कक्षा 11 गणित अध्याय 10: सरल रेखाएँ NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 10, 'सरल रेखाएँ' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें कार्तीय तल में दिए गए शीर्षों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने और Y-अक्ष पर आधार वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों का पता लगाने जैसे प्रश्नों को हल किया गया है। समाधानों में स्पष्ट चरण-दर-चरण प्रक्रियाएं शामिल हैं, जो छात्रों को ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करने और निर्देशांक ज्यामिति के सिद्धांतों को लागू करने में मदद करती हैं। ये हल परीक्षा की तैयारी और अवधारणाओं की गहरी समझ के लिए एक मूल्यवान संसाधन हैं।

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Quick info

BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter10. सरल रेखाएँ

Chapter summary

अध्याय 10, 'सरल रेखाएँ' के लिए NCERT समाधान, निर्देशांक ज्यामिति के अनुप्रयोगों पर केंद्रित हैं। यह खंड कार्तीय तल में चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करने की विधि को स्पष्ट करता है। इसके अतिरिक्त, यह एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों को खोजने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जब उसका आधार Y-अक्ष पर स्थित हो और उसका मध्य-बिंदु मूल बिंदु पर हो। ये समाधान छात्रों को ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक विश्लेषणात्मक कौशल विकसित करने में सहायता करते हैं।

Learning outcomes

  • कार्तीय तल में चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखें।
  • त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र को लागू करना समझें।
  • निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करके समबाहु त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें।
  • Y-अक्ष पर स्थित आधार वाले त्रिभुज की विशेषताओं का विश्लेषण करें।

Topics covered

Paper topics

  • निर्देशांक ज्यामिति
  • चतुर्भुज का क्षेत्रफल
  • त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र
  • समबाहु त्रिभुज
  • शीर्षों का निर्धारण
  • Y-अक्ष पर स्थित आधार

Important topics

  • चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना
  • त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र का अनुप्रयोग
  • समबाहु त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करना
  • निर्देशांक ज्यामिति के अनुप्रयोग

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष (- 4, 5), (0, 7), (5, - 5) और (- 4, - 2) हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिए गए शीर्षों को A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5) और D(-4, -2) मान लीजिए। इन शीर्षों को कार्तीय तल पर आलेखित करने पर एक चतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम इसे दो त्रिभुजों, $\triangle ADC$ और $\triangle ABC$ में विभाजित कर सकते हैं। चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल इन दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग होगा।

हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करेंगे: \(\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)

$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल:

यहाँ, शीर्ष हैं: A(-4, 5), D(-4, -2), C(5, -5)।

माना $(x_1, y_1) = (-4, 5)$, $(x_2, y_2) = (-4, -2)$, $(x_3, y_3) = (5, -5)$।

$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} |(-4)((-2) - (-5)) + (-4)((-5) - 5) + 5(5 - (-2))|\)

= \(\frac{1}{2} |(-4)(-2 + 5) + (-4)(-10) + 5(5 + 2)|\)

= \(\frac{1}{2} |(-4)(3) + 40 + 5(7)|\)

= \(\frac{1}{2} |-12 + 40 + 35|\)

= \(\frac{1}{2} |28 + 35|\)

= \(\frac{1}{2} |63| = \frac{63}{2}\) वर्ग इकाई।

$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:

यहाँ, शीर्ष हैं: A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5)।

माना $(x_1, y_1) = (-4, 5)$, $(x_2, y_2) = (0, 7)$, $(x_3, y_3) = (5, -5)$।

$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} |(-4)(7 - (-5)) + 0((-5) - 5) + 5(5 - 7)|\)

= \(\frac{1}{2} |(-4)(7 + 5) + 0(-10) + 5(-2)|\)

= \(\frac{1}{2} |(-4)(12) + 0 - 10|\)

= \(\frac{1}{2} |-48 - 10|\)

= \(\frac{1}{2} |-58| = \frac{58}{2} = 29\) वर्ग इकाई।

चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल:

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल + $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल

= \(\frac{63}{2} + 29\)

= \(\frac{63}{2} + \frac{58}{2}\)

= \(\frac{63 + 58}{2} = \frac{121}{2}\) वर्ग इकाई।

अतः, चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\frac{121}{2}\) वर्ग इकाई है।

प्रश्न 2

2a भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार Y-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य-बिंदु मूल बिंदु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Solution:

माना कि त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई 2a है।

दिया गया है कि त्रिभुज का आधार Y-अक्ष के अनुदिश है और इसका मध्य-बिंदु मूल बिंदु (0, 0) पर है।

चूंकि आधार का मध्य-बिंदु मूल बिंदु (0, 0) है और आधार की लंबाई 2a है, इसलिए आधार के दो शीर्ष Y-अक्ष पर मूल बिंदु से a दूरी पर होंगे। ये शीर्ष होंगे:

B = (0, a)

C = (0, -a)

अब, हमें तीसरे शीर्ष A के निर्देशांक ज्ञात करने हैं। चूँकि त्रिभुज समबाहु है, शीर्ष A, B और C से समान दूरी पर होगा, और यह दूरी 2a के बराबर होगी।

मान लीजिए शीर्ष A के निर्देशांक (x, y) हैं।

चूंकि आधार Y-अक्ष पर है, तीसरा शीर्ष X-अक्ष पर स्थित होगा ताकि त्रिभुज सममित (symmetric) रहे और समबाहु हो। इसलिए, शीर्ष A के निर्देशांक (x, 0) के रूप में होंगे।

अब, शीर्ष A(x, 0) की शीर्ष B(0, a) से दूरी ज्ञात करते हैं:

AB$^2$ = $(x - 0)^2 + (0 - a)^2 = x^2 + (-a)^2 = x^2 + a^2$

चूंकि AB त्रिभुज की भुजा है, AB = 2a, इसलिए AB$^2$ = (2a)$^2$ = 4a$^2$।

अतः, $x^2 + a^2 = 4a^2$

$x^2 = 4a^2 - a^2$

$x^2 = 3a^2$

$x = \pm \sqrt{3}a$

इसलिए, तीसरे शीर्ष A के दो संभावित निर्देशांक हो सकते हैं: $(\sqrt{3}a, 0)$ या $(-\sqrt{3}a, 0)$।

अतः, समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं: (0, a), (0, -a) और $(\sqrt{3}a, 0)$ या (0, a), (0, -a) और $(-\sqrt{3}a, 0)$।

Common mistakes

  • क्षेत्रफल सूत्र में निर्देशांकों को गलत तरीके से प्रतिस्थापित करना।
  • निरपेक्ष मान (absolute value) लेना भूल जाना, जिससे ऋणात्मक क्षेत्रफल प्राप्त हो सकता है।
  • त्रिभुज के क्षेत्रफल को जोड़ते समय गणना में त्रुटियाँ करना।
  • सममित (symmetry) या ज्यामितीय गुणों को लागू करने में चूक।

Revision tips

  • क्षेत्रफल सूत्र को याद करें और अभ्यास करें।
  • प्रत्येक चरण में उपयोग किए गए निर्देशांकों की दोबारा जाँच करें।
  • समबाहु त्रिभुज के गुणों को समझें और उन्हें निर्देशांकों से जोड़ें।
  • हल किए गए उदाहरणों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. दिए गए शीर्षों (-4, 5), (0, 7), (5, -5) और (-4, -2) वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जाता है?

Q2. यदि एक समबाहु त्रिभुज का आधार Y-अक्ष पर है और उसका मध्य-बिंदु मूल बिंदु (0,0) पर है, तो उसके शीर्षों के निर्देशांक क्या हो सकते हैं?

Q3. त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है जिसके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं?

Frequently asked questions

कक्षा 11 गणित के अध्याय 10 में किन मुख्य अवधारणाओं को शामिल किया गया है?

अध्याय 10, 'सरल रेखाएँ', मुख्य रूप से निर्देशांक ज्यामिति के अनुप्रयोगों पर केंद्रित है, जिसमें कार्तीय तल में चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना और Y-अक्ष पर आधार वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों का निर्धारण करना शामिल है।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है?

चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, और फिर प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके की जाती है। इन दोनों क्षेत्रफलों को जोड़ने पर चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

क्या ये समाधान परीक्षा की तैयारी के लिए उपयोगी हैं?

हाँ, ये समाधान विस्तृत चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं जो छात्रों को अवधारणाओं को समझने और परीक्षा में पूछे जाने वाले समान प्रकार के प्रश्नों को हल करने का अभ्यास करने में मदद करते हैं।

समबाहु त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने में Y-अक्ष की क्या भूमिका है?

जब त्रिभुज का आधार Y-अक्ष पर होता है और उसका मध्य-बिंदु मूल बिंदु पर होता है, तो आधार के शीर्ष (0, a) और (0, -a) होते हैं। समबाहु त्रिभुज के लिए तीसरा शीर्ष X-अक्ष पर स्थित होता है।

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