कक्षा 10 गणित अध्याय 10: वृत्त NCERT समाधान
यह पृष्ठ कक्षा 10 के गणित के अध्याय 10, 'वृत्त' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रश्नावली 10.1 और 10.2 के प्रश्नों के उत्तर शामिल हैं, जो वृत्त की स्पर्श रेखाओं और छेदक रेखाओं की अवधारणाओं पर केंद्रित हैं। समाधानों में स्पर्श रेखाओं की संख्या, स्पर्श बिंदु की परिभाषा, और स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करने जैसे महत्वपूर्ण विषयों को शामिल किया गया है। प्रत्येक प्रश्न का उत्तर स्पष्ट और संक्षिप्त तरीके से समझाया गया है, जिसमें आवश्यक सूत्र और गणनाएँ शामिल हैं। यह संसाधन छात्रों को वृत्त से संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल करने में मदद करेगा और परीक्षा की तैयारी के लिए एक उत्कृष्ट मार्गदर्शिका के रूप में काम करेगा।
Quick info
| Board | CBSE |
|---|---|
| Class | Class 10 |
| Subject | गणित |
| Session | 2026 |
| Language | Hindi |
| Type | NCERT Solutions |
| Chapter | 10. वृत्त |
Chapter summary
कक्षा 10 के गणित के अध्याय 10 'वृत्त' के लिए NCERT समाधान छात्रों को वृत्त की मूल अवधारणाओं, जैसे स्पर्श रेखाएँ और छेदक रेखाएँ, को समझने में मदद करते हैं। इसमें एक वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या निर्धारित करना, स्पर्श बिंदु को परिभाषित करना और स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना करना शामिल है। समाधान छात्रों को एक दी गई रेखा के समानांतर स्पर्श रेखाएँ और छेदक रेखाएँ खींचने का तरीका भी सिखाते हैं। यह अध्याय छात्रों को ज्यामिति में वृत्त के गुणों को लागू करने के लिए आवश्यक उपकरण प्रदान करता है।
Learning outcomes
- एक वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या को समझना।
- स्पर्श रेखा और छेदक रेखा के बीच अंतर को पहचानना।
- स्पर्श बिंदु की अवधारणा को समझना।
- पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना करना।
- दी गई रेखा के समानांतर स्पर्श रेखाएँ और छेदक रेखाएँ बनाना सीखना।
Topics covered
Paper topics
- वृत्त की स्पर्श रेखाएँ
- स्पर्श रेखाओं की संख्या
- स्पर्श बिंदु
- छेदक रेखा
- स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना
- पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग
- वृत्त से संबंधित ज्यामितीय आकृतियाँ
Important topics
- स्पर्श रेखा की परिभाषा और गुण
- स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करना (पाइथागोरस प्रमेय)
- स्पर्श रेखा और छेदक रेखा के बीच अंतर
- एक वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या
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Questions and Solutions
प्रश्न 1
एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं, और प्रत्येक बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
प्रश्न 2
- किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ______ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
- वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ______ कहते हैं।
- एक वृत्त की ______ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
- वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ट बिन्दु को ________ कहते हैं।
- एक: किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहा जाता है।
- छेदक रेखा: वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहा जाता है।
- दो: एक वृत्त की अधिकतम दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं, जो व्यास के सिरों पर स्थित होती हैं।
- स्पर्श बिंदु: वृत्त और उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है।
प्रश्न 3
� (A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) <math>√119</math> सेमी
दिया गया है:
वृत्त की त्रिज्या (OP) = 5 सेमी
केंद्र O से बिंदु Q तक की दूरी (OQ) = 12 सेमी
चूंकि PQ वृत्त की स्पर्श रेखा है और P स्पर्श बिंदु है, इसलिए OP ⊥ PQ होगा।
अतः, त्रिभुज OPQ एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠OPQ = 90° है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
PQ^2 = OQ^2 - OP^2
PQ^2 = 12^2 - 5^2
PQ^2 = 144 - 25
PQ^2 = 119
PQ की लंबाई ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लेने पर:
PQ = √119 सेमी
इसलिए, सही विकल्प (D) <math>√119</math> सेमी है।
प्रश्न 4
इस प्रश्न को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:
- एक वृत्त बनाएँ।
- वृत्त के तल में एक रेखा 'l' खींचें।
- अब, रेखा 'l' के समानांतर एक स्पर्श रेखा 'm' खींचें। यह रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करेगी।
- पुनः, रेखा 'l' के समानांतर एक छेदक रेखा 'n' खींचें। यह रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी।
इस प्रकार, हमें दी गई रेखा 'l' के समानांतर एक स्पर्श रेखा 'm' और एक छेदक रेखा 'n' प्राप्त होती है।
चित्र का विवरण:
एक वृत्त के ऊपर एक रेखा (दी गई रेखा) खींची गई है। इस दी गई रेखा के समानांतर, वृत्त के ऊपर एक स्पर्श रेखा और वृत्त के बीच से गुजरती हुई एक छेदक रेखा खींची गई है।
Common mistakes
- स्पर्श रेखा और छेदक रेखा के बीच भ्रमित होना।
- स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना करते समय पाइथागोरस प्रमेय को गलत तरीके से लागू करना।
- स्पर्श रेखाओं की संख्या को गलत बताना।
Revision tips
- प्रत्येक प्रश्न के लिए हल की गई विधि को ध्यान से समझें, विशेष रूप से पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग को।
- स्पर्श रेखा, छेदक रेखा और स्पर्श बिंदु की परिभाषाओं को याद करें।
- प्रश्नावली 10.2 के प्रश्न 4 जैसे प्रश्नों का अभ्यास करने के लिए स्वयं वृत्त और रेखाएँ बनाएँ।
- हल किए गए उदाहरणों को देखकर अवधारणाओं को स्पष्ट करें।
Practice MCQs
Q1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
Explanation: एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं, क्योंकि वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं और प्रत्येक बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
Q2. एक वृत्त की स्पर्श रेखा उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?
Explanation: स्पर्श रेखा की परिभाषा के अनुसार, यह वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहा जाता है।
Q3. वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को क्या कहते हैं?
Explanation: जो रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, उसे छेदक रेखा कहा जाता है।
Q4. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ, केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी है। PQ की लंबाई क्या है?
Explanation: चूंकि PQ स्पर्श रेखा है, इसलिए OP ⊥ PQ होगा। त्रिभुज OPQ एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय से, PQ² = OQ² - OP² = 12² - 5² = 144 - 25 = 119। इसलिए, PQ = √119 सेमी।
Q5. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को क्या कहते हैं?
Explanation: वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु कहलाता है।
Frequently asked questions
कक्षा 10 गणित के अध्याय 10 'वृत्त' में मुख्य रूप से किन अवधारणाओं को शामिल किया गया है?
इस अध्याय में मुख्य रूप से वृत्त की स्पर्श रेखाओं, छेदक रेखाओं, स्पर्श बिंदु की अवधारणा, और स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना पर ध्यान केंद्रित किया गया है।
स्पर्श रेखा और छेदक रेखा में क्या अंतर है?
स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, जबकि छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करने के लिए किस प्रमेय का उपयोग किया जाता है?
स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करने के लिए आमतौर पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है, क्योंकि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच 90 डिग्री का कोण बनता है।
क्या एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
हाँ, एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं क्योंकि वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं और प्रत्येक बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
ये NCERT समाधान परीक्षा की तैयारी में कैसे मदद करते हैं?
ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए विस्तृत, चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने और परीक्षा में पूछे जाने वाले विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल करने का अभ्यास करने में मदद मिलती है।
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