कक्षा 10 गणित: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल NCERT समाधान

Reviewed by · Updated on

NCERT Solutions PDF Class 10 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 10 गणित के अध्याय 12, 'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रश्नावली 12.1 के प्रश्नों को शामिल किया गया है, जो वृत्तों की परिधि और क्षेत्रफल से संबंधित हैं। समाधानों में दो वृत्तों की परिधियों या क्षेत्रफलों के योग के बराबर परिधि या क्षेत्रफल वाले नए वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना, और एक तीरंदाजी लक्ष्य के विभिन्न रंगीन क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करना शामिल है। प्रत्येक प्रश्न का हल चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण के साथ प्रस्तुत किया गया है, जिससे छात्रों को इन अवधारणाओं को समझने और परीक्षा की तैयारी में मदद मिलती है।

Home

Quick info

BoardCBSE
ClassClass 10
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter12. वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

Chapter summary

कक्षा 10 गणित के अध्याय 12 'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' के लिए NCERT समाधान। यह अध्याय वृत्तों की परिधि और क्षेत्रफल की गणना पर केंद्रित है। समाधानों में दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना और दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना सिखाया गया है। साथ ही, एक तीरंदाजी लक्ष्य के विभिन्न वृत्ताकार पट्टियों के क्षेत्रफल की गणना भी शामिल है।

Learning outcomes

  • दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना सीखें।
  • दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना सीखें।
  • वृत्ताकार पट्टियों के क्षेत्रफल की गणना करना समझें।
  • वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल की अवधारणाओं को लागू करना सीखें।

Topics covered

Paper topics

  • वृत्तों की परिधि
  • वृत्तों का क्षेत्रफल
  • त्रिज्या
  • व्यास
  • क्षेत्रफलों का योग
  • परिधियों का योग
  • वृत्ताकार पट्टियों का क्षेत्रफल
  • तीरंदाजी लक्ष्य

Important topics

  • दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना।
  • दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना।
  • वृत्ताकार पट्टियों के क्षेत्रफल की गणना।
  • वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल की मूल अवधारणाएँ।

PDF preview

Read page by page below. PDF is streamed from the official NCERT website — no download button on this page.

Loading document …
Page of
Loading page …

Questions and Solutions

प्रश्न 1

दो वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
Solution:

मान लीजिए पहले वृत्त की त्रिज्या $R = 19$ cm और दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r = 9$ cm है।

माना नए वृत्त की त्रिज्या $R'$ है।

प्रश्न के अनुसार, नए वृत्त की परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

नए वृत्त की परिधि $= 2 \pi R'$

पहले वृत्त की परिधि $= 2 \pi R = 2 \pi (19)$

दूसरे वृत्त की परिधि $= 2 \pi r = 2 \pi (9)$

अतः, $2 \pi R' = 2 \pi R + 2 \pi r$

$2 \pi R' = 2 \pi (R + r)$

$R' = R + r$

$R' = 19 \text{ cm} + 9 \text{ cm}$

$R' = 28 \text{ cm}$

इसलिए, नए वृत्त की त्रिज्या 28 cm है।

प्रश्न 2

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
Solution:

मान लीजिए पहले वृत्त की त्रिज्या $R = 8$ cm और दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r = 6$ cm है।

माना नए वृत्त की त्रिज्या $R'$ है।

प्रश्न के अनुसार, नए वृत्त का क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

नए वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi (R')^2$

पहले वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi R^2 = \pi (8)^2 = 64\pi$ cm²

दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi (6)^2 = 36\pi$ cm²

अतः, $\pi (R')^2 = \pi R^2 + \pi r^2$

$\pi (R')^2 = 64\pi + 36\pi$

$\pi (R')^2 = 100\pi$

$(R')^2 = 100$

$R' = \sqrt{100}$

$R' = 10$ cm

इसलिए, नए वृत्त की त्रिज्या 10 cm है।

प्रश्न 3

आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिन्हित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:

यह प्रश्न एक तीरंदाजी लक्ष्य के विभिन्न वृत्ताकार क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करने से संबंधित है। लक्ष्य में 5 क्षेत्र हैं: GOLD, RED, BLUE, BLACK, और WHITE।

1. गोल्ड (GOLD) क्षेत्र का क्षेत्रफल:

गोल्ड क्षेत्र का व्यास = 21 cm

गोल्ड क्षेत्र की त्रिज्या ($r_1$) = व्यास / 2 = $21/2 = 10.5$ cm

गोल्ड क्षेत्र का क्षेत्रफल = $\pi r_1^2 = \frac{22}{7} \times (10.5)^2 = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 22 \times 1.5 \times 10.5 = 346.5$ cm²

2. लाल (RED) क्षेत्र का क्षेत्रफल:

RED पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।

RED क्षेत्र सहित (GOLD + RED) वृत्त की त्रिज्या ($r_2$) = गोल्ड की त्रिज्या + RED पट्टी की चौड़ाई = $10.5 + 10.5 = 21$ cm

GOLD और RED क्षेत्रों का संयुक्त क्षेत्रफल = $\pi r_2^2 = \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{22}{7} \times 441 = 22 \times 63 = 1386$ cm²

RED क्षेत्र का क्षेत्रफल = (GOLD और RED का संयुक्त क्षेत्रफल) - (GOLD का क्षेत्रफल)

RED क्षेत्र का क्षेत्रफल = $1386 - 346.5 = 1039.5$ cm²

3. नीला (BLUE) क्षेत्र का क्षेत्रफल:

BLUE पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।

BLUE क्षेत्र सहित (GOLD + RED + BLUE) वृत्त की त्रिज्या ($r_3$) = $r_2$ + BLUE पट्टी की चौड़ाई = $21 + 10.5 = 31.5$ cm

GOLD, RED और BLUE क्षेत्रों का संयुक्त क्षेत्रफल = $\pi r_3^2 = \frac{22}{7} \times (31.5)^2 = \frac{22}{7} \times 31.5 \times 31.5 = 22 \times 4.5 \times 31.5 = 3118.5$ cm²

BLUE क्षेत्र का क्षेत्रफल = (GOLD + RED + BLUE का संयुक्त क्षेत्रफल) - (GOLD और RED का संयुक्त क्षेत्रफल)

BLUE क्षेत्र का क्षेत्रफल = $3118.5 - 1386 = 1732.5$ cm²

4. काला (BLACK) क्षेत्र का क्षेत्रफल:

BLACK पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।

BLACK क्षेत्र सहित (GOLD + RED + BLUE + BLACK) वृत्त की त्रिज्या ($r_4$) = $r_3$ + BLACK पट्टी की चौड़ाई = $31.5 + 10.5 = 42$ cm

GOLD, RED, BLUE और BLACK क्षेत्रों का संयुक्त क्षेत्रफल = $\pi r_4^2 = \frac{22}{7} \times (42)^2 = \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = 22 \times 6 \times 42 = 5544$ cm²

BLACK क्षेत्र का क्षेत्रफल = (GOLD + RED + BLUE + BLACK का संयुक्त क्षेत्रफल) - (GOLD + RED + BLUE का संयुक्त क्षेत्रफल)

BLACK क्षेत्र का क्षेत्रफल = $5544 - 3118.5 = 2425.5$ cm²

5. सफेद (WHITE) क्षेत्र का क्षेत्रफल:

WHITE पट्टी 10.5 cm चौड़ी है।

WHITE क्षेत्र सहित (GOLD + RED + BLUE + BLACK + WHITE) वृत्त की त्रिज्या ($r_5$) = $r_4$ + WHITE पट्टी की चौड़ाई = $42 + 10.5 = 52.5$ cm

सभी पाँच क्षेत्रों का संयुक्त क्षेत्रफल = $\pi r_5^2 = \frac{22}{7} \times (52.5)^2 = \frac{22}{7} \times 52.5 \times 52.5 = 22 \times 7.5 \times 52.5 = 8662.5$ cm²

WHITE क्षेत्र का क्षेत्रफल = (सभी पाँच क्षेत्रों का संयुक्त क्षेत्रफल) - (GOLD + RED + BLUE + BLACK का संयुक्त क्षेत्रफल)

WHITE क्षेत्र का क्षेत्रफल = $8662.5 - 5544 = 3118.5$ cm²

सारांश:

  • GOLD का क्षेत्रफल = 346.5 cm²
  • RED का क्षेत्रफल = 1039.5 cm²
  • BLUE का क्षेत्रफल = 1732.5 cm²
  • BLACK का क्षेत्रफल = 2425.5 cm²
  • WHITE का क्षेत्रफल = 3118.5 cm²

Common mistakes

  • त्रिज्या और व्यास के बीच भ्रमित होना।
  • परिधि और क्षेत्रफल के सूत्रों को गलत लगाना।
  • गणना में पाई (π) के मान का गलत उपयोग करना।
  • इकाइयों (जैसे cm, cm²) को सही ढंग से न लिखना।

Revision tips

  • सभी वृत्तों से संबंधित सूत्रों (परिधि, क्षेत्रफल) को याद करें।
  • प्रत्येक प्रश्न के हल को ध्यान से देखें और चरणों को समझें।
  • हल किए गए उदाहरणों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।
  • त्रिज्या, व्यास और चौड़ाई के बीच के अंतर को स्पष्ट करें।

Practice MCQs

Q1. यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है?

Q2. एक तीरंदाजी लक्ष्य में, गोल्ड क्षेत्र का व्यास 21 cm है। गोल्ड क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है?

Q3. यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?

Frequently asked questions

कक्षा 10 गणित के अध्याय 12 में कौन से मुख्य विषय शामिल हैं?

अध्याय 12, 'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल', मुख्य रूप से वृत्तों की परिधि और क्षेत्रफल की गणना पर केंद्रित है। इसमें दो वृत्तों की परिधियों या क्षेत्रफलों के योग के बराबर परिधि या क्षेत्रफल वाले नए वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना और वृत्ताकार क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करना शामिल है।

प्रश्नावली 12.1 के प्रश्न किस प्रकार के हैं?

प्रश्नावली 12.1 में ऐसे प्रश्न हैं जिनमें दो दिए गए वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी होती है, और ऐसे प्रश्न जिनमें दो दिए गए वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी होती है। एक प्रश्न तीरंदाजी लक्ष्य के विभिन्न क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करने से संबंधित है।

इन NCERT समाधानों का उपयोग कैसे करें?

इन समाधानों का उपयोग प्रत्येक प्रश्न के हल को समझने, हल करने की विधि सीखने और अपनी समझ की जांच करने के लिए करें। चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण आपको अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेंगे।

क्या इन समाधानों में सूत्रों का उल्लेख है?

समाधानों में वृत्तों की परिधि (2πr) और क्षेत्रफल (πr²) के सूत्रों का उपयोग किया गया है। प्रत्येक हल में इन सूत्रों को लागू करने का तरीका दर्शाया गया है।

Important links

Content reviewed by the NCERT Help team. Editorial Team and update policy

NCERT Solutions PDF PDF on NCERT Help. URL unchanged for search indexing.