कक्षा 12 गणित NCERT समाधान: अध्याय 1 - संबंध एवं फलन

Solution:

(i) दिया गया समुच्चय A = \{1, 2, 3, ..., 13, 14\} और संबंध R = \{(x, y): 3x - y = 0\} है।

संबंध को y = 3x के रूप में लिखा जा सकता है।

इस समुच्चय के लिए संबंध R के अवयव हैं: R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}।

स्वतुल्य: संबंध स्वतुल्य नहीं है क्योंकि समुच्चय A के सभी अवयवों के लिए (x, x) \in R नहीं है। उदाहरण के लिए, (1, 1)

otin R क्योंकि 3(1) - 1 = 2

eq 0।

सममित: संबंध सममित नहीं है क्योंकि (1, 3) \in R है, लेकिन (3, 1)

otin R है, क्योंकि 3(3) - 1 = 8

eq 0।

संक्रामक: संबंध संक्रामक नहीं है क्योंकि (1, 3) \in R और (3, 9) \in R है, लेकिन (1, 9)

otin R है, क्योंकि 3(1) - 9 = -6

eq 0।

अतः, R न तो स्वतुल्य है, न सममित है, और न ही संक्रामक है।

(ii) दिया गया समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N है और संबंध R = \{(x, y): y = x + 5 \text{ तथा } x < 4\} है।

यहाँ, x के मान 1, 2, 3 हो सकते हैं।

यदि x = 1, तो y = 1 + 5 = 6। युग्म (1, 6)।

यदि x = 2, तो y = 2 + 5 = 7। युग्म (2, 7)।

यदि x = 3, तो y = 3 + 5 = 8। युग्म (3, 8)।

अतः, R = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\}।

स्वतुल्य: संबंध स्वतुल्य नहीं है क्योंकि (1, 1)

otin R (और इसी तरह अन्य अवयवों के लिए भी)।

सममित: संबंध सममित नहीं है क्योंकि (1, 6) \in R है, लेकिन (6, 1)

otin R है (क्योंकि x=6, जो x < 4 शर्त को पूरा नहीं करता है)।

संक्रामक: संबंध संक्रामक नहीं है क्योंकि (1, 6) \in R और (6, y) \in R के लिए कोई युग्म नहीं है (क्योंकि x < 4)। यदि हम (x, y) \in R और (y, z) \in R लेते हैं, तो y = x + 5 और z = y + 5 = (x + 5) + 5 = x + 10। चूँकि x < 4, तो y = x + 5 < 9। यदि y का मान 4 से कम है, तो (y, z) \in R संभव नहीं है। यदि y का मान 4 से अधिक है, तो (x, y) \in R संभव नहीं है। इसलिए, संक्रामकता की शर्त पूरी नहीं होती है।

अतः, R न तो स्वतुल्य है, न सममित है, और न ही संक्रामक है।

(iii) दिया गया समुच्चय A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} और संबंध R = \{(x, y): y भाज्य है x से \} है।

स्वतुल्य: संबंध स्वतुल्य है क्योंकि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव स्वयं से भाज्य होता है। उदाहरण के लिए, (1, 1) \in R, (2, 2) \in R, ..., (6, 6) \in R।

सममित: संबंध सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, (2, 4) \in R क्योंकि 4, 2 से भाज्य है। लेकिन (4, 2)

otin R क्योंकि 2, 4 से भाज्य नहीं है।

संक्रामक: संबंध संक्रामक है। माना (x, y) \in R और (y, z) \in R। इसका अर्थ है कि y, x से भाज्य है और z, y से भाज्य है। यदि y, x का गुणज है और z, y का गुणज है, तो z, x का भी गुणज होगा। अर्थात्, z, x से भाज्य है। इसलिए, (x, z) \in R।

अतः, R स्वतुल्य और संक्रामक है, लेकिन सममित नहीं है।

(iv) दिया गया समुच्चय समस्त पूर्णांकों का समुच्चय Z है और संबंध R = \{(x, y): x - y \text{ एक पूर्णांक है}\} है।

स्वतुल्य: संबंध स्वतुल्य है। किसी भी पूर्णांक x \in Z के लिए, x - x = 0 होता है, जो एक पूर्णांक है। अतः, (x, x) \in R।

सममित: संबंध सममित है। माना (x, y) \in R, जहाँ x, y \in Z। इसका अर्थ है कि x - y एक पूर्णांक है। तब y - x = -(x - y) भी एक पूर्णांक होगा। अतः, (y, x) \in R।

संक्रामक: संबंध संक्रामक है। माना (x, y) \in R और (y, z) \in R, जहाँ x, y, z \in Z। इसका अर्थ है कि x - y एक पूर्णांक है और y - z एक पूर्णांक है। इन दोनों पूर्णांकों का योग (x - y) + (y - z) = x - z भी एक पूर्णांक होगा। अतः, (x, z) \in R।

अतः, R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है। (v) (a) संबंध R = \{(x, y): x \text{ तथा } y \text{ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}\}

स्वतुल्य: यह स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति x उसी स्थान पर कार्य करता है जहाँ वह स्वयं कार्य करता है, अर्थात (x, x) \in R।

सममित: यह सममित है क्योंकि यदि व्यक्ति x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, तो y और x भी एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, अर्थात यदि (x, y) \in R तो (y, x) \in R।

संक्रामक: यह संक्रामक है क्योंकि यदि x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, और y और z एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, तो x और z भी एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, अर्थात यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R तो (x, z) \in R।

अतः, R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(b) संबंध R = \{(x, y): x \text{ तथा } y \text{ एक ही मोहल्ले में रहते हैं}\}

स्वतुल्य: यह स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति x उसी मोहल्ले में रहता है जहाँ वह स्वयं रहता है, अर्थात (x, x) \in R।

सममित: यह सममित है क्योंकि यदि व्यक्ति x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं, तो y और x भी एक ही मोहल्ले में रहते हैं, अर्थात यदि (x, y) \in R तो (y, x) \in R।

संक्रामक: यह संक्रामक है क्योंकि यदि x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं, और y और z एक ही मोहल्ले में रहते हैं, तो x और z भी एक ही मोहल्ले में रहते हैं, अर्थात यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R तो (x, z) \in R।

अतः, R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(c) संबंध R = \{(x, y): x, y \text{ से ठीक } - \text{ ठीक } 7 \text{ सेमी लंबा है}\}

स्वतुल्य: यह स्वतुल्य नहीं है क्योंकि कोई भी व्यक्ति स्वयं से ठीक 7 सेमी लंबा नहीं हो सकता है, अर्थात (x, x)

otin R।

सममित: यह सममित नहीं है। यदि x, y से 7 सेमी लंबा है ((x, y) \in R), तो y, x से 7 सेमी छोटा होगा, न कि लंबा। अतः (y, x)

otin R।

संक्रामक: यह संक्रामक नहीं है। यदि x, y से 7 सेमी लंबा है ((x, y) \in R) और y, z से 7 सेमी लंबा है ((y, z) \in R), तो x, z से 7 + 7 = 14 सेमी लंबा होगा। अतः (x, z)

otin R।

अतः, R न तो स्वतुल्य है, न सममित है, और न ही संक्रामक है।

(d) संबंध R = \{(x, y): x, y \text{ के समान ऊँचाई का है}\}

स्वतुल्य: यह स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति x की ऊँचाई स्वयं x के समान होती है, अर्थात (x, x) \in R।

सममित: यह सममित है क्योंकि यदि x की ऊँचाई y के समान है, तो y की ऊँचाई भी x के समान होगी, अर्थात यदि (x, y) \in R तो (y, x) \in R।

संक्रामक: यह संक्रामक है क्योंकि यदि x की ऊँचाई y के समान है, और y की ऊँचाई z के समान है, तो x की ऊँचाई भी z के समान होगी, अर्थात यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R तो (x, z) \in R।

अतः, R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(e) संबंध R = \{(x, y): x, y \text{ का पति है}\}

स्वतुल्य: यह स्वतुल्य नहीं है क्योंकि कोई भी व्यक्ति स्वयं का पति नहीं हो सकता है, अर्थात (x, x)

otin R।

सममित: यह सममित नहीं है। यदि x, y का पति है ((x, y) \in R), तो y, x की पत्नी होगी, पति नहीं। अतः (y, x)

otin R।

संक्रामक: यह संक्रामक नहीं है। यदि x, y का पति है ((x, y) \in R) और y, z का पति है ((y, z) \in R), तो यह संभव नहीं है क्योंकि y एक पुरुष होना चाहिए (क्योंकि वह x की पत्नी है) और y एक पुरुष होना चाहिए (क्योंकि वह z का पति है)। यदि y पुरुष है, तो x उसकी पत्नी होगी, पति नहीं। यह स्थिति विरोधाभासी है। यदि हम मान लें कि x पुरुष है और y महिला है, और y पुरुष है और z महिला है, तो यह संभव नहीं है कि y एक ही समय में पुरुष और महिला दोनों हो। इसलिए, संक्रामकता की शर्त पूरी नहीं होती है।

अतः, R न तो स्वतुल्य है, न सममित है, और न ही संक्रामक है।