कक्षा 11 भौतिकी: गुरुत्वाकर्षण NCERT समाधान

(a) नहीं, किसी पिण्ड का परिरक्षण, निकट में रखे पदार्थ के गुरुत्वीय प्रभाव से, उसे खोखले गोले में रखकर नहीं किया जा सकता है। इसका मुख्य कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण बल माध्यम की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है, जबकि विद्युत बल माध्यम पर निर्भर करता है। विद्युत शील्डिंग (shielding) के लिए खोखले चालक का उपयोग किया जाता है क्योंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण के मामले में ऐसा कोई प्रभाव नहीं होता है।

(b) हाँ, यदि पृथ्वी के परितः परिक्रमण करने वाला अन्तरिक्ष स्टेशन आकार में बहुत बड़ा है, तो अन्तरिक्ष यात्री गुरुत्व बल के संसूचन की आशा कर सकता है। यद्यपि पूरा स्टेशन मुक्त पतन में है, स्टेशन के विभिन्न भागों पर गुरुत्वाकर्षण बल में सूक्ष्म अंतर हो सकता है। एक बड़े स्टेशन के लिए, इन अंतरों को मापा जा सकता है, जिससे गुरुत्वीय त्वरण में भिन्नता का पता चल सकता है, जो गुरुत्व बल के संसूचन के समान है। छोटे अंतरिक्ष यान में, ये अंतर इतने कम होते हैं कि उनका पता लगाना मुश्किल होता है।

(c) ज्वारीय प्रमाव (tidal effect) गुरुत्वाकर्षण के व्युत्क्रम वर्ग नियम ($1/r^2$) द्वारा पूरी तरह से नहीं समझाया जाता है, बल्कि यह दूरी के तृतीय घात के व्युत्क्रमानुपाती ($1/r^3$) होता है। चंद्रमा और पृथ्वी के बीच की दूरी (लगभग $3.84 \times 10^8$ मीटर) पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी (लगभग $1.5 \times 10^{11}$ मीटर) की तुलना में बहुत कम है। दूरी के तृतीय घात के व्युत्क्रमानुपाती होने के कारण, कम दूरी के कारण चंद्रमा का ज्वारीय प्रभाव सूर्य के ज्वारीय प्रभाव से अधिक होता है, भले ही सूर्य का कुल गुरुत्वाकर्षण बल अधिक हो।

(a) बढ़ती तुंगता (ऊंचाई) के साथ गुरुत्वीय त्वरण घटता है। पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है:

$$g\text{'}\; =\; \backslash frac\{g\}\{\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{h\}\{R\_0\}\backslash right)^2\}$$

जहाँ $R_0$ पृथ्वी की त्रिज्या है। इस सूत्र से स्पष्ट है कि $h$ बढ़ने पर $g'$ का मान घटता जाता है।

(b) बढ़ती गहराई के साथ (पृथ्वी को एकसमान घनत्व का गोला मानकर) गुरुत्वीय त्वरण घटता है। पृथ्वी तल से $h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है:

$$g\text{'}\; =\; g\backslash left(1\; -\; \backslash frac\{h\}\{R\_0\}\backslash right)$$

जहाँ $R_0$ पृथ्वी की त्रिज्या है। इस सूत्र से स्पष्ट है कि $h$ बढ़ने पर $g'$ का मान घटता जाता है।

(c) गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, लेकिन उस पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता जिस पर यह कार्य कर रहा है। इसलिए, गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, पिण्ड के द्रव्यमान पर नहीं।

(d) पृथ्वी के केन्द्र से $r_2$ तथा $r_1$ दूरियों के दो बिन्दुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा-अन्तर के लिए सूत्र $-GMm\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)$ (यहाँ स्रोत में $r_0$ का प्रयोग हुआ है, जो संभवतः $r_1$ और $r_2$ का प्रतिनिधित्व करता है) सूत्र $mg\left(r_2-r_1\right)$ से अधिक यथार्थ है। सूत्र $mg\left(r_2-r_1\right)$ केवल पृथ्वी की सतह के पास की छोटी दूरियों के लिए एक सन्निकटन (approximation) है, जहाँ $g$ को स्थिर माना जा सकता है। दूर के बिन्दुओं के लिए, जहाँ $g$ बदलता है, स्थितिज ऊर्जा-अंतर के लिए सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम से प्राप्त सूत्र अधिक यथार्थ होता है।

माना सूर्य का द्रव्यमान $M_s$ है, ग्रह का द्रव्यमान $M$ है, और ग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r$ है। ग्रह की कक्षीय गति के लिए आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल सूर्य तथा ग्रह के बीच गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।

अभिकेन्द्रीय बल = $\backslash frac\{M\; v^2\}\{r\}$

गुरुत्वाकर्षण बल = $\backslash frac\{G\; M\_s\; M\}\{r^2\}$

इन दोनों बलों को बराबर रखने पर:

$$\backslash frac\{M\; v^2\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{G\; M\_s\; M\}\{r^2\}$$

इससे हमें प्राप्त होता है:

$$\backslash nv^2\; =\; \backslash frac\{G\; M\_s\}\{r\}$$

यह समीकरण दर्शाता है कि कक्षीय वेग $v$ कक्षीय त्रिज्या $r$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।

प्रश्न के अनुसार, एक ग्रह सूर्य के परितः पृथ्वी की तुलना में दोगुनी चाल से गति करता है। मान लीजिए पृथ्वी की चाल $v_e$ और कक्षीय त्रिज्या $r_e$ है, और ग्रह की चाल $v$ और कक्षीय त्रिज्या $r$ है। हमें दिया गया है कि $v = 2v_e$।

हम जानते हैं कि $v_e \propto \frac{1}{\sqrt{r_e}}$ और $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।

इसलिए, $\backslash frac\{v\}\{v\_e\}\; =\; \backslash frac\{1/\backslash sqrt\{r\}\}\{1/\backslash sqrt\{r\_e\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{r\_e\}\{r\}\}$

चूंकि $v = 2v_e$, तो $\frac{v}{v_e} = 2$।

अतः, $2 = \sqrt{\frac{r_e}{r}}$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$4 = \frac{r_e}{r}$

इससे हमें प्राप्त होता है:

$r = \frac{r_e}{4}$

इसका अर्थ है कि ग्रह की कक्षीय त्रिज्या पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या की एक-चौथाई है।

उत्तर: ग्रह का कक्षीय आमाप पृथ्वी की कक्षा की तुलना में एक-चौथाई है।