कक्षा 11 गणित: त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय NCERT समाधान

किसी भी बिंदु के निर्देशांक जो केवल x-अक्ष पर स्थित होता है, वह <math>(x, 0, 0)</math> के रूप में होता है। इसका अर्थ है कि x-अक्ष पर स्थित होने के लिए, बिंदु के y-निर्देशांक और z-निर्देशांक का मान शून्य होना चाहिए।

अतः, बिंदु के y-निर्देशांक 0 है और z-निर्देशांक 0 है।

XZ-तल में स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक का रूप <math>(x, 0, z)</math> होता है। यहाँ, x और z निर्देशांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं, लेकिन y-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है क्योंकि बिंदु XZ-तल पर स्थित है, जो y-अक्ष के लंबवत होता है।

अतः, XZ-तल में स्थित बिंदु का y-निर्देशांक 0 है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, तीन परस्पर लंबवत अक्ष (x, y, z) अंतरिक्ष को आठ क्षेत्रों में विभाजित करते हैं जिन्हें अष्टांश कहा जाता है। प्रत्येक अष्टांश को निर्देशांकों के चिन्हों द्वारा पहचाना जाता है।

यहाँ दिए गए बिंदुओं और उनके अष्टांशों का विवरण दिया गया है:

• (1, 2, 3): सभी निर्देशांक धनात्मक हैं (+, +, +)। यह प्रथम अष्टांश में स्थित है।
• (4, -2, 3): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक है (+, -, +)। यह चतुर्थ अष्टांश में स्थित है।
• (4, -2, -5): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z ऋणात्मक है (+, -, -)। यह पंचम अष्टांश में स्थित है।
• (4, 2, -5): x धनात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक है (+, +, -)। यह षष्ठम अष्टांश में स्थित है।
• (-4, 2, -5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक है (-, +, -)। यह सप्तम अष्टांश में स्थित है।
• (-4, 2, 5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z धनात्मक है (-, +, +)। यह द्वितीय अष्टांश में स्थित है।
• (-3, -1, 6): x ऋणात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक है (-, -, +)। यह तृतीय अष्टांश में स्थित है।
• (2, -4, -7): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z ऋणात्मक है (+, -, -)। यह पंचम अष्टांश में स्थित है।

संक्षेप में:

• (1, 2, 3) - प्रथम अष्टांश
• (4, -2, 3) - चतुर्थ अष्टांश
• (4, -2, -5) - पंचम अष्टांश
• (4, 2, -5) - षष्ठम अष्टांश
• (-4, 2, -5) - सप्तम अष्टांश
• (-4, 2, 5) - द्वितीय अष्टांश
• (-3, -1, 6) - तृतीय अष्टांश
• (2, -4, -7) - पंचम अष्टांश

1. z-अक्ष और y-अक्ष दोनों मिलकर YZ-तल बनाते हैं।
2. XY-तल में स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक का रूप <math>(x, y, 0)</math> होता है, जहाँ x और y कोई वास्तविक संख्याएँ हो सकती हैं और z-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।
3. निर्देशांक तल (XY-तल, YZ-तल, और XZ-तल) अंतरिक्ष को कुल आठ अष्टांशों में विभाजित करते हैं।

दो बिंदुओं <math>(x_1, y_1, z_1)</math> तथा <math>(x_2, y_2, z_2)</math> के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया जाता है, जो इस प्रकार है:

<math display="block">

\tD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

</math>

यहाँ दिए गए बिंदु हैं A (2, 3, 5) और B (4, 3, 1)।

हम मान लेते हैं:

<math>x_1 = 2, y_1 = 3, z_1 = 5</math> और <math>x_2 = 4, y_2 = 3, z_2 = 1</math>

अब इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:

<math display="block">

\tAB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (1 - 5)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{(2)^2 + (0)^2 + (-4)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{4 + 0 + 16}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{20}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{4 \times 5}

</math>

<math>

\tAB = 2\sqrt{5}

</math>

अतः, दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी <math>2\sqrt{5}</math> इकाई है।

दो बिंदुओं <math>(x_1, y_1, z_1)</math> तथा <math>(x_2, y_2, z_2)</math> के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया जाता है:

<math display="block">

\tD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

</math>

यहाँ दिए गए बिंदु हैं A (-3, 7, 2) और B (2, 4, -1)।

हम मान लेते हैं:

<math>x_1 = -3, y_1 = 7, z_1 = 2</math> और <math>x_2 = 2, y_2 = 4, z_2 = -1</math>

इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:

<math display="block">

\tAB = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (4 - 7)^2 + (-1 - 2)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{(2 + 3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{(5)^2 + 9 + 9}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{25 + 9 + 9}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{43}

</math>

अतः, दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी <math>\sqrt{43}</math> इकाई है।

दो बिंदुओं <math>(x_1, y_1, z_1)</math> तथा <math>(x_2, y_2, z_2)</math> के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया जाता है:

<math display="block">

\tD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

</math>

यहाँ दिए गए बिंदु हैं A (-1, 3, -4) और B (1, -3, 4)।

हम मान लेते हैं:

<math>x_1 = -1, y_1 = 3, z_1 = -4</math> और <math>x_2 = 1, y_2 = -3, z_2 = 4</math>

इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:

<math display="block">

\tAB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - 3)^2 + (4 - (-4))^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-6)^2 + (4 + 4)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2 + (8)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{4 + 36 + 64}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{104}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{4 \times 26}

</math>

<math>

\tAB = 2\sqrt{26}

</math>

अतः, दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी <math>2\sqrt{26}</math> इकाई है।

दो बिंदुओं <math>(x_1, y_1, z_1)</math> तथा <math>(x_2, y_2, z_2)</math> के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया जाता है:

<math display="block">

\tD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

</math>

यहाँ दिए गए बिंदु हैं A (2, -1, 3) और B (-2, 1, 3)।

हम मान लेते हैं:

<math>x_1 = 2, y_1 = -1, z_1 = 3</math> और <math>x_2 = -2, y_2 = 1, z_2 = 3</math>

इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:

<math display="block">

\tAB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2 + (3 - 3)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{(-4)^2 + (1 + 1)^2 + (0)^2}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{16 + (2)^2 + 0}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{16 + 4}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{20}

</math>

<math>

\tAB = \sqrt{4 \times 5}

</math>

<math>

\tAB = 2\sqrt{5}

</math>

अतः, दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी <math>2\sqrt{5}</math> इकाई है।