कक्षा 10 गणित: द्विघात समीकरण NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

NCERT Solutions PDF Class 10 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 10 के गणित विषय के अध्याय 4, 'द्विघात समीकरण' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें द्विघात समीकरणों की पहचान करने, उन्हें मानक रूप <math>ax^2 + bx + c = 0</math> में लाने और उनके गुणों को समझने पर ध्यान केंद्रित किया गया है। समाधानों में प्रत्येक प्रश्न को हल करने के लिए चरण-दर-चरण प्रक्रियाएं शामिल हैं, जिसमें बीजगणितीय विस्तार और समीकरणों को सरल बनाना शामिल है। यह छात्रों को द्विघात समीकरणों की अवधारणाओं को स्पष्ट करने और परीक्षा की तैयारी में मदद करने के लिए एक व्यापक संसाधन के रूप में कार्य करता है।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 10
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	4. द्विघात समीकरण

Chapter summary

कक्षा 10 के गणित के अध्याय 4 'द्विघात समीकरण' के लिए NCERT समाधानों का यह संग्रह छात्रों को द्विघात समीकरणों की मूल बातें समझने में मदद करता है। इसमें यह सिखाया गया है कि किसी दिए गए समीकरण को द्विघात समीकरण के रूप में कैसे पहचाना जाए, यह सुनिश्चित करते हुए कि यह <math>ax^2 + bx + c = 0</math> के मानक रूप में है, जहाँ <math>a \neq 0</math>। समाधानों में समीकरणों को विस्तार से समझाने और उन्हें सरल बनाने की प्रक्रिया शामिल है।

Learning outcomes

द्विघात समीकरण की मानक परिभाषा को समझना।
दिए गए समीकरणों को <math>ax^2 + bx + c = 0</math> के रूप में सरल बनाना।
यह निर्धारित करना कि कोई समीकरण द्विघात है या नहीं।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समीकरणों का विस्तार करना।
समीकरणों को हल करने में चरण-दर-चरण तर्क लागू करना।

Topics covered

Paper topics

द्विघात समीकरण की परिभाषा
समीकरणों को मानक रूप <math>ax^2 + bx + c = 0</math> में लाना
द्विघात समीकरणों की पहचान
बीजगणितीय विस्तार
समीकरणों का सरलीकरण

Important topics

द्विघात समीकरण की पहचान
मानक रूप में सरलीकरण
बीजगणितीय विस्तार का अनुप्रयोग
चर की उच्चतम घात का महत्व

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:

(i). $(x+1)^2 = 2(x-3)$

(ii). $x^2 - 2x = (-2)(3 - x)$

(iii). $(x-2)(x+1) = (x-1)(x+3)$

(iv). $(x-3)(2x+1) = x(x+5)$

(v). $(2x-1)(x-3) = (x+5)(x-1)$

(vi). $x^2 + 3x + 1 = (x-2)^2$

(vii). $(x+2)^3 = 2x(x^2-1)$

(viii). $x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x - 2)^3$

Solution:

यह जाँचने के लिए कि क्या कोई समीकरण द्विघात समीकरण है, हमें उसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में लाना होगा, जहाँ $a \neq 0$ ।

दिया गया समीकरण: $(x+1)^2 = 2(x-3)$

समीकरण का विस्तार करने पर:

$x^2 + 2x + 1 = 2x - 6$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$x^2 + 2x + 1 - 2x + 6 = 0$

$x^2 + 7 = 0$

यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, जहाँ $a=1$ , $b=0$ , और $c=7$ । चूँकि $a \neq 0$ , यह एक द्विघात समीकरण है।

दिया गया समीकरण: $x^2 - 2x = (-2)(3 - x)$

समीकरण का विस्तार करने पर:

$x^2 - 2x = -6 + 2x$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$x^2 - 2x - 2x + 6 = 0$

$x^2 - 4x + 6 = 0$

यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, जहाँ $a=1$ , $b=-4$ , और $c=6$ । चूँकि $a \neq 0$ , यह एक द्विघात समीकरण है।

दिया गया समीकरण: $(x-2)(x+1) = (x-1)(x+3)$

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

$x^2 + x - 2x - 2 = x^2 + 3x - x - 3$

$x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$x^2 - x - 2 - x^2 - 2x + 3 = 0$

$-3x + 1 = 0$

यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का नहीं है क्योंकि $x^2$ का पद समाप्त हो गया है ( $a=0$ )। अतः यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

दिया गया समीकरण: $(x-3)(2x+1) = x(x+5)$

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

$2x^2 + x - 6x - 3 = x^2 + 5x$

$2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$2x^2 - 5x - 3 - x^2 - 5x = 0$

$x^2 - 10x - 3 = 0$

यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, जहाँ $a=1$ , $b=-10$ , और $c=-3$ । चूँकि $a \neq 0$ , यह एक द्विघात समीकरण है।

दिया गया समीकरण: $(2x-1)(x-3) = (x+5)(x-1)$

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

$2x^2 - 6x - x + 3 = x^2 - x + 5x - 5$

$2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$2x^2 - 7x + 3 - x^2 - 4x + 5 = 0$

$x^2 - 11x + 8 = 0$

यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, जहाँ $a=1$ , $b=-11$ , और $c=8$ । चूँकि $a \neq 0$ , यह एक द्विघात समीकरण है।

दिया गया समीकरण: $x^2 + 3x + 1 = (x-2)^2$

समीकरण के दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:

$x^2 + 3x + 1 = x^2 - 4x + 4$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$x^2 + 3x + 1 - x^2 + 4x - 4 = 0$

$7x - 3 = 0$

दिया गया समीकरण: $(x+2)^3 = 2x(x^2-1)$

समीकरण के बाएं पक्ष का विस्तार करने पर, $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ का उपयोग करते हुए:

$x^3 + 2^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) = 2x^3 - 2x$

$x^3 + 8 + 6x^2 + 12x = 2x^3 - 2x$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$x^3 + 8 + 6x^2 + 12x - 2x^3 + 2x = 0$

$-x^3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0$

यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का नहीं है क्योंकि इसमें $x^3$ का पद है। अतः यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

दिया गया समीकरण: $x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x - 2)^3$

समीकरण के दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर, $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2$ का उपयोग करते हुए:

$x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 - 2^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2)$

$x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 - 8 - 6x^2 + 12x$

सभी पदों को एक तरफ लाने पर:

$x^3 - 4x^2 - x + 1 - x^3 + 8 + 6x^2 - 12x = 0$

$2x^2 - 13x + 9 = 0$

यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, जहाँ $a=2$ , $b=-13$ , और $c=9$ । चूँकि $a \neq 0$ , यह एक द्विघात समीकरण है।

Common mistakes

बीजगणितीय विस्तार में त्रुटियाँ करना।
समीकरणों को सरल बनाते समय पदों को स्थानांतरित करने में गलतियाँ करना।
यह भूल जाना कि द्विघात समीकरण में <math>x^2</math> का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए।
समीकरणों को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने में लापरवाही।

Revision tips

प्रत्येक प्रश्न को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली बीजगणितीय विस्तार तकनीकों की समीक्षा करें।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप सही मानक रूप प्राप्त कर रहे हैं, समीकरणों को सरल बनाने के चरणों का अभ्यास करें।
उन उदाहरणों पर विशेष ध्यान दें जहाँ समीकरण द्विघात नहीं है, यह समझने के लिए कि क्यों।
प्रत्येक चरण के पीछे के तर्क को समझने के लिए समाधानों को जोर से पढ़ें।

Practice MCQs

Q1. निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण एक द्विघात समीकरण है?

Q2. समीकरण <math>(x-2)(x+1) = (x-1)(x+3)</math> को सरल बनाने पर क्या परिणाम मिलता है?

Q3. एक समीकरण को द्विघात समीकरण कब कहा जाता है?

Q4. समीकरण <math>x^2 + 3x + 1 = (x-2)^2</math> को सरल बनाने पर क्या परिणाम मिलता है?

Frequently asked questions

कक्षा 10 गणित में द्विघात समीकरण क्या है?

द्विघात समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात 2 होती है, और इसे सामान्यतः <math>ax^2 + bx + c = 0</math> के रूप में लिखा जाता है, जहाँ <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> स्थिरांक हैं और <math>a \neq 0</math>।

यह समाधान पृष्ठ कक्षा 10 के छात्रों की मदद कैसे करता है?

यह पृष्ठ कक्षा 10 के गणित के अध्याय 4 'द्विघात समीकरण' के सभी प्रश्नों के विस्तृत, चरण-दर-चरण समाधान प्रदान करता है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और परीक्षा की तैयारी करने में मदद मिलती है।

क्या इन समाधानों में सभी प्रश्न शामिल हैं?

हाँ, यह पृष्ठ अध्याय 4 'द्विघात समीकरण' के अंतर्गत दिए गए सभी प्रश्नों के समाधान प्रदान करता है, जैसा कि NCERT पाठ्यपुस्तक में है।

द्विघात समीकरण की पहचान कैसे करें?

किसी समीकरण को द्विघात समीकरण के रूप में पहचानने के लिए, उसे सरल बनाने के बाद यह सुनिश्चित करें कि चर की उच्चतम घात 2 है और <math>x^2</math> का गुणांक शून्य नहीं है।

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