गणित

पाठ-७ निर्देशांक ज्यामिती

प्रश्रावली 7.4

प्रश्न 1.

बिंदुओं <math>A(2, -2)</math> और <math>B(3, 7)</math> को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा <math>2x + y - 4 = 0</math> जिस अनुपात में विभाजित

करती है उसे ज्ञात कीजिए।

उत्तर 1:

माना बिंदुओं <math>A(2, -2)</math> और <math>B(3, 7)</math> को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा <math>2x + y - 4 = 0</math> अनुपात k:1 में

विभाजित करती है।

इस बिंदु के निर्देशांक = <math>\left(\frac{3k+2}{k+1}, \frac{7k-2}{k+1}\right)</math>

क्योंकि यह बिंदु रेखा <math>2x + y - 4 = 0</math> पर स्थित है, अतः

<math display="block">\therefore 2\left(\frac{3k+2}{k+1}\right) + \left(\frac{7k-2}{k+1}\right) - 4 = 0</math>

<math display="block">\Rightarrow \frac{6k+4+7k-2-4k-4}{k+1} = 0</math>

<math>\Rightarrow 9k-2=0</math>

<math>\Rightarrow k = \frac{2}{-}</math>

इसप्रकार, बिंदुओं <math>A(2, -2)</math> और <math>B(3, 7)</math> को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा <math>2x + y - 4 = 0</math> अनुपात 2:9

में विभाजित करती है।

प्रश्न 2.

x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिंदू <math>(x, y)</math>, <math>(1, 2)</math> और <math>(7, 0)</math> सरिखी हैं।

उत्तर 2:

यदि बिंदु (x, y), (1. 2) और (7, 0) सरेखी हैं तो इन तीनो बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होगा।

त्रिभुज का क्षेत्रफल= <math>\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]</math>

⇒ क्षेत्रफल = <math>\frac{1}{2}[x(2-0) + 1(0-y) + 7(y-2)]</math>

<math display="block">\Rightarrow 0 = \frac{1}{2} [2x - y + 7y - 14]</math>

<math>\Rightarrow 0 = [2x + 6y - 14]</math>

<math>\Rightarrow x + 3y - 7 = 0</math>

पुश्न 3.

बिंदुओं (6, – 6), (3, – 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर 3:

माना बिंदुओं A(6, – 6), B(3, – 7) और C(3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र O(x, y) है।

[वृत्त की त्रिज्याएँ]

<math>OA = OB</math>

<math>\Rightarrow \sqrt{(x-6)^2 + (y+6)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y+7)^2}</math>

<math>\Rightarrow \sqrt{x^2 + 36 - 12x + y^2 + 36 + 12y} = \sqrt{x^2 + 9 - 6x + y^2 + 49 + 14y}</math>

दोनों ओर वर्ग करने पर