कक्षा 11 गणित: शांकव परिच्छेदन NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 11, 'शांकव परिच्छेदन' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। विशेष रूप से, यह प्रश्नावली 11.1 में दिए गए वृत्तों के समीकरणों को हल करने पर केंद्रित है। समाधानों में वृत्त के मानक समीकरण का उपयोग करके विभिन्न केंद्रों और त्रिज्याओं वाले वृत्तों के समीकरण ज्ञात करने के चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण शामिल हैं। प्रत्येक प्रश्न में दिए गए केंद्र (h, k) और त्रिज्या (r) का उपयोग करके, छात्र वृत्त के समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> को कैसे प्राप्त करें, यह सीखेंगे। यह खंड छात्रों को वृत्तों के ज्यामितीय गुणों और उनके बीजगणितीय निरूपण के बीच संबंध को समझने में मदद करता है, जो परीक्षा की तैयारी के लिए महत्वपूर्ण है।

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BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter11. शांकव परिच्छेदन

Chapter summary

अध्याय 11, 'शांकव परिच्छेदन' के लिए NCERT समाधान, विशेष रूप से प्रश्नावली 11.1 पर केंद्रित हैं, जो वृत्तों के समीकरणों को ज्ञात करने से संबंधित है। इन समाधानों में वृत्त के मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> का उपयोग करके दिए गए केंद्र और त्रिज्या से वृत्त का समीकरण निकालने की प्रक्रिया को स्पष्ट किया गया है। यह छात्रों को वृत्तों की मूल अवधारणाओं को समझने और उन्हें बीजगणितीय रूप में व्यक्त करने का अभ्यास प्रदान करता है।

Learning outcomes

  • वृत्त के मानक समीकरण को समझना।
  • दिए गए केंद्र और त्रिज्या का उपयोग करके वृत्त का समीकरण ज्ञात करना।
  • वृत्त के समीकरण को विस्तारित रूप में लिखना।
  • ज्यामितीय जानकारी को बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तित करना।

Topics covered

Paper topics

  • शांकव परिच्छेदन का परिचय
  • वृत्त का मानक समीकरण
  • वृत्त का समीकरण ज्ञात करना (केंद्र और त्रिज्या दिए होने पर)
  • बीजगणितीय विस्तार
  • समीकरणों का सरलीकरण

Important topics

  • वृत्त का मानक समीकरण
  • केंद्र और त्रिज्या से समीकरण ज्ञात करना
  • बीजगणितीय विस्तार और सरलीकरण

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

केंद्र (0, 2) और त्रिज्या 2 इकाई वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:

हमें वृत्त का केंद्र (h, k) = (0, 2) और त्रिज्या r = 2 इकाई दी गई है।

वृत्त के मानक समीकरण का सूत्र है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2

इसे विस्तारित करने पर:

x^2 + (y^2 + 4 - 4y) = 4

समीकरण को सरल बनाने पर:

x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4

x^2 + y^2 - 4y = 0

अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 - 4y = 0 है।

प्रश्न 2

केंद्र (- 2, 3) और त्रिज्या 4 इकाई वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:

हमें वृत्त का केंद्र (h, k) = (-2, 3) और त्रिज्या r = 4 इकाई दी गई है।

वृत्त के मानक समीकरण का सूत्र है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2

(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16

अब, हम इसे विस्तारित करेंगे:

(x^2 + 4 + 4x) + (y^2 + 9 - 6y) = 16

सभी पदों को एक साथ लाने पर:

x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 + 9 = 16

x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 16

अंतिम समीकरण प्राप्त करने के लिए 16 को बाईं ओर ले जाने पर:

x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 - 16 = 0

x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0

अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 है।

प्रश्न 3

केंद्र \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) और त्रिज्या \frac{1}{12} इकाई वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:

हमें वृत्त का केंद्र (h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) और त्रिज्या r = \frac{1}{12} इकाई दी गई है।

वृत्त के मानक समीकरण का सूत्र है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{1}{12}\right)^2

अब, हम इसे विस्तारित करेंगे:

\left(x^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(y^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{144}

\left(x^2 + \frac{1}{4} - x\right) + \left(y^2 + \frac{1}{16} - \frac{y}{2}\right) = \frac{1}{144}

सभी पदों को एक साथ लाने पर:

x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{1}{144}

भिन्नों को हल करने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें। \frac{1}{4} + \frac{1}{16} का LCM 16 है, इसलिए \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}

x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} + \frac{5}{16} = \frac{1}{144}

अब, \frac{5}{16} को दाईं ओर ले जाएँ:

x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} = \frac{1}{144} - \frac{5}{16}

144 और 16 का LCM 144 है।

x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} = \frac{1}{144} - \frac{5 \times 9}{16 \times 9} = \frac{1}{144} - \frac{45}{144}

x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} = \frac{1 - 45}{144} = \frac{-44}{144}

भिन्न \frac{-44}{144} को सरल करने पर \frac{-11}{36} प्राप्त होता है।

x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} = -\frac{11}{36}

सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर:

x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} + \frac{11}{36} = 0

समीकरण को पूर्णांक गुणांकों में बदलने के लिए, हम पूरे समीकरण को 36 से गुणा कर सकते हैं:

36(x^2 + y^2 - x - \frac{y}{2} + \frac{11}{36}) = 36 \times 0

36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y + 11 = 0

अतः, वृत्त का समीकरण 36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y + 11 = 0 है।

प्रश्न 4

केंद्र (1, 1) और त्रिज्या \sqrt{2} इकाई वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:

हमें वृत्त का केंद्र (h, k) = (1, 1) और त्रिज्या r = \sqrt{2} इकाई दी गई है।

वृत्त के मानक समीकरण का सूत्र है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{2})^2

इसे विस्तारित करने पर:

(x^2 + 1 - 2x) + (y^2 + 1 - 2y) = 2

सभी पदों को एक साथ लाने पर:

x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 + 1 = 2

x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 2

अंतिम समीकरण प्राप्त करने के लिए 2 को बाईं ओर ले जाने पर:

x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 - 2 = 0

x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0

अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 है।

प्रश्न 5

केंद्र (-a, -b) और त्रिज्या \sqrt{a^2 - b^2} इकाई वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:

हमें वृत्त का केंद्र (h, k) = (-a, -b) और त्रिज्या r = \sqrt{a^2 - b^2} इकाई दी गई है।

वृत्त के मानक समीकरण का सूत्र है: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

(x - (-a))^2 + (y - (-b))^2 = (\sqrt{a^2 - b^2})^2

(x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 - b^2

अब, हम इसे विस्तारित करेंगे:

(x^2 + a^2 + 2ax) + (y^2 + b^2 + 2by) = a^2 - b^2

सभी पदों को एक साथ लाने पर:

x^2 + y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2 = a^2 - b^2

अंतिम समीकरण प्राप्त करने के लिए a^2 - b^2 को बाईं ओर ले जाने पर:

x^2 + y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2 - (a^2 - b^2) = 0

x^2 + y^2 + 2ax + 2by + a^2 + b^2 - a^2 + b^2 = 0

x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0

अतः, वृत्त का समीकरण x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0 है।

Common mistakes

  • मानक समीकरण में केंद्र (h, k) और त्रिज्या (r) के मानों को गलत तरीके से प्रतिस्थापित करना।
  • बीजगणितीय विस्तार (जैसे (a-b)^2 या (a+b)^2) में त्रुटियाँ करना।
  • समीकरण को सरल बनाते समय या पदों को पुनर्व्यवस्थित करते समय अंकगणितीय गलतियाँ करना।
  • त्रिज्या के वर्ग (r^2) की गणना में त्रुटियाँ करना, खासकर जब त्रिज्या में वर्गमूल शामिल हो।

Revision tips

  • वृत्त के मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> को अच्छी तरह याद करें।
  • प्रत्येक प्रश्न में दिए गए केंद्र और त्रिज्या के मानों को ध्यान से पहचानें।
  • बीजगणितीय विस्तार करते समय सर्वसमिकाओं (जैसे (a-b)^2, (a+b)^2) का सही उपयोग करें।
  • समीकरण को सरल बनाने और अंतिम रूप देने के चरणों का अभ्यास करें।

Practice MCQs

Q1. वृत्त का मानक समीकरण क्या है, जहाँ (h, k) केंद्र और r त्रिज्या है?

Q2. केंद्र (0, 2) और त्रिज्या 2 वाले वृत्त का समीकरण क्या है?

Q3. केंद्र (-2, 3) और त्रिज्या 4 वाले वृत्त का समीकरण क्या है?

Q4. यदि किसी वृत्त का केंद्र (1, 1) और त्रिज्या <math>\sqrt{2}</math> है, तो उसका समीकरण क्या होगा?

Q5. केंद्र <math>\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)</math> और त्रिज्या <math>\frac{1}{12}</math> वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात करने के लिए किस सर्वसमिका का उपयोग किया जाता है?

Frequently asked questions

कक्षा 11 गणित के अध्याय 11 में मुख्य रूप से किन विषयों को शामिल किया गया है?

कक्षा 11 गणित के अध्याय 11, 'शांकव परिच्छेदन' में मुख्य रूप से वृत्तों के समीकरणों को ज्ञात करने पर ध्यान केंद्रित किया गया है, विशेष रूप से प्रश्नावली 11.1 में दिए गए केंद्र और त्रिज्या का उपयोग करके।

वृत्त का मानक समीकरण क्या है?

वृत्त का मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> है, जहाँ (h, k) वृत्त के केंद्र के निर्देशांक हैं और r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए केंद्र और त्रिज्या से वृत्त का समीकरण कैसे ज्ञात करें?

दिए गए केंद्र (h, k) और त्रिज्या r को वृत्त के मानक समीकरण <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math> में प्रतिस्थापित करके वृत्त का समीकरण ज्ञात किया जा सकता है।

इन NCERT समाधानों का उपयोग परीक्षा की तैयारी के लिए कैसे किया जा सकता है?

ये समाधान वृत्तों के समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया को स्पष्ट करते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और अभ्यास प्रश्नों को हल करने में मदद मिलती है, जो परीक्षा की तैयारी के लिए महत्वपूर्ण है।

क्या इन समाधानों में वृत्तों के समीकरणों के विस्तार पर भी चर्चा की गई है?

हाँ, समाधानों में मानक समीकरण को विस्तारित रूप में लिखने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके चरण-दर-चरण प्रक्रिया दिखाई गई है।

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