कक्षा 11 गणित: अध्याय 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत NCERT समाधान

Reviewed by NCERT Help Editorial Team · Updated on 29 Jul 2026

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 4, 'गणितीय आगमन का सिद्धांत' के लिए NCERT समाधान प्रदान करता है। यह अध्याय गणितीय कथनों को सिद्ध करने के लिए एक शक्तिशाली तकनीक प्रस्तुत करता है, विशेष रूप से उन कथनों के लिए जो सभी प्राकृतिक संख्याओं या प्राकृतिक संख्याओं के एक उपसमुच्चय के लिए सत्य होने का दावा करते हैं। समाधानों में गणितीय आगमन के तीन मुख्य चरणों का विस्तृत विवरण शामिल है: आधार चरण (n=1 के लिए कथन की सत्यता की जाँच करना), प्रेरण चरण (यह मानना कि कथन n=k के लिए सत्य है), और प्रेरणिक चरण (यह सिद्ध करना कि यदि कथन n=k के लिए सत्य है, तो यह n=k+1 के लिए भी सत्य है)। ये समाधान छात्रों को इस विधि को समझने और लागू करने में मदद करते हैं, जिससे वे विभिन्न गणितीय सूत्रों और सर्वसमिकाओं को सिद्ध कर सकें। परीक्षा की तैयारी के लिए यह एक महत्वपूर्ण संसाधन है।

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Quick info

Board	CBSE
Class	Class 11
Subject	गणित
Session	2026
Language	Hindi
Type	NCERT Solutions
Chapter	4. गणितीय आगमन का सिद्धांत

Chapter summary

अध्याय 4, 'गणितीय आगमन का सिद्धांत', गणितीय कथनों को सिद्ध करने के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण प्रदान करता है। यह समाधान छात्रों को गणितीय आगमन के तीन-चरणीय प्रक्रिया को समझने में मदद करते हैं: आधार चरण, प्रेरणिक परिकल्पना, और प्रेरणिक चरण। इन समाधानों में दिए गए उदाहरणों को हल करके, छात्र यह सीखते हैं कि कैसे विभिन्न प्रकार के गणितीय कथनों, विशेष रूप से योगों और गुणनफलों से संबंधित कथनों की सत्यता को सिद्ध किया जाए। यह अध्याय छात्रों को तार्किक तर्क और प्रमाण निर्माण में एक मजबूत आधार प्रदान करता है।

Learning outcomes

गणितीय आगमन के सिद्धांत के तीन चरणों को समझना।
आधार चरण (n=1 के लिए सत्यता) को सत्यापित करना सीखना।
प्रेरणिक परिकल्पना (n=k के लिए सत्यता मानना) को लागू करना।
प्रेरणिक चरण (n=k+1 के लिए सत्यता सिद्ध करना) का उपयोग करके कथनों को सिद्ध करना।
योग सूत्रों को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने का अभ्यास करना।

Topics covered

Paper topics

गणितीय आगमन का सिद्धांत
आधार चरण
प्रेरणिक परिकल्पना
प्रेरणिक चरण
योग सूत्रों का प्रमाण
प्राकृतिक संख्याओं के गुण
बीजगणितीय प्रमाण
तार्किक तर्क

Important topics

गणितीय आगमन के सिद्धांत के तीन चरण
आधार चरण (n=1) का सत्यापन
प्रेरणिक चरण (P(k) => P(k+1)) का प्रमाण
योग सूत्रों को सिद्ध करना

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Questions and Solutions

प्रश्न 1.

1. सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं $n$ के लिए, $1+3+3^2+...+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2}$ ।

Solution:

माना दिया हुआ कथन $P(n)$ है।

$P(n): 1+3+3^2+...+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2}$

चरण I (आधार चरण): $n=1$ के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें।

$P(1): \text{बायाँ पक्ष} = 3^{1-1} = 3^0 = 1$

$\text{दायाँ पक्ष} = \frac{3^1-1}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

चूंकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, इसलिए $P(1)$ सत्य है।

चरण II (प्रेरणिक परिकल्पना): मान लीजिए कि कथन $n=k$ के लिए सत्य है, जहाँ $k$ कोई धनात्मक पूर्णांक है।

$P(k): 1+3+3^2+...+3^{k-1}=\frac{3^k-1}{2} \quad \dots(i)$

चरण III (प्रेरणिक चरण): अब हमें यह सिद्ध करना है कि कथन $n=k+1$ के लिए भी सत्य है, अर्थात् $P(k+1)$ सत्य है।

$P(k+1): 1+3+3^2+...+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}=\frac{3^{k+1}-1}{2}$

हम $P(k+1)$ के बाएँ पक्ष से शुरू करते हैं:

$1+3+3^2+...+3^{k-1}+3^k$

समीकरण (i) का उपयोग करके, हम पहले $k$ पदों के योग को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

$=\left(1+3+3^2+...+3^{k-1}\right) + 3^k$

$=\frac{3^k-1}{2} + 3^k$

अब, हम इसे सरल करते हैं:

$=\frac{3^k-1 + 2 \times 3^k}{2}$

$=\frac{3^k + 2 \times 3^k - 1}{2}$

$=\frac{(1+2) \times 3^k - 1}{2}$

$=\frac{3 \times 3^k - 1}{2}$

$=\frac{3^{k+1}-1}{2}$

यह $P(k+1)$ का दायाँ पक्ष है। इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है जब कभी $P(k)$ सत्य है।

गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं $n \ge 1$ के लिए सत्य है।

प्रश्न 2.

2. सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं $n$ के लिए, $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ ।

Solution:

माना दिया हुआ कथन $P(n)$ है।

$P(n): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

चरण I (आधार चरण): $n=1$ के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें।

$P(1): \text{बायाँ पक्ष} = 1^3 = 1$

$\text{दायाँ पक्ष} = \left[\frac{1(1+1)}{2}\right]^2 = \left[\frac{1 \times 2}{2}\right]^2 = (1)^2 = 1$

चूंकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, इसलिए $P(1)$ सत्य है।

$P(k): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 \quad \dots(i)$

$P(k+1): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \left[\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\right]^2 = \left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2$

हम $P(k+1)$ के बाएँ पक्ष से शुरू करते हैं:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k+1)^3$

समीकरण (i) का उपयोग करके, हम पहले $k$ पदों के योग को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

$=\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 + (k+1)^3$

अब, हम इसे सरल करते हैं:

$=\frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$

$=(k+1)^2 \left[ \frac{k^2}{4} + (k+1) \right]$

$=(k+1)^2 \left[ \frac{k^2 + 4(k+1)}{4} \right]$

$=(k+1)^2 \left[ \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right]$

$=(k+1)^2 \left[ \frac{(k+2)^2}{4} \right]$

$=\frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}$

$=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2$

यह $P(k+1)$ का दायाँ पक्ष है। इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है जब कभी $P(k)$ सत्य है।

Common mistakes

आधार चरण (n=1) को सत्यापित करने में त्रुटियाँ करना।
प्रेरणिक परिकल्पना को सही ढंग से न मानना।
प्रेरणिक चरण में बीजगणितीय गणनाओं में गलतियाँ करना।
यह सिद्ध करने में कठिनाई होना कि P(k) सत्य होने पर P(k+1) भी सत्य है।

Revision tips

प्रत्येक प्रश्न के लिए गणितीय आगमन के तीनों चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।
आधार चरण (n=1) की जाँच को कभी न छोड़ें।
प्रेरणिक चरण में बीजगणितीय सरलीकरण पर विशेष ध्यान दें।
विभिन्न प्रकार के कथनों (योग, गुणन, विभाज्यता) के लिए समाधानों का अभ्यास करें।

Practice MCQs

Q1. गणितीय आगमन सिद्धांत का पहला चरण क्या है?

Q2. यदि P(k) सत्य है, तो गणितीय आगमन सिद्धांत का अगला चरण क्या है?

Q3. सूत्र $1+3+3^2+...+3^{n-1}= $\frac{3^n-1}{2}$ $ के लिए, $n=1$ पर बायाँ पक्ष क्या है?

Q4. सूत्र $1^3 + 2^3 +... + $n^3 = \left$ [ $\frac{n(n+1)}{2}$ $\right$ ]^2$ के लिए, $n=1$ पर दायाँ पक्ष क्या है?

Frequently asked questions

गणितीय आगमन का सिद्धांत क्या है?

गणितीय आगमन का सिद्धांत एक प्रमाण तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि कोई कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं (या प्राकृतिक संख्याओं के एक उपसमुच्चय) के लिए सत्य है। इसमें तीन मुख्य चरण शामिल हैं: आधार चरण, प्रेरणिक परिकल्पना, और प्रेरणिक चरण।

गणितीय आगमन के तीन चरण कौन से हैं?

तीन चरण हैं: 1. आधार चरण (Base Case): कथन को सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (आमतौर पर n=1) के लिए सिद्ध करना। 2. प्रेरणिक परिकल्पना (Inductive Hypothesis): यह मानना कि कथन किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए सत्य है। 3. प्रेरणिक चरण (Inductive Step): यह सिद्ध करना कि यदि कथन n=k के लिए सत्य है, तो यह n=k+1 के लिए भी सत्य है।

यह समाधान किस कक्षा और विषय के लिए है?

यह समाधान कक्षा 11 के गणित विषय के लिए है, विशेष रूप से अध्याय 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत।

इन समाधानों का उपयोग कैसे करें?

इन समाधानों का उपयोग अध्याय में दिए गए प्रश्नों को समझने और हल करने के लिए किया जा सकता है। प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण आपको गणितीय आगमन की विधि को सीखने और अभ्यास करने में मदद करेगा।

क्या ये समाधान NCERT पाठ्यक्रम के अनुसार हैं?

हाँ, ये समाधान विशेष रूप से CBSE कक्षा 11 के NCERT पाठ्यक्रम के अनुसार तैयार किए गए हैं।

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