कक्षा 12 गणित NCERT समाधान: रैखिक प्रोग्रामन

प्रश्नानुसार, हमें उद्देश्य फलन $Z\; =\; 3x\; +\; 4y$ का अधिकतमीकरण करना है, जिसके लिए निम्नलिखित अवरोध दिए गए हैं:

1. $x\; +\; y\; \backslash le\; 4$
2. $x\; \backslash ge\; 0$
3. $y\; \backslash ge\; 0$

हम इन असमिकाओं को ग्राफीय विधि से हल करेंगे:

1. असमिका $x\; +\; y\; \backslash le\; 4$ के लिए: सबसे पहले, हम रेखा $x\; +\; y\; =\; 4$ का आलेख खींचेंगे। यह रेखा बिंदु $A(4,\; 0)$ (जब $y=0$) और $B(0,\; 4)$ (जब $x=0$) से होकर गुजरती है। अब, हम यह निर्धारित करेंगे कि असमिका $x\; +\; y\; \backslash le\; 4$ का क्षेत्र रेखा के किस ओर है। हम मूल बिंदु $(0,\; 0)$ को असमिका में रखकर जाँच करते हैं: $0\; +\; 0\; \backslash le\; 4$, जो कि सत्य है। इसलिए, $x\; +\; y\; \backslash le\; 4$ का क्षेत्र रेखा $x\; +\; y\; =\; 4$ पर और मूल बिंदु $(0,\; 0)$ की ओर स्थित है।
2. असमिका $x\; \backslash ge\; 0$ के लिए: यह असमिका दर्शाती है कि x का मान शून्य या शून्य से बड़ा है। इसका क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर स्थित है।
3. असमिका $y\; \backslash ge\; 0$ के लिए: यह असमिका दर्शाती है कि y का मान शून्य या शून्य से बड़ा है। इसका क्षेत्र x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित है।

इन सभी अवरोधों को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ क्षेत्र एक त्रिभुज $\backslash triangle\; OAB$ है, जिसके कोनीय बिंदु (शीर्ष) हैं: $O(0,\; 0)$, $A(4,\; 0)$, और $B(0,\; 4)$।

अब, हम इन कोनीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $Z\; =\; 3x\; +\; 4y$ का मान ज्ञात करेंगे:

सारणी से स्पष्ट है कि Z का अधिकतम मान 16 है, जो बिंदु $B(0,\; 4)$ पर प्राप्त होता है।

उत्तर: Z का अधिकतम मान 16 है, जो बिंदु $(0,\; 4)$ पर प्राप्त होता है।

हमें उद्देश्य फलन $Z\; =\; -3x\; +\; 4y$ का न्यूनतमीकरण करना है, जिसके लिए निम्नलिखित अवरोध दिए गए हैं:

1. $x\; +\; 2y\; \backslash le\; 8$
2. $3x\; +\; 2y\; \backslash le\; 12$
3. $x\; \backslash ge\; 0$
4. $y\; \backslash ge\; 0$

हम इन असमिकाओं को ग्राफीय विधि से हल करेंगे:

1. असमिका $x\; +\; 2y\; \backslash le\; 8$ के लिए: रेखा $x\; +\; 2y\; =\; 8$ बिंदु $A(8,\; 0)$ (जब $y=0$) और $B(0,\; 4)$ (जब $x=0$) से होकर गुजरती है। मूल बिंदु $(0,\; 0)$ को असमिका में रखने पर: $0\; +\; 2(0)\; \backslash le\; 8\; \backslash Rightarrow\; 0\; \backslash le\; 8$, जो सत्य है। अतः, इस असमिका का क्षेत्र रेखा $x\; +\; 2y\; =\; 8$ पर और मूल बिंदु की ओर है।
2. असमिका $3x\; +\; 2y\; \backslash le\; 12$ के लिए: रेखा $3x\; +\; 2y\; =\; 12$ बिंदु $P(4,\; 0)$ (जब $y=0$) और $Q(0,\; 6)$ (जब $x=0$) से होकर गुजरती है। मूल बिंदु $(0,\; 0)$ को असमिका में रखने पर: $3(0)\; +\; 2(0)\; \backslash le\; 12\; \backslash Rightarrow\; 0\; \backslash le\; 12$, जो सत्य है। अतः, इस असमिका का क्षेत्र रेखा $3x\; +\; 2y\; =\; 12$ पर और मूल बिंदु की ओर है।
3. असमिका $x\; \backslash ge\; 0$ के लिए: यह क्षेत्र y-अक्ष पर और उसके दायीं ओर है।
4. असमिका $y\; \backslash ge\; 0$ के लिए: यह क्षेत्र x-अक्ष पर और उसके ऊपर है।

इन सभी अवरोधों को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र एक बहुभुज है। हमें इस क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं को ज्ञात करना होगा। कोनीय बिंदु निम्नलिखित हैं:

• मूल बिंदु $O(0,\; 0)$।
• रेखा $3x\; +\; 2y\; =\; 12$ और x-अक्ष ($y=0$) का प्रतिच्छेदन बिंदु, जो $P(4,\; 0)$ है।
• रेखा $x\; +\; 2y\; =\; 8$ और y-अक्ष ($x=0$) का प्रतिच्छेदन बिंदु, जो $B(0,\; 4)$ है।
• रेखाओं $x\; +\; 2y\; =\; 8$ और $3x\; +\; 2y\; =\; 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु। इन समीकरणों को हल करने पर:

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:

$(3x\; +\; 2y)\; -\; (x\; +\; 2y)\; =\; 12\; -\; 8$

$2x\; =\; 4\; \backslash Rightarrow\; x\; =\; 2$

x = 2 को समीकरण (1) में रखने पर:

$2\; +\; 2y\; =\; 8\; \backslash Rightarrow\; 2y\; =\; 6\; \backslash Rightarrow\; y\; =\; 3$

अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $R(2,\; 3)$ है।

सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदु हैं: $O(0,\; 0)$, $P(4,\; 0)$, $R(2,\; 3)$, और $B(0,\; 4)$।

अब, हम इन कोनीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $Z\; =\; -3x\; +\; 4y$ का मान ज्ञात करेंगे:

सारणी से स्पष्ट है कि Z का न्यूनतम मान -12 है, जो बिंदु $P(4,\; 0)$ पर प्राप्त होता है।

उत्तर: Z का न्यूनतम मान -12 है, जो बिंदु $(4,\; 0)$ पर प्राप्त होता है।