6$ । बिंदु (6, 0)

अब, इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करके रेखाएँ खींची जाएँगी। ये रेखाएँ जहाँ प्रतिच्छेद करेंगी, वह बिंदु समीकरण युग्म का हल होगा।

Common mistakes

समीकरण बनाते समय चर (variables) और स्थिरांक (constants) को गलत तरीके से रखना।
आयु संबंधी समस्याओं में 'पूर्व' (ago) और 'बाद' (after) की स्थितियों को समझने में त्रुटि।
समीकरणों को हल करते समय अंकगणितीय त्रुटियाँ।
ग्राफीय निरूपण के लिए बिंदुओं की गणना में गलती।

Revision tips

प्रत्येक प्रश्न के बीजगणितीय और ग्राफीय निरूपण को अलग-अलग समझें।
आयु संबंधी समस्याओं को हल करने के लिए चरणों का पालन करें और चर की परिभाषा स्पष्ट रखें।
ग्राफीय निरूपण के लिए बिंदुओं की तालिका बनाते समय गणनाओं की दोबारा जाँच करें।
हल किए गए उदाहरणों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. आफ़ताब की वर्तमान आयु को 'x' और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु को 'y' मानने पर, सात वर्ष पूर्व की स्थिति को बीजगणितीय रूप में कैसे व्यक्त किया जाएगा यदि आफ़ताब अपनी पुत्री से सात गुनी आयु का था?

Q2. यदि दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय निरूपण दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हों, तो हल का क्या परिणाम होता है?

Q3. समीकरण x - 3y = 6 के लिए, यदि y = -2 है, तो x का मान क्या होगा?

Q4. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करने का क्या अर्थ है?

Frequently asked questions

कक्षा 10 गणित के अध्याय 3 में किन मुख्य अवधारणाओं को शामिल किया गया है?

अध्याय 3 'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को बीजगणितीय और ग्राफीय रूप में व्यक्त करना सिखाया गया है। इसमें आयु संबंधी समस्याओं को हल करना भी शामिल है।

बीजगणितीय निरूपण और ग्राफीय निरूपण में क्या अंतर है?

बीजगणितीय निरूपण का अर्थ है समस्या को समीकरणों के रूप में लिखना, जबकि ग्राफीय निरूपण का अर्थ है उन समीकरणों को ग्राफ पेपर पर रेखाओं के रूप में दर्शाना।

क्या ये समाधान परीक्षा की तैयारी में मदद करेंगे?

हाँ, ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के हल को विस्तार से समझाते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्नों को हल करने का अभ्यास करने में मदद मिलती है।

आयु संबंधी समस्याओं को हल करने के लिए क्या विशेष ध्यान रखना चाहिए?

आयु संबंधी समस्याओं को हल करते समय, वर्तमान आयु, पूर्व की आयु और भविष्य की आयु के बीच के अंतर को सही ढंग से समझना और चर (variables) को ठीक से परिभाषित करना महत्वपूर्ण है।

ग्राफीय निरूपण के लिए बिंदुओं की तालिका कैसे बनाई जाती है?

ग्राफीय निरूपण के लिए, समीकरण में एक चर (जैसे y) के विभिन्न मान रखकर दूसरे चर (जैसे x) के संगत मान ज्ञात किए जाते हैं और उन्हें एक तालिका में सूचीबद्ध किया जाता है।

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