कक्षा 8 गणित: सीधा और प्रतिलोम समानुपात NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 8 के गणित के अध्याय 'सीधा और प्रतिलोम समानुपात' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रश्नावली 13.1 के सभी प्रश्नों के हल शामिल हैं, जो छात्रों को प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात की महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझने में मदद करते हैं। समाधानों में प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से समझाया गया है, जिससे छात्र यह सीख सकें कि कैसे पार्किंग शुल्क, पेंट मिश्रण, सॉफ्ट ड्रिंक बॉटलिंग और बैक्टीरिया के आवर्धन जैसे विभिन्न परिदृश्यों में समानुपात लागू किया जाता है। यह विस्तृत व्याख्या छात्रों को परीक्षा की तैयारी और गणितीय समस्याओं को हल करने के कौशल को बेहतर बनाने में सहायता करती है।

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BoardCBSE
ClassClass 8
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter13. सीधा और प्रतिलोम समानुपात

Chapter summary

कक्षा 8 के गणित के अध्याय 'सीधा और प्रतिलोम समानुपात' के ये NCERT समाधान छात्रों को दो राशियों के बीच संबंध को समझने में मदद करते हैं। यह अध्याय सिखाता है कि कैसे एक राशि में वृद्धि या कमी दूसरी राशि को उसी अनुपात में प्रभावित करती है (सीधा समानुपात) या विपरीत अनुपात में प्रभावित करती है (प्रतिलोम समानुपात)। समाधानों में व्यावहारिक उदाहरणों का उपयोग किया गया है, जैसे पार्किंग शुल्क, पेंट मिश्रण, और बॉटलिंग दरें, ताकि छात्र इन अवधारणाओं को वास्तविक जीवन की स्थितियों में लागू करना सीख सकें।

Learning outcomes

  • सीधे समानुपात की अवधारणा को समझना।
  • व्युत्क्रम (प्रतिलोम) समानुपात की अवधारणा को समझना।
  • दिए गए अनुपात के आधार पर अज्ञात राशियों की गणना करना।
  • वास्तविक जीवन की समस्याओं में सीधे और प्रतिलोम समानुपात के अनुप्रयोगों को पहचानना।
  • पार्किंग शुल्क, मिश्रण अनुपात और उत्पादन दर जैसी समस्याओं को हल करने के लिए समानुपात का उपयोग करना।

Topics covered

Paper topics

  • सीधा समानुपात
  • प्रतिलोम (व्युत्क्रम) समानुपात
  • अनुपात की अवधारणा
  • समानुपात की जाँच
  • पार्किंग शुल्क की गणना
  • पेंट मिश्रण अनुपात
  • उत्पादन दर
  • बोतल भरने की दर
  • जीवाणु आवर्धन
  • वास्तविक लंबाई की गणना
  • व्यावहारिक अनुप्रयोग

Important topics

  • सीधा समानुपात की परिभाषा और पहचान
  • प्रतिलोम समानुपात की परिभाषा और पहचान
  • सीधे समानुपात के अनुप्रयोग (जैसे मिश्रण, उत्पादन)
  • प्रतिलोम समानुपात के अनुप्रयोग (जैसे समय और कार्य)
  • वास्तविक जीवन की समस्याओं में समानुपात का उपयोग

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

एक रेलवे स्टेशन के निकट कार पार्किंग शुल्क इस प्रकार हैं:

4 घंटों तक ₹60

8 घंटों तक ₹100

12 घंटों तक ₹140

24 घंटों तक ₹180

जाँच कीजिए कि क्या कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में है।
Solution:

यह जाँचने के लिए कि क्या कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में है, हमें प्रत्येक अवधि के लिए शुल्क और समय के अनुपात की गणना करनी होगी। यदि यह अनुपात स्थिर रहता है, तो वे प्रत्यक्ष अनुपात में हैं।

4 घंटों के लिए शुल्क = ₹60। प्रति घंटा शुल्क = \frac{60}{4} = ₹15

8 घंटों के लिए शुल्क = ₹100। प्रति घंटा शुल्क = \frac{100}{8} = ₹12.50

12 घंटों के लिए शुल्क = ₹140। प्रति घंटा शुल्क = \frac{140}{12} = ₹11.67 (लगभग)

24 घंटों के लिए शुल्क = ₹180। प्रति घंटा शुल्क = \frac{180}{24} = ₹7.50

चूंकि प्रति घंटा शुल्क (या शुल्क और समय का अनुपात) प्रत्येक अवधि के लिए समान नहीं है (15 \neq 12.50 \neq 11.67 \neq 7.50), कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं है।

प्रश्न 2

एक पेंट के मूल मिश्रण (base) के 8 भागों में लाल रंग के पदार्थ का 1 भाग मिलाकर मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिखित सरणी में, मूल मिश्रण के वे भाग ज्ञात कीजिए जिन्हें मिलाए जाने की आवश्यकता है:

लाल रंग के पदार्थ के भाग: 1, 4, 7, 12, 20

मूल मिश्रण के भाग: 8, ----, ----, ----, ----

Solution:

यह एक सीधा समानुपात का प्रश्न है, क्योंकि लाल रंग के पदार्थ की मात्रा बढ़ने पर मूल मिश्रण की मात्रा भी उसी अनुपात में बढ़नी चाहिए।

दिया गया है कि लाल रंग के पदार्थ का 1 भाग मूल मिश्रण के 8 भागों के साथ मिलाया जाता है। अतः, अनुपात \frac{\text{लाल रंग के पदार्थ के भाग}}{\text{मूल मिश्रण के भाग}} = \frac{1}{8} है। यह अनुपात स्थिर रहेगा।

माना, लाल रंग के पदार्थ के भाग a और मूल मिश्रण के भाग b हैं। तब \frac{a}{b} = k (जहाँ k एक स्थिरांक है)।

यहाँ, k = \frac{1}{8}.

जब लाल रंग के पदार्थ के 4 भाग हों (a_2 = 4):

\frac{4}{b_2} = \frac{1}{8} \Rightarrow b_2 = 4 \times 8 = 32 भाग।

जब लाल रंग के पदार्थ के 7 भाग हों (a_3 = 7):

\frac{7}{b_3} = \frac{1}{8} \Rightarrow b_3 = 7 \times 8 = 56 भाग।

जब लाल रंग के पदार्थ के 12 भाग हों (a_4 = 12):

\frac{12}{b_4} = \frac{1}{8} \Rightarrow b_4 = 12 \times 8 = 96 भाग।

जब लाल रंग के पदार्थ के 20 भाग हों (a_5 = 20):

\frac{20}{b_5} = \frac{1}{8} \Rightarrow b_5 = 20 \times 8 = 160 भाग।

अतः, तालिका इस प्रकार पूरी होगी:

लाल रंग के पदार्थ के भाग: 1, 4, 7, 12, 20

मूल मिश्रण के भाग: 8, 32, 56, 96, 160

प्रश्न 3

प्रश्न 2 में यदि लाल रंग के पदार्थ के 1 भाग के लिए 75 mL मूल मिश्रण की आवश्यकता है, तो मूल मिश्रण के 1800 mL में हमें कितना लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए?
Solution:

यह भी एक सीधा समानुपात का प्रश्न है। लाल रंग के पदार्थ की मात्रा और मूल मिश्रण की मात्रा का अनुपात स्थिर रहता है।

दिया गया है कि 1 भाग लाल रंग के पदार्थ के लिए 75 mL मूल मिश्रण की आवश्यकता है।

माना, 1800 mL मूल मिश्रण के लिए x mL लाल रंग के पदार्थ की आवश्यकता है।

हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:

\frac{\text{लाल रंग के पदार्थ के भाग}}{\text{मूल मिश्रण के भाग}} = \frac{1}{75}

अब, अज्ञात मात्रा के लिए:

\frac{x}{1800} = \frac{1}{75}

इस समीकरण को x के लिए हल करने पर:

x = \frac{1 \times 1800}{75}

x = \frac{1800}{75}

गणना करने पर, x = 24 mL।

अतः, मूल मिश्रण के 1800 mL में 24 mL लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए।

प्रश्न 4

एक सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में एक मशीन 6 घंटे में 840 बोतलें भरती है। वह मशीन पाँच घंटे में कितनी बोतलें भरेगी?
Solution:

यह एक सीधा समानुपात का प्रश्न है, क्योंकि मशीन द्वारा भरने की दर स्थिर मानी जाती है। यदि समय कम होगा, तो भरी जाने वाली बोतलों की संख्या भी उसी अनुपात में कम हो जाएगी।

दिया गया है कि 6 घंटे में 840 बोतलें भरी जाती हैं।

माना, 5 घंटे में x बोतलें भरी जाएंगी।

हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:

\frac{\text{समय (घंटे)}}{\text{बोतलों की संख्या}} = \frac{6}{840}

अब, अज्ञात मात्रा के लिए:

\frac{5}{x} = \frac{6}{840}

इस समीकरण को x के लिए हल करने पर:

6 \times x = 5 \times 840

x = \frac{5 \times 840}{6}

x = \frac{4200}{6}

x = 700 बोतलें।

अतः, मशीन पाँच घंटे में 700 बोतलें भरेगी।

प्रश्न 5

एक बैक्टीरिया (bacteria) या जीवाणु के फोटोग्राफ (चित्र) को 50,000 गुना आवर्धित करने पर उसकी लंबाई 5 cm हो जाती है, जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है। इस बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटोग्राफ को केवल 20,000 गुना आवर्धित किया जाए, तो उसकी आवर्धित लंबाई क्या होगी?
Solution:

यह प्रश्न सीधे समानुपात पर आधारित है, जहाँ फोटोग्राफ की आवर्धित लंबाई, आवर्धन के सीधे समानुपात में होती है।

भाग 1: बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई ज्ञात करना।

दिया गया है कि 50,000 गुना आवर्धन पर लंबाई 5 cm है।

वास्तविक लंबाई = \frac{\text{आवर्धित लंबाई}}{\text{आवर्धन}}

वास्तविक लंबाई = \frac{5 \text{ cm}}{50000}

वास्तविक लंबाई = \frac{1}{10000} cm = 10^{-4} cm।

भाग 2: 20,000 गुना आवर्धन पर आवर्धित लंबाई ज्ञात करना।

माना, 20,000 गुना आवर्धन पर आवर्धित लंबाई x cm है।

हम सीधे समानुपात का उपयोग करेंगे:

\frac{\text{आवर्धित लंबाई}_1}{\text{आवर्धन}_1} = \frac{\text{आवर्धित लंबाई}_2}{\text{आवर्धन}_2}

\frac{5}{50000} = \frac{x}{20000}

अब, x के लिए हल करें:

x \times 50000 = 5 \times 20000

x = \frac{5 \times 20000}{50000}

x = \frac{100000}{50000}

x = 2 cm।

अतः, बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई 10^{-4} cm है और 20,000 गुना आवर्धन पर उसकी आवर्धित लंबाई 2 cm होगी।

Common mistakes

  • सीधे और प्रतिलोम समानुपात के बीच अंतर करने में भ्रमित होना।
  • अनुपात की गणना करते समय इकाइयों को गलत तरीके से संभालना।
  • समानुपात स्थापित करते समय क्रॉस-गुणा या विभाजन में त्रुटियाँ करना।
  • समस्या के संदर्भ को समझे बिना सीधे सूत्र लागू करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न में यह पहचानें कि राशियाँ सीधे समानुपात में हैं या प्रतिलोम समानुपात में।
  • हल करते समय प्रत्येक चरण को ध्यान से लिखें, खासकर अनुपात की गणना करते समय।
  • विभिन्न प्रकार की व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए समाधानों का अभ्यास करें।
  • सूत्रों को याद करने के बजाय, समानुपात के पीछे के तर्क को समझें।

Practice MCQs

Q1. यदि 6 घंटे में 840 बोतलें भरी जाती हैं, तो 5 घंटे में कितनी बोतलें भरी जाएंगी, यह मानते हुए कि भरने की दर स्थिर है?

Q2. एक पेंट के मिश्रण में, लाल रंग के पदार्थ के 1 भाग के लिए 8 भाग मूल मिश्रण की आवश्यकता होती है। यदि 7 भाग लाल रंग का पदार्थ उपयोग किया जाता है, तो कितने भाग मूल मिश्रण की आवश्यकता होगी?

Q3. कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में है या नहीं, यह जाँचने के लिए क्या शर्त पूरी होनी चाहिए?

Q4. एक बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई 10⁻⁴ cm है। यदि फोटोग्राफ को 50,000 गुना आवर्धित किया जाता है, तो उसकी आवर्धित लंबाई क्या होगी?

Q5. यदि 75 mL मूल मिश्रण के लिए 1 भाग लाल रंग का पदार्थ चाहिए, तो 1800 mL मूल मिश्रण के लिए कितने भाग लाल रंग का पदार्थ चाहिए?

Frequently asked questions

सीधा समानुपात और प्रतिलोम समानुपात में क्या अंतर है?

सीधे समानुपात में, यदि एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी राशि भी उसी अनुपात में बढ़ती है (और इसके विपरीत)। प्रतिलोम समानुपात में, यदि एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी राशि विपरीत अनुपात में घटती है।

यह कैसे जांचें कि दो राशियाँ सीधे समानुपात में हैं?

दो राशियाँ सीधे समानुपात में तब होती हैं जब उनका अनुपात एक स्थिर मान (k) के बराबर होता है। यानी, यदि राशियाँ x और y हैं, तो x/y = k।

प्रश्न 1 में पार्किंग शुल्क सीधे समानुपात में क्यों नहीं है?

प्रश्न 1 में, पार्किंग शुल्क और पार्किंग समय का अनुपात स्थिर नहीं है। उदाहरण के लिए, 4 घंटे के लिए प्रति घंटा शुल्क ₹15 है, जबकि 8 घंटे के लिए यह ₹12.50 है। अनुपात बदलने के कारण यह सीधे समानुपात में नहीं है।

प्रश्न 5 में बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई कैसे ज्ञात की गई?

बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई ज्ञात करने के लिए, आवर्धित लंबाई (5 cm) को आवर्धन (50,000 गुना) से विभाजित किया गया। वास्तविक लंबाई = 5 cm / 50,000 = 1/10,000 cm या 10⁻⁴ cm।

क्या इन समाधानों का उपयोग परीक्षा की तैयारी के लिए किया जा सकता है?

हाँ, ये समाधान परीक्षा की तैयारी के लिए बहुत उपयोगी हैं क्योंकि वे प्रत्येक प्रश्न को हल करने के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं और सीधे व प्रतिलोम समानुपात की अवधारणाओं को समझने में मदद करते हैं।

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