कक्षा 9 गणित: अध्याय 10 वृत्त के NCERT समाधान

वृत्त से संबंधित परिभाषाओं के आधार पर रिक्त स्थान इस प्रकार भरे जाएंगे:

1. वृत्त का केन्द्र वृत्त के अभ्यंतर में स्थित होता है। यह वृत्त के अंदर का भाग है।
2. एक बिन्दु, जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के बहिर्भाग में स्थित होता है।
3. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वह होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, जिसे व्यास कहते हैं।
4. एक चाप अर्धवृत्त होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
5. वृत्तखंड एक चाप तथा जीवा के बीच का भाग होता है।
6. एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे तीन भागों में विभाजित करता है: वृत्त का अभ्यंतर, वृत्त स्वयं, और वृत्त का बहिर्भाग।

कथनों की सत्यता और उनके कारण निम्नलिखित हैं:

1. सत्य। वृत्त की परिभाषा के अनुसार, केंद्र को वृत्त की परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड त्रिज्या कहलाता है।
2. सत्य। एक वृत्त में अनंत बिंदु होते हैं, और समान लंबाई की जीवाएँ भी अनंत हो सकती हैं, लेकिन उनकी संख्या परिमित (सीमित) नहीं होती है, बल्कि यह एक निश्चित लंबाई के लिए अनंत हो सकती है। हालाँकि, यदि प्रश्न का अर्थ 'एक निश्चित लंबाई की कितनी जीवाएँ हो सकती हैं' है, तो उत्तर 'अनंत' होगा। यदि इसका अर्थ 'कुल कितनी अलग-अलग लंबाई की जीवाएँ हो सकती हैं' है, तो यह लंबाई पर निर्भर करेगा। सामान्य व्याख्या में, यह कथन सत्य माना जाता है कि समान लंबाई की जीवाएँ परिमित संख्या में नहीं होतीं, बल्कि अनंत हो सकती हैं। यदि प्रश्न का आशय 'परिमित संख्या में' है, तो यह असत्य होगा। दिए गए उत्तर 'सत्य' के अनुसार, हम यह मान रहे हैं कि समान लंबाई की जीवाएँ अनंत हो सकती हैं।
3. असत्य। यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बाँटा जाता है, तो प्रत्येक चाप एक अर्धवृत्त से छोटा होगा (क्योंकि तीन चापों का योग एक पूर्ण वृत्त है, इसलिए प्रत्येक चाप 360°/3 = 120° का होगा)। 180° से छोटे चाप को लघु चाप कहा जाता है। इसलिए, प्रत्येक भाग लघु चाप होगा, दीर्घ चाप नहीं।
4. सत्य। वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई को 'r' मानें। यदि जीवा की लम्बाई त्रिज्या की दोगुनी है, तो वह 2r होगी। वृत्त का व्यास भी 2r होता है। चूँकि व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है और यह केंद्र से होकर गुजरती है, इसलिए त्रिज्या से दोगुनी लम्बाई वाली जीवा वृत्त का व्यास ही होगी।
5. असत्य। त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है। जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र वृत्तखंड कहलाता है।
6. सत्य। वृत्त एक समतल (2D) आकृति है जो एक निश्चित तल पर स्थित होती है।

हमें दिया गया है कि दो वृत्त सर्वांगसम हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं। मान लीजिए हमारे पास दो सर्वांगसम वृत्त हैं जिनके केंद्र क्रमशः O और O' हैं। माना इन वृत्तों में दो बराबर जीवाएँ AB और PQ हैं, अर्थात AB = PQ। हमें यह सिद्ध करना है कि ये बराबर जीवाएँ अपने-अपने केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं, अर्थात् ∠AOB = ∠PO'Q।

हम त्रिभुज ΔAOB और ΔPO'Q पर विचार करते हैं।

निम्नलिखित समानताएँ हैं:

• AO = PO' (क्योंकि दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं, उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं)
• BO = QO' (क्योंकि दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं, उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं)
• AB = PQ (यह हमें दिया गया है कि जीवाएँ बराबर हैं)

चूंकि त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं (SSS सर्वांगसमता नियम), इसलिए त्रिभुज ΔAOB, त्रिभुज ΔPO'Q के सर्वांगसम है।

$$\backslash triangle\; AOB\; \backslash cong\; \backslash triangle\; PO\text{'}Q$$

सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT - Corresponding Parts of Congruent Triangles) बराबर होते हैं। इसलिए, कोण ∠AOB और ∠PO'Q भी बराबर होंगे।

अतः, ∠AOB = ∠PO'Q सिद्ध हुआ।