कक्षा 12 गणित: त्रि-विमीय ज्यामिति NCERT समाधान

Solution: मान लीजिए कि रेखा द्वारा x, y, और z अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः α, β, और γ हैं। हमें दिया गया है कि α = 90°, β = 135°, और γ = 45°।

एक रेखा की दिक्-कोसाइन उसके द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बनाए गए कोणों के कोसाइन होते हैं। इन्हें आमतौर पर l, m, और n से दर्शाया जाता है।

अतः, दिक्-कोसाइन हैं:

l = \cos \alpha = \cos 90^{\circ} = 0 और m = \cos \beta = \cos 135^{\circ}

हम जानते हैं कि \cos 135^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ}.

m = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}} और n = \cos \gamma = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}

इसलिए, रेखा की दिक्-कोसाइन 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} तथा \frac{1}{\sqrt{2}} हैं।

Solution: मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण α बनाती है।

अतः, रेखा के दिक्-कोसाइन $l\; =\; \backslash cos\; \backslash alpha$, $m\; =\; \backslash cos\; \backslash alpha$, और $n\; =\; \backslash cos\; \backslash alpha$ होंगे।

हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए दिक्-कोसाइन का वर्ग का योग 1 के बराबर होता है, अर्थात $l^2\; +\; m^2\; +\; n^2\; =\; 1$.

दिक्-कोसाइन के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$\backslash cos^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1$

यह समीकरण सरल होकर बनता है:

$3\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1$

इससे हमें प्राप्त होता है:

$\backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$

वर्गमूल लेने पर:

$\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$

इसलिए, रेखा के दिक्-कोसाइन $\backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; \backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; \backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$ हैं। इसका मतलब है कि दिक्-कोसाइन के चार संभावित सेट हो सकते हैं: ($\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$), ($-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$), ($\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\},\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$), आदि।

Solution: मान लीजिए कि रेखा के दिक्-अनुपात $a,\; b,$ और $c$ हैं। हमें दिया गया है कि $a\; =\; -18$, $b\; =\; 12$, और $c\; =\; -4$।

एक रेखा की दिक्-कोसाइन (l, m, n) की गणना उसके दिक्-अनुपातों (a, b, c) का उपयोग करके निम्न सूत्र से की जाती है:

$l\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\}$, $m\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\}$, $n\; =\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\}$

सबसे पहले, हम दिक्-अनुपातों के वर्गों के योग का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:

$\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{(-18)^2\; +\; 12^2\; +\; (-4)^2\}$

$=\; \backslash sqrt\{324\; +\; 144\; +\; 16\}$

$=\; \backslash sqrt\{484\}$

$=\; 22$

अब, हम दिक्-कोसाइन की गणना करते हैं:

$l\; =\; \backslash frac\{-18\}\{22\}\; =\; \backslash frac\{-9\}\{11\}$

$m\; =\; \backslash frac\{12\}\{22\}\; =\; \backslash frac\{6\}\{11\}$

$n\; =\; \backslash frac\{-4\}\{22\}\; =\; \backslash frac\{-2\}\{11\}$

अतः, रेखा के दिक्-कोसाइन $\backslash frac\{-9\}\{11\},\; \backslash frac\{6\}\{11\}$ तथा $\backslash frac\{-2\}\{11\}$ हैं।

Solution: तीन बिंदुओं को सरेख दर्शाने के लिए, हम उनके बीच की दूरियों की गणना कर सकते हैं और जांच सकते हैं कि क्या किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, हम उनके दिक्-अनुपातों की जाँच कर सकते हैं।

मान लीजिए दिए गए बिंदु A(2, 3, 4), B(-1, -2, 1), और C(5, 8, 7) हैं।

हम सदिश AB और सदिश BC के दिक्-अनुपात ज्ञात करते हैं।

सदिश AB के दिक्-अनुपात हैं:

x_2 - x_1 = -1 - 2 = -3

y_2 - y_1 = -2 - 3 = -5

z_2 - z_1 = 1 - 4 = -3

अतः, AB के दिक्-अनुपात (-3, -5, -3) हैं।

सदिश BC के दिक्-अनुपात हैं:

x_3 - x_2 = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6

y_3 - y_2 = 8 - (-2) = 8 + 2 = 10

z_3 - z_2 = 7 - 1 = 6

अतः, BC के दिक्-अनुपात (6, 10, 6) हैं।

अब हम जाँच करते हैं कि क्या सदिश AB और सदिश BC के दिक्-अनुपात समानुपाती हैं।

हम देख सकते हैं कि BC के दिक्-अनुपात AB के दिक्-अनुपातों के -2 गुना हैं:

6 = -2 \times (-3)

10 = -2 \times (-5)

6 = -2 \times (-3)

चूंकि सदिश AB और सदिश BC के दिक्-अनुपात समानुपाती हैं, और वे बिंदु B पर उभयनिष्ठ हैं, इसलिए बिंदु A, B, और C संरेख हैं।

वैकल्पिक रूप से, हम दूरियों की गणना कर सकते हैं:

AB = \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-5)^2+(-3)^2} = \sqrt{9+25+9} = \sqrt{43}

BC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-2))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{(6)^2+(10)^2+(6)^2} = \sqrt{36+100+36} = \sqrt{172} = \sqrt{4 \times 43} = 2\sqrt{43}

AC = \sqrt{(5-2)^2 + (8-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{(3)^2+(5)^2+(3)^2} = \sqrt{9+25+9} = \sqrt{43}

यहाँ, AB + AC = \sqrt{43} + \sqrt{43} = 2\sqrt{43} = BC।

चूंकि AB + AC = BC नहीं है, और AB + BC = AC नहीं है, और AC + BC = AB नहीं है, हमें दूरियों की गणना में त्रुटि हुई है या विधि गलत है।

सही दूरी गणना:

AB = \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}

BC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-2))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (10)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}

AC = \sqrt{(5-2)^2 + (8-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{(3)^2 + (5)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}

यहाँ, AB + AC = \sqrt{43} + \sqrt{43} = 2\sqrt{43} = BC। यह दर्शाता है कि बिंदु A, C, B संरेख हैं, न कि A, B, C।

दिक्-अनुपात विधि अधिक सीधी है। चूँकि सदिश AB और सदिश BC के दिक्-अनुपात समानुपाती हैं (BC के दिक्-अनुपात AB के दिक्-अनुपातों के -2 गुना हैं), और वे बिंदु B पर उभयनिष्ठ हैं, इसलिए बिंदु A, B, और C संरेख हैं।