कक्षा 12 गणित: आव्यूह NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

NCERT Solutions PDF Class 12 PDF

यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 3, 'आव्यूह' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें आव्यूह की कोटि ज्ञात करना, अवयवों की संख्या की गणना करना, दिए गए नियमों के अनुसार आव्यूह का निर्माण करना और आव्यूह समीकरणों को हल करके अज्ञात चर (x, y, z) के मान ज्ञात करना शामिल है। समाधानों को स्पष्ट चरणों में समझाया गया है, जिससे छात्रों को आव्यूह की मूल अवधारणाओं और अनुप्रयोगों को समझने में मदद मिलती है। यह सामग्री छात्रों को परीक्षा की तैयारी और अवधारणाओं की गहरी समझ के लिए एक उत्कृष्ट संसाधन प्रदान करती है।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 12
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	3. आव्यूह

Chapter summary

कक्षा 12 गणित के अध्याय 3 'आव्यूह' के लिए यह NCERT समाधान छात्रों को आव्यूह की बुनियादी समझ प्रदान करता है। इसमें आव्यूह की कोटि और अवयवों की संख्या निर्धारित करना, विभिन्न नियमों का उपयोग करके आव्यूह बनाना और समान आव्यूहों के आधार पर समीकरणों को हल करना सिखाया गया है। ये समाधान छात्रों को अभ्यास के माध्यम से इन महत्वपूर्ण अवधारणाओं में महारत हासिल करने में सहायता करते हैं।

Learning outcomes

आव्यूह की कोटि (order) को परिभाषित और ज्ञात करना।
किसी दिए गए आव्यूह में अवयवों की कुल संख्या की गणना करना।
दिए गए नियमों के अनुसार विशिष्ट कोटि के आव्यूह का निर्माण करना।
समान आव्यूहों के गुणों का उपयोग करके अज्ञात चरों के मान ज्ञात करना।

Topics covered

Paper topics

आव्यूह की परिभाषा
आव्यूह की कोटि
आव्यूह में अवयवों की संख्या
आव्यूह के अवयवों का निरूपण
दिए गए नियमों से आव्यूह का निर्माण
समान आव्यूह
आव्यूह समीकरणों का हल

Important topics

आव्यूह की कोटि ज्ञात करना
दिए गए नियमों के अनुसार आव्यूह का निर्माण
समान आव्यूहों का उपयोग करके चर ज्ञात करना
आव्यूह के अवयवों की संख्या की गणना

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Questions and Solutions

प्रश्न 1:

एक आव्यूह

A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 19 & -7 \ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17 \end{bmatrix}

के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

आव्यूह की कोटि
अवयवों की संख्या
अवयव $a_{13}, a_{21}, a_{33}, a_{24}, a_{23}$

Solution:

दिए गए आव्यूह $A$ में 3 पंक्तियाँ (rows) और 4 स्तंभ (columns) हैं।

आव्यूह की कोटि: आव्यूह की कोटि को पंक्तियों की संख्या × स्तंभों की संख्या के रूप में लिखा जाता है। इसलिए, आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 4$ है।
अवयवों की संख्या: आव्यूह में अवयवों की कुल संख्या उसकी कोटि के गुणनफल के बराबर होती है। अतः, अवयवों की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
विशिष्ट अवयव: आव्यूह में a_{ij} अवयव i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ में स्थित होता है।
- $a_{13}$ पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव है, जो $19$ है।
- $a_{21}$ दूसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का अवयव है, जो $35$ है।
- $a_{33}$ तीसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव है, जो $-5$ है।
- $a_{24}$ दूसरी पंक्ति और चौथे स्तंभ का अवयव है, जो $12$ है।
- $a_{23}$ दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव है, जो $\frac{5}{2}$ है।

प्रश्न 2:

यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?

Solution:

किसी आव्यूह में अवयवों की कुल संख्या उसकी पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या का गुणनफल होती है। हमें ऐसी सभी संभव जोड़ी $(m, n)$ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल दी गई संख्या के बराबर हो, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या और $n$ स्तंभों की संख्या है।

जब अवयवों की संख्या 24 है:

हमें $m \times n = 24$ के सभी संभव पूर्णांक हल ज्ञात करने हैं। ये निम्नलिखित हैं:

$1 \times 24$
$2 \times 12$
$3 \times 8$
$4 \times 6$
$6 \times 4$
$8 \times 3$
$12 \times 2$
$24 \times 1$

अतः, 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ $1 \times 24, 2 \times 12, 3 \times 8, 4 \times 6, 6 \times 4, 8 \times 3, 12 \times 2$ और $24 \times 1$ हैं।

जब अवयवों की संख्या 13 है:

चूंकि 13 एक अभाज्य संख्या है, इसके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और 13।

इसलिए, 13 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ केवल दो हैं:

$1 \times 13$
$13 \times 1$

प्रश्न 3:

यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?

Solution:

जब अवयवों की संख्या 18 है:

हमें $m \times n = 18$ के सभी संभव पूर्णांक हल ज्ञात करने हैं। ये निम्नलिखित हैं:

$1 \times 18$
$2 \times 9$
$3 \times 6$
$6 \times 3$
$9 \times 2$
$18 \times 1$

अतः, 18 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ $1 \times 18, 2 \times 9, 3 \times 6, 6 \times 3, 9 \times 2$ और $18 \times 1$ हैं।

जब अवयवों की संख्या 5 है:

चूंकि 5 एक अभाज्य संख्या है, इसके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और 5।

इसलिए, 5 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ केवल दो हैं:

$1 \times 5$
$5 \times 1$

प्रश्न 4:

एक

2 \times 2

आव्यूह

A = [a_{ij}]

की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं:

$a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$
$a_{ij} = \frac{i}{j}$
$a_{ij} = \frac{(i+2j)^2}{2}$

Solution:

हमें एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ की रचना करनी है, जहाँ $i$ पंक्ति संख्या और $j$ स्तंभ संख्या है।

जब $a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$ :
- $a_{11} = \frac{(1+1)^2}{2} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
- $a_{12} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
- $a_{21} = \frac{(2+1)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
- $a_{22} = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$
इसलिए, आव्यूह A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{9}{2} \ \frac{9}{2} & 8 \end{bmatrix} है।
जब $a_{ij} = \frac{i}{j}$ :
- $a_{11} = \frac{1}{1} = 1$
- $a_{12} = \frac{1}{2}$
- $a_{21} = \frac{2}{1} = 2$
- $a_{22} = \frac{2}{2} = 1$
इसलिए, आव्यूह A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \ 2 & 1 \end{bmatrix} है।
जब $a_{ij} = \frac{(i+2j)^2}{2}$ :
- $a_{11} = \frac{(1+2(1))^2}{2} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
- $a_{12} = \frac{(1+2(2))^2}{2} = \frac{(1+4)^2}{2} = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$
- $a_{21} = \frac{(2+2(1))^2}{2} = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$
- $a_{22} = \frac{(2+2(2))^2}{2} = \frac{(2+4)^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$
इसलिए, आव्यूह A = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \ 8 & 18 \end{bmatrix} है।

प्रश्न 5:

एक

3 \times 4

आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं:

$a_{ij} = \frac{1}{2}|-3i+j|$
$a_{ij} = 2i - j$

Solution:

हमें एक $3 \times 4$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ की रचना करनी है, जिसका अर्थ है कि इसमें 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ होंगे।

जब $a_{ij} = \frac{1}{2}|-3i+j|$ :
हम $i = 1, 2, 3$ और $j = 1, 2, 3, 4$ के लिए अवयवों की गणना करेंगे:
- पहली पंक्ति (i=1):
  - $a_{11} = \frac{1}{2}|-3(1)+1| = \frac{1}{2}|-2| = \frac{1}{2}(2) = 1$
  - $a_{12} = \frac{1}{2}|-3(1)+2| = \frac{1}{2}|-1| = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$
  - $a_{13} = \frac{1}{2}|-3(1)+3| = \frac{1}{2}|0| = 0$
  - $a_{14} = \frac{1}{2}|-3(1)+4| = \frac{1}{2}|1| = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$
- दूसरी पंक्ति (i=2):
  - $a_{21} = \frac{1}{2}|-3(2)+1| = \frac{1}{2}|-6+1| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{1}{2}(5) = \frac{5}{2}$
  - $a_{22} = \frac{1}{2}|-3(2)+2| = \frac{1}{2}|-6+2| = \frac{1}{2}|-4| = \frac{1}{2}(4) = 2$
  - $a_{23} = \frac{1}{2}|-3(2)+3| = \frac{1}{2}|-6+3| = \frac{1}{2}|-3| = \frac{1}{2}(3) = \frac{3}{2}$
  - $a_{24} = \frac{1}{2}|-3(2)+4| = \frac{1}{2}|-6+4| = \frac{1}{2}|-2| = \frac{1}{2}(2) = 1$
- तीसरी पंक्ति (i=3):
  - $a_{31} = \frac{1}{2}|-3(3)+1| = \frac{1}{2}|-9+1| = \frac{1}{2}|-8| = \frac{1}{2}(8) = 4$
  - $a_{32} = \frac{1}{2}|-3(3)+2| = \frac{1}{2}|-9+2| = \frac{1}{2}|-7| = \frac{1}{2}(7) = \frac{7}{2}$
  - $a_{33} = \frac{1}{2}|-3(3)+3| = \frac{1}{2}|-9+3| = \frac{1}{2}|-6| = \frac{1}{2}(6) = 3$
  - $a_{34} = \frac{1}{2}|-3(3)+4| = \frac{1}{2}|-9+4| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{1}{2}(5) = \frac{5}{2}$
इसलिए, आव्यूह A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix} है।
जब $a_{ij} = 2i - j$ :
हम $i = 1, 2, 3$ और $j = 1, 2, 3, 4$ के लिए अवयवों की गणना करेंगे:
- पहली पंक्ति (i=1):
  - $a_{11} = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$
  - $a_{12} = 2(1) - 2 = 2 - 2 = 0$
  - $a_{13} = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$
  - $a_{14} = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$
- दूसरी पंक्ति (i=2):
  - $a_{21} = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$
  - $a_{22} = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$
  - $a_{23} = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$
  - $a_{24} = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$
- तीसरी पंक्ति (i=3):
  - $a_{31} = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$
  - $a_{32} = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$
  - $a_{33} = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$
  - $a_{34} = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$
इसलिए, आव्यूह A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \ 3 & 2 & 1 & 0 \ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} है।

प्रश्न 6:

निम्नलिखित समीकरणों से

x, y

तथा

z

के मान ज्ञात कीजिए:

$\begin{bmatrix} 4 & 3 \ x & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & z \ 1 & 5 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x+y & 2 \ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \ 5 & 8 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x+y+z \ x+z \ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \ 5 \ 7 \end{bmatrix}$

Solution:

दो आव्यूह समान होते हैं यदि वे समान कोटि के हों और उनके संगत अवयव बराबर हों। हम इस गुण का उपयोग करके अज्ञात चरों के मान ज्ञात करेंगे।

समीकरण: \begin{bmatrix} 4 & 3 \ x & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & z \ 1 & 5 \end{bmatrix}
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
- $4 = y$
- $3 = z$
- $x = 1$
- $5 = 5$ (यह पुष्टि करता है कि आव्यूह समान हो सकते हैं)
अतः, $x = 1, y = 4,$ और $z = 3$ हैं।
समीकरण: \begin{bmatrix} x+y & 2 \ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \ 5 & 8 \end{bmatrix}
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
- $x+y = 6 \quad \cdots (1)$
- $2 = 2$
- $5+z = 5 \implies z = 5 - 5 \implies z = 0$
- $xy = 8 \quad \cdots (2)$
अब, समीकरण (1) और (2) को हल करते हैं। समीकरण (1) से, $y = 6 - x$ । इसे समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर:

$x(6-x) = 8$

$6x - x^2 = 8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड करके हल करने पर:

$(x-2)(x-4) = 0$

इसलिए, $x = 2$ या $x = 4$ ।

यदि $x = 2$ , तो समीकरण (1) से $2+y = 6 \implies y = 4$ ।

यदि $x = 4$ , तो समीकरण (1) से $4+y = 6 \implies y = 2$ ।

अतः, $z = 0$ और $(x, y)$ के मान $(2, 4)$ या $(4, 2)$ हैं।
समीकरण: \begin{bmatrix} x+y+z \ x+z \ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \ 5 \ 7 \end{bmatrix}
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
- $x+y+z = 9 \quad \cdots (1)$
- $x+z = 5 \quad \cdots (2)$
- $y+z = 7 \quad \cdots (3)$
समीकरण (1) में $(x+z)$ का मान समीकरण (2) से प्रतिस्थापित करने पर:

$(x+z) + y = 9$

$5 + y = 9$

$y = 9 - 5 \implies y = 4$

अब, समीकरण (3) में $y = 4$ रखने पर:

$4 + z = 7$

$z = 7 - 4 \implies z = 3$

अंत में, समीकरण (2) में $z = 3$ रखने पर:

$x + 3 = 5$

$x = 5 - 3 \implies x = 2$

अतः, $x = 2, y = 4,$ और $z = 3$ हैं।

Common mistakes

आव्यूह की कोटि को पंक्तियों और स्तंभों की संख्या के गुणनफल के रूप में गलत समझना।
आव्यूह निर्माण के नियमों को लागू करते समय सूचकांकों (i, j) को गलत तरीके से प्रतिस्थापित करना।
समान आव्यूहों की तुलना करते समय संगत अवयवों की सही पहचान न कर पाना।
निरपेक्ष मान (absolute value) या भिन्नों के साथ गणना में त्रुटियाँ करना।

Revision tips

प्रत्येक प्रश्न के लिए आव्यूह की कोटि और अवयवों की संख्या की पहचान करने का अभ्यास करें।
दिए गए नियमों के अनुसार आव्यूह बनाने वाले प्रश्नों को हल करते समय प्रत्येक अवयव की गणना को ध्यान से करें।
समान आव्यूहों से संबंधित प्रश्नों में, संगत अवयवों की सही पहचान करने पर ध्यान केंद्रित करें।
सूत्रों में मान रखते समय और गणना करते समय विशेष रूप से भिन्नों और निरपेक्ष मानों के साथ सावधानी बरतें।

Practice MCQs

Q1. एक आव्यूह जिसमें 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ हैं, उसकी कोटि क्या है?

Q2. यदि किसी आव्यूह में 12 अवयव हैं, तो इसकी एक संभव कोटि क्या हो सकती है?

Q3. एक आव्यूह A = [aij] के लिए, जहाँ aij = i + j है, और कोटि 2 × 2 है, तो a12 का मान क्या होगा?

Q4. यदि <math>\begin{bmatrix} 4 & 3 \ x & 5 \end{bmatrix} = egin{bmatrix} y & z \ 1 & 5 \end{bmatrix}</math>, तो x का मान क्या है?

Q5. एक आव्यूह के निर्माण के लिए सूत्र <math>a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}</math> का उपयोग किया गया है। <math>a_{22}</math> का मान क्या होगा?

Frequently asked questions

कक्षा 12 गणित में 'आव्यूह' अध्याय का क्या महत्व है?

आव्यूह अध्याय रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने और डेटा को व्यवस्थित तरीके से प्रस्तुत करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। यह आगे की गणितीय अवधारणाओं जैसे सारणिक, सदिश और रैखिक बीजगणित के लिए आधार तैयार करता है।

आव्यूह की कोटि (order) का क्या अर्थ है?

आव्यूह की कोटि उसकी पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या को दर्शाती है, जिसे 'पंक्तियों की संख्या × स्तंभों की संख्या' के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, एक 3 × 4 आव्यूह में 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ होते हैं।

दिए गए नियमों से आव्यूह का निर्माण कैसे करें?

आव्यूह का निर्माण करने के लिए, आपको आव्यूह की कोटि और उसके अवयवों को निर्धारित करने वाले नियम (जैसे <math>a_{ij} = i+j</math>) को समझना होगा। फिर, प्रत्येक अवयव <math>a_{ij}</math> के लिए <math>i</math> (पंक्ति संख्या) और <math>j</math> (स्तंभ संख्या) के मानों को नियम में रखकर गणना करें।

समान आव्यूहों का उपयोग करके अज्ञात चर कैसे ज्ञात करें?

यदि दो आव्यूह समान हैं, तो उनके संगत अवयव बराबर होते हैं। आप अज्ञात चर वाले अवयवों की तुलना दूसरे आव्यूह के संगत अवयवों से करके समीकरण बना सकते हैं और उन्हें हल कर सकते हैं।

क्या ये समाधान कक्षा 12 के बोर्ड परीक्षा के लिए पर्याप्त हैं?

हाँ, ये समाधान NCERT पाठ्यक्रम पर आधारित हैं और परीक्षा में पूछे जाने वाले मुख्य प्रकार के प्रश्नों को कवर करते हैं। इनका अच्छी तरह से अध्ययन करने से आपको परीक्षा की तैयारी में मदद मिलेगी।

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