कक्षा 12 भौतिकी NCERT समाधान: स्थिर वैधुत विभव तथा धारिता

माना दो आवेश \(q_1 = 5 \times 10^{-8}\) C और \(q_2 = -3 \times 10^{-8}\) C हैं, जो एक दूसरे से \(r = 16\) cm = 0.16 m की दूरी पर स्थित हैं। माना बिंदु A पर \(q_1\) और बिंदु B पर \(q_2\) स्थित हैं।

माना P एक ऐसा बिंदु है जहाँ कुल विद्युत विभव शून्य है। हम दो स्थितियाँ मानते हैं:

1. बिंदु P दोनों आवेशों के बीच स्थित है।
2. बिंदु P दोनों आवेशों के बाहर स्थित है।

स्थिति 1: बिंदु P दोनों आवेशों के बीच स्थित है।

माना \(q_1\) से बिंदु P की दूरी \(x\) है। तब \(q_2\) से P की दूरी \((0.16 - x)\) मीटर होगी।

बिंदु P पर कुल विभव \(V\) शून्य होना चाहिए:

V = V_1 + V_2 = 0

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1}{x} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_2}{(0.16 - x)} = 0

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{5 \times 10^{-8}}{x} + \frac{-3 \times 10^{-8}}{(0.16 - x)} \right] = 0

चूँकि \( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \neq 0 \), इसलिए:

\frac{5 \times 10^{-8}}{x} = \frac{3 \times 10^{-8}}{(0.16 - x)}

\frac{5}{x} = \frac{3}{(0.16 - x)}

5(0.16 - x) = 3x

0.8 - 5x = 3x

8x = 0.8

x = \frac{0.8}{8} = 0.1 \,\mathrm{m} = 10 \,\mathrm{cm}

यह बिंदु दोनों आवेशों के बीच स्थित है (0.1 m < 0.16 m)।

स्थिति 2: बिंदु P दोनों आवेशों के बाहर स्थित है।

माना बिंदु P, \(q_1\) से \(x\) दूरी पर स्थित है, और यह \(q_2\) से दूर है। तब \(q_2\) से P की दूरी \((x - 0.16)\) मीटर होगी।

V = V_1 + V_2 = 0

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1}{x} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_2}{(x - 0.16)} = 0

\frac{5 \times 10^{-8}}{x} = \frac{-(-3 \times 10^{-8})}{(x - 0.16)}

\frac{5}{x} = \frac{3}{(x - 0.16)}

5(x - 0.16) = 3x

5x - 0.8 = 3x

2x = 0.8

x = 0.4 \,\mathrm{m} = 40 \,\mathrm{cm}

यह बिंदु \(q_1\) से 40 cm की दूरी पर है, जो \(q_2\) से बाहर है।

उत्तर: वैद्युत विभव \(q_1\) (धनात्मक आवेश) से 10 cm की दूरी पर (दोनों आवेशों के बीच) या 40 cm की दूरी पर (ऋणात्मक आवेश की ओर, \(q_1\) से बाहर) शून्य होता है।

माना ABCDEF एक समषट्भुज है जिसकी भुजा की लंबाई \(a = 10\) cm = 0.10 m है। समषट्भुज के प्रत्येक शीर्ष पर आवेश \(q = 5\mu C = 5 \times 10^{-6}\) C है।

समषट्भुज की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता यह है कि इसके केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी भुजा की लंबाई के बराबर होती है। अतः, केंद्र O से प्रत्येक शीर्ष (A, B, C, D, E, F) की दूरी \(r = a = 0.10\) m है।

किसी बिंदु पर कुल विद्युत विभव, उस बिंदु पर सभी आवेशों के कारण विभव के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

केंद्र O पर कुल विभव V है:

$$V\; =\; V\_A\; +\; V\_B\; +\; V\_C\; +\; V\_D\; +\; V\_E\; +\; V\_F$$

जहाँ \(V_i\) प्रत्येक शीर्ष पर स्थित आवेश के कारण केंद्र O पर विभव है।

चूँकि सभी आवेश समान हैं (\(q\)) और केंद्र से सभी की दूरी समान है (\(r\)), तो प्रत्येक शीर्ष के कारण विभव समान होगा:

$$V\_i\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\}\{r\}$$

इसलिए, कुल विभव होगा:

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\}\{r\}\; \backslash right)$$

मान रखने पर:

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash frac\{(9\; \backslash times\; 10^9\; \backslash text\{\; Nm\}^2/\backslash text\{C\}^2)\; \backslash times\; (5\; \backslash times\; 10^\{-6\}\; \backslash text\{\; C\})\}\{0.10\; \backslash text\{\; m\}\}$$

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash frac\{45\; \backslash times\; 10^3\}\{0.10\}\; \backslash text\{\; V\}$$

$$V\; =\; 6\; \backslash times\; 45\; \backslash times\; 10^4\; \backslash text\{\; V\}$$

$$V\; =\; 270\; \backslash times\; 10^4\; \backslash text\{\; V\}$$

$$V\; =\; 2.7\; \backslash times\; 10^6\; \backslash text\{\; V\}$$

उत्तर: षट्भुज के केंद्र पर विभव \(2.7 \times 10^6\) V है।

(a) सम विभव पृष्ठ की पहचान:

हमारे पास दो समान परिमाण के लेकिन विपरीत चिन्ह के आवेश हैं, \(q_1 = +2\mu C\) और \(q_2 = -2\mu C\), जो 6 cm की दूरी पर स्थित हैं।

सम विभव पृष्ठ वह पृष्ठ होता है जिसके प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।

माना बिंदु A पर \(q_1\) और बिंदु B पर \(q_2\) स्थित है। माना P कोई बिंदु है जहाँ विभव शून्य है। तब:

$$V\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\_1\}\{r\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\_2\}\{r\_2\}\; =\; 0$$

$$\backslash frac\{q\_1\}\{r\_1\}\; =\; -\backslash frac\{q\_2\}\{r\_2\}$$

चूँकि \(q_1 = -q_2\), इसलिए:

$$\backslash frac\{q\_1\}\{r\_1\}\; =\; \backslash frac\{q\_1\}\{r\_2\}$$

इसका अर्थ है कि \(r_1 = r_2\)।

यह स्थिति दर्शाती है कि बिंदु P, आवेश \(q_1\) और \(q_2\) से समान दूरी पर होना चाहिए। ऐसे सभी बिंदुओं का बिंदु पथ, जो दोनों आवेशों से समान दूरी पर हो, दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत एक समतल होता है, जो दोनों आवेशों के मध्य बिंदु से गुजरता है।

अतः, निकाय का सम विभव पृष्ठ वह समतल है जो दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत है और उनके मध्य बिंदु से होकर गुजरता है। इस पृष्ठ पर विभव शून्य है।

(b) विद्युत क्षेत्र की दिशा:

विद्युत क्षेत्र रेखाएँ हमेशा धनावेश से निकलती हैं और ऋणावेश में प्रवेश करती हैं। इस निकाय में, विद्युत क्षेत्र रेखाएँ \(+2\mu C\) आवेश से निकलेंगी और \(-2\mu C\) आवेश में प्रवेश करेंगी।

सम विभव पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा, उस पृष्ठ के लंबवत होती है। चूँकि विद्युत क्षेत्र धनावेश से ऋणावेश की ओर निर्देशित होता है, इसलिए सम विभव पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा \(+2\mu C\) आवेश से \(-2\mu C\) आवेश की ओर होगी, जो सम विभव पृष्ठ के लंबवत है।

उत्तर: (a) सम विभव पृष्ठ वह समतल है जो दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत है और उनके मध्य बिंदु से गुजरता है। (b) विद्युत क्षेत्र की दिशा \(+2\mu C\) आवेश से \(-2\mu C\) आवेश की ओर है, जो सम विभव पृष्ठ के लंबवत है।

दिया गया है:

• गोलीय चालक पर आवेश, \(q = 1.6 \times 10^{-7}\) C
• गोलीय चालक की त्रिज्या, \(R = 12\) cm = 0.12 m

(a) गोले के अन्दर विद्युत क्षेत्र:

किसी भी चालक के अंदर, विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है, भले ही चालक पर कितना भी आवेश क्यों न हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि चालक के अंदर मुक्त इलेक्ट्रॉन इस प्रकार पुनर्वितरित हो जाते हैं कि वे एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो बाहरी विद्युत क्षेत्र को रद्द कर देता है।

$$E\_\{\backslash text\{अंदर\}\}\; =\; 0$$

(b) गोले के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र:

गोले के ठीक बाहर (अर्थात, पृष्ठ पर) विद्युत क्षेत्र की गणना गॉस के नियम का उपयोग करके की जा सकती है। गोले के बाहर \(R\) त्रिज्या पर एक गॉसियन पृष्ठ की कल्पना करें। इस पृष्ठ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता इस प्रकार दी जाती है:

$$E\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\}\{R^2\}$$

जहाँ \( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \)।

$$E\; =\; (9\; \backslash times\; 10^9\; \backslash text\{\; Nm\}^2/\backslash text\{C\}^2)\; \backslash times\; \backslash frac\{1.6\; \backslash times\; 10^\{-7\}\; \backslash text\{\; C\}\}\{(0.12\; \backslash text\{\; m\})^2\}$$

$$E\; =\; (9\; \backslash times\; 10^9)\; \backslash times\; \backslash frac\{1.6\; \backslash times\; 10^\{-7\}\}\{0.0144\}\; \backslash text\{\; N/C\}$$

$$E\; =\; \backslash frac\{14.4\; \backslash times\; 10^2\}\{0.0144\}\; \backslash text\{\; N/C\}$$

$$E\; =\; 1000\; \backslash times\; 10^2\; \backslash text\{\; N/C\}\; =\; 1\; \backslash times\; 10^5\; \backslash text\{\; N/C\}$$

(c) गोले के केंद्र से 18 cm पर अवस्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र:

केंद्र से 18 cm की दूरी पर (अर्थात, \(r = 18\) cm = 0.18 m), यह बिंदु गोले के बाहर है। इस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की गणना भी उसी सूत्र से की जाएगी जैसे गोले के ठीक बाहर:

$$E\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash frac\{q\}\{r^2\}$$

$$E\; =\; (9\; \backslash times\; 10^9\; \backslash text\{\; Nm\}^2/\backslash text\{C\}^2)\; \backslash times\; \backslash frac\{1.6\; \backslash times\; 10^\{-7\}\; \backslash text\{\; C\}\}\{(0.18\; \backslash text\{\; m\})^2\}$$

$$E\; =\; (9\; \backslash times\; 10^9)\; \backslash times\; \backslash frac\{1.6\; \backslash times\; 10^\{-7\}\}\{0.0324\}\; \backslash text\{\; N/C\}$$

$$E\; =\; \backslash frac\{14.4\; \backslash times\; 10^2\}\{0.0324\}\; \backslash text\{\; N/C\}$$

$$E\; \backslash approx\; 4.44\; \backslash times\; 10^4\; \backslash text\{\; N/C\}$$

उत्तर:

(a) गोले के अन्दर विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(b) गोले के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र \(1 \times 10^5\) N/C है।

(c) गोले के केंद्र से 18 cm पर विद्युत क्षेत्र लगभग \(4.44 \times 10^4\) N/C है।