कक्षा 11 गणित अध्याय 14 गणितीय विवेचन के लिए NCERT समाधान

एक कथन वह वाक्य होता है जो या तो निश्चित रूप से सत्य हो या निश्चित रूप से असत्य हो। यहाँ प्रत्येक वाक्य का विश्लेषण दिया गया है:

1. (i) यह वाक्य सदैव असत्य है, क्योंकि किसी भी महीने में अधिकतम 31 दिन होते हैं, 35 नहीं। चूँकि यह वाक्य निश्चित रूप से असत्य है, इसलिए यह एक कथन है।

2. (ii) यह वाक्य एक कथन नहीं है। यह व्यक्तिपरक है; कुछ लोगों के लिए गणित कठिन हो सकता है, जबकि अन्य के लिए यह सरल हो सकता है। इसकी सत्यता या असत्यता निश्चित नहीं है।

3. (iii) यह वाक्य सदैव सत्य है। 5 और 7 का योगफल 12 होता है, जो कि 10 से अधिक है। चूँकि यह वाक्य निश्चित रूप से सत्य है, इसलिए यह एक कथन है।

4. (iv) यह वाक्य एक कथन नहीं है। किसी संख्या का वर्ग सम हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, 4 का वर्ग (16) सम है, लेकिन 5 का वर्ग (25) विषम है। चूँकि यह हमेशा सत्य या हमेशा असत्य नहीं है, यह एक कथन नहीं है।

5. (v) यह वाक्य एक कथन नहीं है। यह कभी सत्य होता है और कभी असत्य। उदाहरण के लिए, एक वर्ग या समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं (सत्य), लेकिन एक आयत या समलंब चतुर्भुज की भुजाएँ समान लंबाई की नहीं होती हैं (असत्य)। चूँकि यह हमेशा सत्य या हमेशा असत्य नहीं है, यह एक कथन नहीं है।

6. (vi) यह वाक्य एक कथन नहीं है। यह एक आदेश है, और आदेशों को सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

7. (vii) यह वाक्य असत्य है। -1 और 8 का गुणनफल -8 होता है, न कि 8। चूँकि यह वाक्य निश्चित रूप से असत्य है, इसलिए यह एक कथन है।

8. (viii) यह वाक्य सदैव सत्य होता है। किसी भी त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योगफल हमेशा 180° होता है। चूँकि यह वाक्य निश्चित रूप से सत्य है, इसलिए यह एक कथन है।

9. (ix) यह वाक्य एक कथन नहीं है। 'आज' किस दिन का उल्लेख किया गया है, यह स्पष्ट नहीं है, और 'तूफानी दिन' व्यक्तिपरक हो सकता है। इसकी सत्यता या असत्यता निश्चित नहीं है।

10. (x) यह वाक्य सत्य है। सभी वास्तविक संख्याओं को $x\; +\; i\; \backslash times\; 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x एक वास्तविक संख्या है। इस प्रकार, प्रत्येक वास्तविक संख्या एक सम्मिश्र संख्या होती है। चूँकि यह वाक्य निश्चित रूप से सत्य है, इसलिए यह एक कथन है।

कथन वह वाक्य होता है जो या तो निश्चित रूप से सत्य हो या निश्चित रूप से असत्य हो। यहाँ वाक्यों के तीन उदाहरण दिए गए हैं जो कथन नहीं हैं, उनके कारणों सहित:

1. (i) "इस कमरे में उपस्थित प्रत्येक व्यक्ति निडर है।" यह एक कथन नहीं है। इसका कारण यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किस कमरे का उल्लेख किया जा रहा है (संदर्भ की कमी) और 'निडर' शब्द व्यक्तिपरक है और स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। इसलिए, हम निश्चित रूप से यह नहीं कह सकते कि यह वाक्य सत्य है या असत्य।

2. (ii) "वह अभियान्त्रिकी की छात्रा है।" यह भी एक कथन नहीं है। इसका कारण यह है कि सर्वनाम 'वह' का उल्लेख किसी विशिष्ट व्यक्ति को इंगित नहीं करता है। जब तक हम यह नहीं जानते कि 'वह' कौन है, तब तक हम वाक्य की सत्यता या असत्यता का निर्धारण नहीं कर सकते।

3. (iii) "$\backslash cos^2\backslash theta$ का मान सदैव 1/2 से अधिक होता है।" यह एक कथन नहीं है जब तक कि $\backslash theta$ का मान ज्ञात न हो। $\backslash cos^2\backslash theta$ का मान 0 और 1 के बीच होता है। यदि $\backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$ है, तो $\backslash cos^2\backslash theta\; =\; (\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\})^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$, जो 1/2 से अधिक नहीं है। यदि $\backslash theta\; =\; 0$ है, तो $\backslash cos^2\backslash theta\; =\; 1$, जो 1/2 से अधिक है। चूँकि $\backslash theta$ के मान के आधार पर वाक्य सत्य या असत्य हो सकता है, यह एक कथन नहीं है।

किसी कथन का निषेधन (negation) वह कथन होता है जिसका सत्य मान मूल कथन के विपरीत होता है। निषेधन बनाने के लिए, हम आमतौर पर वाक्य में 'नहीं' शब्द जोड़ते या हटाते हैं।

1. (i) मूल कथन: चेन्नई, तमिलनाडु की राजघानी है। (यह सत्य है) निषेधन: चेन्नई, तमिलनाडु की राजघानी नहीं है। (यह असत्य है)

2. (ii) मूल कथन: √2 एक सम्मिश्र संख्या नहीं है। (यह सत्य है, क्योंकि √2 एक अपरिमेय संख्या है, और सभी अपरिमेय संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ नहीं होतीं, बल्कि वास्तविक संख्याएँ होती हैं। यहाँ वाक्य का अर्थ है कि √2 को a+bi के रूप में नहीं लिखा जा सकता जहाँ b≠0 हो, जो सत्य है। यदि प्रश्न का अर्थ है कि √2 सम्मिश्र संख्या नहीं है, तो यह असत्य है। मान लेते हैं कि प्रश्न का अर्थ है कि √2 एक सम्मिश्र संख्या के रूप में नहीं है, जो कि सत्य है। यदि हम इसे सम्मिश्र संख्या के रूप में देखें तो $\backslash sqrt\{2\}\; +\; 0i$ लिख सकते हैं। लेकिन प्रश्न के अनुसार, यह कथन सत्य है कि √2 एक सम्मिश्र संख्या नहीं है।) निषेधन: √2 एक सम्मिश्र संख्या है। (यह असत्य है, क्योंकि √2 को $\backslash sqrt\{2\}\; +\; 0i$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक सम्मिश्र संख्या है। अतः मूल कथन असत्य है।) *स्पष्टीकरण: प्रश्न के अनुसार, यदि मूल कथन सत्य है, तो निषेधन असत्य होगा। यदि मूल कथन असत्य है, तो निषेधन सत्य होगा। यहाँ, √2 एक वास्तविक संख्या है, और सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं (जहाँ काल्पनिक भाग शून्य होता है)। इसलिए, कथन "√2 एक सम्मिश्र संख्या नहीं है" असत्य है। इसका निषेधन "√2 एक सम्मिश्र संख्या है" सत्य होगा।

3. (iii) मूल कथन: सभी त्रिभुज समबाहु त्रिभुज नहीं होते हैं। (यह सत्य है, क्योंकि कुछ त्रिभुज समबाहु होते हैं और कुछ नहीं।) निषेधन: सभी त्रिभुज समबाहु त्रिभुज होते हैं। (यह असत्य है)

4. (iv) मूल कथन: संख्या 2, संख्या 7 से अधिक है। (यह असत्य है) निषेधन: संख्या 2, संख्या 7 से अधिक नहीं है। (यह सत्य है)

5. (v) मूल कथन: प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है। (यह सत्य है) निषेधन: प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक नहीं होती है। (यह असत्य है)