कक्षा 12 गणित NCERT समाधान: अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

Reviewed by · Updated on

NCERT Solutions PDF Class 12 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 2, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रश्नावली 2.1 के सभी प्रश्नों के हल शामिल हैं, जो छात्रों को विभिन्न प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों को ज्ञात करने की प्रक्रिया को समझने में मदद करते हैं। प्रत्येक समाधान में फलन के मुख्य मान की गणना के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण दिया गया है, जिसमें संबंधित त्रिकोणमितीय फलन की मुख्य शाखा के परिसर का उपयोग शामिल है। ये समाधान छात्रों को इन महत्वपूर्ण अवधारणाओं को स्पष्ट करने और परीक्षा की तैयारी को मजबूत करने में सहायता करते हैं।

Home

Quick info

BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

Chapter summary

अध्याय 2, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, कक्षा 12 गणित के लिए NCERT समाधानों का यह सेट प्रश्नावली 2.1 पर केंद्रित है। यह मुख्य रूप से विभिन्न प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों जैसे sin⁻¹, cos⁻¹, cosec⁻¹, tan⁻¹, sec⁻¹, और cot⁻¹ के मुख्य मानों को ज्ञात करने पर जोर देता है। समाधान प्रत्येक फलन के लिए परिभाषित मुख्य शाखा के परिसर का उपयोग करके विस्तृत चरण प्रदान करते हैं।

Learning outcomes

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों को ज्ञात करना सीखें।
  • sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, cosec⁻¹, sec⁻¹, और cot⁻¹ के मुख्य मानों की गणना करें।
  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मुख्य शाखाओं के परिसरों को समझें।
  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके मुख्य मान ज्ञात करें।
  • दिए गए मानों के लिए सही प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान निर्धारित करें।

Topics covered

Paper topics

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
  • मुख्य मान
  • sin⁻¹ का मुख्य मान
  • cos⁻¹ का मुख्य मान
  • tan⁻¹ का मुख्य मान
  • cosec⁻¹ का मुख्य मान
  • sec⁻¹ का मुख्य मान
  • cot⁻¹ का मुख्य मान
  • मुख्य शाखा का परिसर
  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

Important topics

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान
  • मुख्य शाखाओं के परिसर
  • sin⁻¹(-x) का मुख्य मान
  • cos⁻¹(-x) का मुख्य मान
  • tan⁻¹(-x) का मुख्य मान
  • cosec⁻¹(x) और sec⁻¹(x) के मुख्य मान

PDF preview

Read page by page below. PDF is streamed from the official NCERT website — no download button on this page.

Loading document …
Page of
Loading page …

Questions and Solutions

प्रश्न 1:

sin⁻¹(-1/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)।

तब, \sin y = -\frac{1}{2}।

हम जानते हैं कि \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}।

चूँकि \sin^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\] होता है, और y = -\frac{\pi}{6} इस परिसर में आता है।

अतः, \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) का मुख्य मान -\frac{\pi}{6} है।

प्रश्न 2:

cos⁻¹(√3/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)।

तब, \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}।

हम जानते हैं कि \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}।

चूँकि \cos^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \[0, \pi\] होता है, और y = \frac{\pi}{6} इस परिसर में आता है।

अतः, \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) का मुख्य मान \frac{\pi}{6} है।

प्रश्न 3:

cosec⁻¹(2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \csc^{-1}(2)।

तब, \csc y = 2।

हम जानते हैं कि \csc\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2।

चूँकि \csc^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\] - \{0\} होता है, और y = \frac{\pi}{6} इस परिसर में आता है।

अतः, \csc^{-1}(2) का मुख्य मान \frac{\pi}{6} है।

प्रश्न 4:

tan⁻¹(-√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \tan^{-1}(-\sqrt{3})।

तब, \tan y = -\sqrt{3}।

हम जानते हैं कि \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}।

चूँकि \tan^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) होता है, और y = -\frac{\pi}{3} इस परिसर में आता है।

अतः, \tan^{-1}(-\sqrt{3}) का मुख्य मान -\frac{\pi}{3} है।

प्रश्न 5:

cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)।

तब, \cos y = -\frac{1}{2}।

हम जानते हैं कि \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}। इसलिए, \cos y = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)।

चूँकि \cos^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \[0, \pi\] होता है, और y = \frac{2\pi}{3} इस परिसर में आता है।

अतः, \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) का मुख्य मान \frac{2\pi}{3} है।

प्रश्न 6:

tan⁻¹(-1) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \tan^{-1}(-1)।

तब, \tan y = -1।

हम जानते हैं कि \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1।

चूँकि \tan^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) होता है, और y = -\frac{\pi}{4} इस परिसर में आता है।

अतः, \tan^{-1}(-1) का मुख्य मान -\frac{\pi}{4} है।

प्रश्न 7:

sec⁻¹(2/√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)।

तब, \sec y = \frac{2}{\sqrt{3}}।

हम जानते हैं कि \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}।

चूँकि \sec^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \[0, \pi\] - \{\frac{\pi}{2}\} होता है, और y = \frac{\pi}{6} इस परिसर में आता है।

अतः, \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) का मुख्य मान \frac{\pi}{6} है।

प्रश्न 8:

cot⁻¹(√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \cot^{-1}(\sqrt{3})।

तब, \cot y = \sqrt{3}।

हम जानते हैं कि \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}।

चूँकि \cot^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \(0, \pi\) होता है, और y = \frac{\pi}{6} इस परिसर में आता है।

अतः, \cot^{-1}(\sqrt{3}) का मुख्य मान \frac{\pi}{6} है।

प्रश्न 9:

cos⁻¹(-1/√2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि y = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)।

तब, \cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}}।

हम जानते हैं कि \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}। इसलिए, \cos y = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)।

चूँकि \cos^{-1} फलन का मुख्य मान परिसर \[0, \pi\] होता है, और y = \frac{3\pi}{4} इस परिसर में आता है।

अतः, \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) का मुख्य मान \frac{3\pi}{4} है।

Common mistakes

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों के परिसरों को याद रखने में विफलता।
  • ऋणात्मक मानों के लिए मुख्य मानों की गणना करते समय चिह्नों में त्रुटियाँ।
  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को गलत तरीके से लागू करना।
  • मुख्य मान ज्ञात करते समय गलत चतुर्थांश का चयन करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के मुख्य मानों के परिसर को याद करें।
  • मुख्य मानों की गणना के लिए चरण-दर-चरण विधि का अभ्यास करें।
  • ऋणात्मक इनपुट वाले प्रश्नों पर विशेष ध्यान दें।
  • विभिन्न प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए हल किए गए उदाहरणों की समीक्षा करें।

Practice MCQs

Q1. sin⁻¹(-1/2) का मुख्य मान क्या है?

Q2. cos⁻¹(√3/2) का मुख्य मान क्या है?

Q3. tan⁻¹(-1) का मुख्य मान क्या है?

Q4. cosec⁻¹(2) का मुख्य मान क्या है?

Q5. cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान क्या है?

Frequently asked questions

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन क्या हैं?

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वे फलन होते हैं जो त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम होते हैं। उदाहरण के लिए, sin⁻¹(x) वह कोण y है जिसके लिए sin(y) = x।

मुख्य मान क्या होता है?

मुख्य मान प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान होता है जो फलन की मुख्य शाखा के परिसर में आता है।

sin⁻¹(-1/2) का मुख्य मान ज्ञात करने के लिए क्या चरण हैं?

माना sin⁻¹(-1/2) = y, तो sin(y) = -1/2। हम जानते हैं कि sin(-π/6) = -1/2 और sin⁻¹ की मुख्य शाखा का परिसर [-π/2, π/2] है। चूँकि -π/6 इस परिसर में है, इसलिए मुख्य मान -π/6 है।

cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान ज्ञात करने के लिए क्या चरण हैं?

माना cos⁻¹(-1/2) = y, तो cos(y) = -1/2। हम जानते हैं कि cos(2π/3) = -1/2 और cos⁻¹ की मुख्य शाखा का परिसर [0, π] है। चूँकि 2π/3 इस परिसर में है, इसलिए मुख्य मान 2π/3 है।

क्या सभी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए मुख्य शाखा का परिसर समान होता है?

नहीं, प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के लिए मुख्य शाखा का परिसर भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, sin⁻¹ और tan⁻¹ के लिए यह (-π/2, π/2) के आसपास होता है, जबकि cos⁻¹ के लिए यह [0, π] होता है।

यह समाधान छात्रों की परीक्षा की तैयारी में कैसे मदद करते हैं?

ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए विस्तृत, चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने और मुख्य मानों की गणना करने की विधि का अभ्यास करने में मदद मिलती है।

Important links

Content reviewed by the NCERT Help team. Editorial Team and update policy

NCERT Solutions PDF PDF on NCERT Help. URL unchanged for search indexing.