कक्षा 11 गणित: सीमा और अवकलज NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के लिए NCERT समाधान प्रस्तुत करता है, विशेष रूप से अध्याय 13, 'सीमा और अवकलज' पर केंद्रित है। इसमें प्रश्नावली 13.1 के प्रश्नों के विस्तृत हल शामिल हैं, जो छात्रों को सीमा की अवधारणा को समझने में मदद करते हैं। समाधानों में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन, गुणनखंडन और मानक सीमा सूत्रों का उपयोग करके सीमाओं की गणना करने के तरीके शामिल हैं। यह सामग्री छात्रों को विभिन्न प्रकार की सीमा समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक चरणों और तकनीकों को समझने में सहायता करती है, जिससे यह परीक्षा की तैयारी के लिए एक मूल्यवान संसाधन बन जाती है।

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BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter13. सीमा और अवकलज

Chapter summary

अध्याय 13, 'सीमा और अवकलज' के लिए NCERT समाधान, कक्षा 11 गणित के छात्रों को सीमा की गणना की मूल बातें सिखाते हैं। यह खंड प्रश्नावली 13.1 के प्रश्नों को हल करता है, जिसमें प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन, अनिर्धार्य रूपों को संभालना, और गुणनखंडन जैसी विधियों का उपयोग शामिल है। समाधान छात्रों को सीमा की अवधारणा को स्पष्ट करने और उन्हें कैलकुलस के लिए तैयार करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

Learning outcomes

  • सीधे प्रतिस्थापन का उपयोग करके सीमाओं की गणना करना सीखें।
  • अनिधार्य रूपों (जैसे 0/0) को संभालने के लिए गुणनखंडन तकनीकों को समझें।
  • मानक सीमा सूत्रों को पहचानें और लागू करें।
  • सीमाओं की गणना के लिए बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करें।
  • सीमाओं की गणना में चर परिवर्तन की विधि को समझें।

Topics covered

Paper topics

  • सीमा की अवधारणा
  • प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा सीमा की गणना
  • अनिधार्य रूप (0/0)
  • गुणनखंडन द्वारा सीमा की गणना
  • सीमा के लिए मानक सूत्र
  • चर परिवर्तन का उपयोग करके सीमा
  • बहुपद फलनों की सीमाएँ
  • परिमेय फलनों की सीमाएँ

Important topics

  • अनिधार्य रूपों को संभालना
  • गुणनखंडन विधि
  • सीधे प्रतिस्थापन का अनुप्रयोग
  • सीमा के लिए मानक सूत्र
  • चर परिवर्तन का उपयोग

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

सीमा \(\lim_{x \to 3} x + 3\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

यह एक बहुपद फलन है, इसलिए हम सीमा का मान सीधे \(x=3\) रखकर ज्ञात कर सकते हैं।

\lim_{x \to 3} x + 3 = 3 + 3 = 6

अतः, सीमा का मान 6 है।

प्रश्न 2

सीमा \(\lim_{x \to \pi} \left( x - \frac{22}{7} \right)\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

यह एक बहुपद फलन है, इसलिए हम सीमा का मान सीधे \(x=\pi\) रखकर ज्ञात कर सकते हैं।

\lim_{x \to \pi} \left( x - \frac{22}{7} \right) = \pi - \frac{22}{7}

अतः, सीमा का मान \(\pi - \frac{22}{7}\) है।

प्रश्न 3

सीमा \(\lim_{r\to 1} \pi r^2\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

यह एक बहुपद फलन है, इसलिए हम सीमा का मान सीधे \(r=1\) रखकर ज्ञात कर सकते हैं।

\lim_{r\to 1} \pi r^2 = \pi \times (1)^2 = \pi

अतः, सीमा का मान \(\pi\) है।

प्रश्न 4

सीमा \(\lim_{x \to 4} \frac{4x+3}{x-2}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

यह एक परिमेय फलन है। हम पहले हर में \(x=4\) रखकर जाँच करते हैं कि क्या यह शून्य होता है। \(4-2 = 2 \neq 0\)। चूँकि हर शून्य नहीं है, हम सीधे \(x=4\) रखकर सीमा का मान ज्ञात कर सकते हैं।

\lim_{x \to 4} \frac{4x+3}{x-2} = \frac{4 \times 4 + 3}{4-2} = \frac{16 + 3}{2} = \frac{19}{2}

अतः, सीमा का मान \(\frac{19}{2}\) है।

प्रश्न 5

सीमा \(\lim_{x \to -1} \frac{x^{10} + x^5 + 1}{x - 1}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

यह एक परिमेय फलन है। हम पहले हर में \(x=-1\) रखकर जाँच करते हैं कि क्या यह शून्य होता है। \(-1 - 1 = -2 \neq 0\)। चूँकि हर शून्य नहीं है, हम सीधे \(x=-1\) रखकर सीमा का मान ज्ञात कर सकते हैं।

\lim_{x \to -1} \frac{x^{10} + x^5 + 1}{x - 1} = \frac{(-1)^{10} + (-1)^5 + 1}{-1 - 1} = \frac{1 + (-1) + 1}{-2} = \frac{1 - 1 + 1}{-2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}

अतः, सीमा का मान \(-\frac{1}{2}\) है।

प्रश्न 6

सीमा \(\lim_{x\to 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

यदि हम सीधे \(x=0\) रखते हैं, तो हमें \(\frac{(0+1)^5-1}{0} = \frac{1^5-1}{0} = \frac{0}{0}\) का अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है। इस स्थिति में, हम मानक सीमा सूत्र \(\lim_{y o a} \frac{y^n - a^n}{y - a} = na^{n-1}\) का उपयोग कर सकते हैं।

माना \(y = x+1\)। जब \(x \to 0\), तब \(y \to 0+1 = 1\)।

सीमा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\lim_{x o 0} \frac{(x+1)^5 - 1}{x} = \lim_{y o 1} \frac{y^5 - 1}{y - 1}

यहाँ \(n=5\) और \(a=1\) है। सूत्र का प्रयोग करने पर:

\lim_{y o 1} \frac{y^5 - 1^5}{y - 1} = 5 \times (1)^{5-1} = 5 \times 1^4 = 5

अतः, सीमा का मान 5 है।

प्रश्न 7

सीमा \(\lim_{x\to 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:

यदि हम सीधे \(x=2\) रखते हैं, तो अंश \(3(2)^2 - 2 - 10 = 3(4) - 2 - 10 = 12 - 2 - 10 = 0\) होता है और हर \(2^2 - 4 = 4 - 4 = 0\) होता है। हमें \(\frac{0}{0}\) का अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है।

इस स्थिति में, हम अंश और हर का गुणनखंडन करके उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करते हैं।

अंश का गुणनखंडन: \(3x^2 - x - 10 = 3x^2 - 6x + 5x - 10 = 3x(x-2) + 5(x-2) = (x-2)(3x+5)\)

हर का गुणनखंडन: \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)

अब सीमा को पुनः लिखते हैं:

\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(3x+5)}{(x-2)(x+2)}

चूँकि \(x \to 2\), \(x \neq 2\), इसलिए हम \((x-2)\) को रद्द कर सकते हैं:

= \lim_{x \to 2} \frac{3x+5}{x+2}

अब हम सीधे \(x=2\) रख सकते हैं:

= \frac{3(2)+5}{2+2} = \frac{6+5}{4} = \frac{11}{4}

अतः, सीमा का मान \(\frac{11}{4}\) है।

Common mistakes

  • सीधे प्रतिस्थापन का उपयोग करने से पहले अनिर्धार्य रूप की जाँच करने में विफलता।
  • गुणनखंडन या बीजगणितीय सरलीकरण के दौरान त्रुटियाँ।
  • सीमा सूत्रों को गलत तरीके से लागू करना।
  • चर परिवर्तन के बाद सीमा को सही ढंग से अद्यतन करने में विफलता।

Revision tips

  • प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से शुरू होने वाले प्रत्येक प्रश्न के लिए हल विधि की समीक्षा करें।
  • उन प्रश्नों पर ध्यान केंद्रित करें जहाँ अनिर्धार्य रूप उत्पन्न होते हैं और उन्हें कैसे हल किया जाता है।
  • सीमा गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न सूत्रों और प्रमेयों को याद करें।
  • प्रत्येक हल में उपयोग की जाने वाली बीजगणितीय युक्तियों का अभ्यास करें।

Practice MCQs

Q1. सीमा \(\lim_{x \to 3} x + 3\) का मान क्या है?

Q2. सीमा \(\lim_{r\to 1} \pi r^2\) का मान क्या है?

Q3. सीमा \(\lim_{x \to 4} \frac{4x+3}{x-2}\) का मान क्या है?

Q4. सीमा \(\lim_{x\to 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}\) का मान ज्ञात करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है?

Q5. सीमा \(\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4}\) को हल करते समय, \(\frac{0}{0}\) रूप को हटाने के लिए कौन सी विधि का उपयोग किया जाता है?

Frequently asked questions

कक्षा 11 गणित में सीमा और अवकलज का क्या महत्व है?

सीमा और अवकलज कैलकुलस की नींव हैं। सीमाएँ हमें फलनों के व्यवहार को समझने में मदद करती हैं जब वे किसी विशेष मान के करीब पहुँचते हैं, और अवकलज परिवर्तन की दर का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जो भौतिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र जैसे कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है।

प्रश्नावली 13.1 में सीमाएँ ज्ञात करने की मुख्य विधियाँ कौन सी हैं?

मुख्य विधियों में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन (जब संभव हो), अनिर्धार्य रूप (जैसे 0/0) को संभालने के लिए गुणनखंडन, और कुछ मानक सीमा सूत्रों का अनुप्रयोग शामिल है।

मुझे कैसे पता चलेगा कि मुझे सीमा की गणना के लिए गुणनखंडन का उपयोग करना चाहिए?

जब प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से 0/0 जैसा अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है, तो आपको गुणनखंडन या अन्य बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करके उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करने का प्रयास करना चाहिए।

क्या ये समाधान परीक्षा की तैयारी में मदद करते हैं?

हाँ, ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जिससे आपको अवधारणाओं को समझने और परीक्षा में समान समस्याओं को हल करने का अभ्यास करने में मदद मिलती है।

सीमा \(\lim_{x\to 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}\) को हल करने के लिए चर परिवर्तन का उपयोग क्यों किया जाता है?

चर परिवर्तन (जैसे \(h = x+1\)) सीमा को एक मानक रूप \(\lim_{h\to 1} \frac{h^5-1}{h-1}\) में बदलने में मदद करता है, जिसे \(na^{n-1}\) सूत्र का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है।

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