कक्षा 12 गणित के लिए NCERT समाधान: अध्याय 13 - प्रायिकता

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यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 13 'प्रायिकता' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रायिकता की मूल परिभाषाओं, जैसे कि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता, पूरक घटनाओं की प्रायिकता, और संघ और सर्वनिष्ठ की प्रायिकता के सूत्रों को शामिल किया गया है। समाधान सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जिसमें P(E/F) और P(F/E) जैसे व्यंजकों को ज्ञात करना शामिल है। यह अध्याय यादृच्छिक चर के माध्य और प्रसरण की अवधारणाओं और द्विपद बंटन के अनुप्रयोगों को भी छूता है। ये समाधान छात्रों को इन महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझने और परीक्षा के लिए प्रभावी ढंग से तैयारी करने में मदद करने के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं।

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BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter13. प्रायिकता

Chapter summary

कक्षा 12 गणित के अध्याय 13 'प्रायिकता' के लिए NCERT समाधान प्रायिकता के मौलिक सिद्धांतों को कवर करते हैं। इसमें घटनाओं की प्रायिकता, पूरक घटनाओं, संघ और सर्वनिष्ठ की प्रायिकता, सप्रतिबंध प्रायिकता और द्विपद बंटन के सूत्रों का सारांश दिया गया है। प्रश्नावली के समाधान छात्रों को इन सूत्रों को लागू करने और विभिन्न परिदृश्यों में प्रायिकताओं की गणना करने का अभ्यास प्रदान करते हैं।

Learning outcomes

  • प्रायिकता की मूल परिभाषाओं और सूत्रों को समझना।
  • सप्रतिबंध प्रायिकता P(E/F) और P(F/E) की गणना करना।
  • संघ और सर्वनिष्ठ की प्रायिकता के सूत्रों को लागू करना।
  • यादृच्छिक चर के माध्य और प्रसरण की गणना करना।
  • द्विपद बंटन से संबंधित समस्याओं को हल करना।

Topics covered

Paper topics

  • प्रायिकता की परिभाषा
  • अनुकूल और कुल परिस्थितियाँ
  • पूरक घटनाएँ
  • संघ और सर्वनिष्ठ की प्रायिकता
  • सप्रतिबंध प्रायिकता
  • गुणन नियम
  • यादृच्छिक चर
  • माध्य
  • प्रसरण
  • द्विपद बंटन

Important topics

  • सप्रतिबंध प्रायिकता
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  • P(E/F) = P(E ∩ F) / P(F)
  • द्विपद बंटन

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E)=0.6, P(F)=0.3 और P(E\cap F)=0.2, तो P(E/F) और P(F/E) ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया है:

P(E) = 0.6

P(F) = 0.3

P(E \cap F) = 0.2

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करके:

P(E/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}

मान रखने पर:

P(E/F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}

इसी प्रकार,

P(F/E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}

मान रखने पर:

P(F/E) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}

अतः, P(E/F) = \frac{2}{3} और P(F/E) = \frac{1}{3}।

प्रश्न 2

P(A/B) ज्ञात कीजिए कि यदि P(B) = 0.5 और P(A \cap B) = 0.32.
Solution:

दिया गया है:

P(B) = 0.5

P(A \cap B) = 0.32

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करके:

P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

मान रखने पर:

P(A/B) = \frac{0.32}{0.5}

इसे सरल करने पर:

P(A/B) = \frac{32}{50} = \frac{16}{25}

अतः, P(A/B) = \frac{16}{25} या 0.64।

प्रश्न 3

यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B/A) = 0.4 ज्ञात कीजिए (i) P(A \cap B) (ii) P(A/B) (iii) P(A \cup B)
Solution:

दिया गया है:

P(A) = 0.8

P(B) = 0.5

P(B/A) = 0.4

(i) P(A \cap B) ज्ञात करना:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} का उपयोग करके,

P(A \cap B) = P(A) \times P(B/A)

P(A \cap B) = 0.8 \times 0.4 = 0.32

(ii) P(A/B) ज्ञात करना:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} का उपयोग करके,

P(A/B) = \frac{0.32}{0.5} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25}

(iii) P(A \cup B) ज्ञात करना:

संघ की प्रायिकता के सूत्र P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) का उपयोग करके,

P(A \cup B) = 0.8 + 0.5 - 0.32

P(A \cup B) = 1.30 - 0.32 = 0.98

अतः, P(A \cap B) = 0.32, P(A/B) = \frac{16}{25} या 0.64, और P(A \cup B) = 0.98।

प्रश्न 4

P(A \cup B) ज्ञात कीजिए यदि 2P(A) = P(B) = \frac{5}{13} और P(A/B) = \frac{2}{5}.
Solution:

दिया गया है:

2P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{26}

P(B) = \frac{5}{13}

P(A/B) = \frac{2}{5}

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} का उपयोग करके हम P(A \cap B) ज्ञात कर सकते हैं:

P(A \cap B) = P(A/B) \times P(B)

P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}

अब, संघ की प्रायिकता के सूत्र P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) का उपयोग करके:

P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 26 है:

P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26}

P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}

अतः, P(A \cup B) = \frac{11}{26}।

Common mistakes

  • सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र में अंश और हर को गलत पहचानना।
  • संघ और सर्वनिष्ठ की प्रायिकता के सूत्र में P(A) + P(B) - P(A ∩ B) का सही उपयोग न करना।
  • गणनाओं में दशमलव या भिन्न को गलत तरीके से संभालना।
  • सूत्रों को याद रखना लेकिन उन्हें सही संदर्भ में लागू करने में कठिनाई होना।

Revision tips

  • सभी प्रमुख सूत्रों को एक अलग शीट पर लिखें और नियमित रूप से उनकी समीक्षा करें।
  • प्रत्येक प्रकार की समस्या के लिए हल किए गए उदाहरणों का अभ्यास करें।
  • सप्रतिबंध प्रायिकता और संघ/सर्वनिष्ठ की प्रायिकता के बीच अंतर को समझें।
  • अपनी गणनाओं की सटीकता सुनिश्चित करने के लिए अभ्यास प्रश्न हल करें।

Practice MCQs

Q1. यदि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2 है, तो P(E/F) का मान क्या है?

Q2. यदि P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32 है, तो P(A/B) का मान क्या है?

Q3. यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B/A) = 0.4 है, तो P(A ∩ B) का मान क्या है?

Q4. यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32 है, तो P(A ∪ B) का मान क्या है?

Frequently asked questions

प्रायिकता में सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

सप्रतिबंध प्रायिकता, P(E/F), एक घटना E के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि एक अन्य घटना F पहले ही घटित हो चुकी है। इसका सूत्र P(E/F) = P(E ∩ F) / P(F) है।

P(A ∪ B) और P(A ∩ B) के बीच क्या संबंध है?

इनके बीच संबंध P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) सूत्र द्वारा दिया गया है, जो संघ और सर्वनिष्ठ की प्रायिकता को जोड़ता है।

यह समाधान किन कक्षाओं के लिए उपयोगी है?

ये समाधान विशेष रूप से CBSE कक्षा 12 के छात्रों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो गणित के अध्याय 'प्रायिकता' का अध्ययन कर रहे हैं।

क्या इन समाधानों में द्विपद बंटन शामिल है?

हाँ, इन समाधानों में द्विपद बंटन से संबंधित सूत्र और अवधारणाएँ भी शामिल हैं, जो सफलताओं की प्रायिकता की गणना के लिए उपयोगी हैं।

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