कक्षा 11 गणित: सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण NCERT समाधान

दिए गए व्यंजक को हल करने के लिए, हम संख्याओं और चर 'i' को गुणा करेंगे:

<math display="block">(6i)\left(-\frac{3}{5}i\right) = 6 \times \left(-\frac{3}{5}\right) \times i \times i</math>

अब, गुणांकों को गुणा करें:

<math display="block">= -\frac{18}{5} \times i^2</math>

हम जानते हैं कि <math>i^2 = -1</math> होता है। इस मान को प्रतिस्थापित करें:

<math display="block">= -\frac{18}{5} \times (-1)</math>

गुणा करने पर:

<math display="block">= \frac{18}{5}</math>

इस परिणाम को सम्मिश्र संख्या के मानक रूप <math>a+ib</math> में व्यक्त करने के लिए, हम वास्तविक भाग को <math>\frac{18}{5}</math> और काल्पनिक भाग को 0 मानेंगे।

<math display="block">\frac{18}{5} = \frac{18}{5} + 0i</math>

अतः, सम्मिश्र संख्या का मानक रूप <math>\frac{18}{5} + 0i</math> है।

हमें सम्मिश्र संख्या <math>i^9 + i^{19}</math> को सरल करना है। हम जानते हैं कि <math>i^2 = -1</math>, <math>i^3 = -i</math>, और <math>i^4 = 1</math>। हम घातों को 4 के गुणक के रूप में लिखकर सरल कर सकते हैं।

पहले <math>i^9</math> को सरल करें:

<math display="block">i^9 = i^{8+1} = i^8 \cdot i^1 = (i^4)^2 \cdot i = (1)^2 \cdot i = 1 \cdot i = i</math>

अब <math>i^{19}</math> को सरल करें:

<math display="block">i^{19} = i^{16+3} = i^{16} \cdot i^3 = (i^4)^4 \cdot i^3 = (1)^4 \cdot (-i) = 1 \cdot (-i) = -i</math>

अब दोनों सरल किए गए पदों को जोड़ें:

<math display="block">i^9 + i^{19} = i + (-i) = i - i = 0</math>

इस परिणाम को मानक रूप <math>a+ib</math> में व्यक्त करने के लिए, हम वास्तविक भाग को 0 और काल्पनिक भाग को 0 मानेंगे।

<math display="block">0 = 0 + 0i</math>

अतः, सम्मिश्र संख्या का मानक रूप <math>0 + 0i</math> है।

हमें ऋणात्मक घात वाली सम्मिश्र संख्या <math>i^{-39}</math> को सरल करना है। ऋणात्मक घात को धनात्मक घात में बदलने के लिए हम व्युत्क्रम (reciprocal) का उपयोग करते हैं:

<math display="block">i^{-39} = \frac{1}{i^{39}}</math>

अब हम हर में <math>i^{39}</math> को सरल करेंगे। हम जानते हैं कि <math>i^4 = 1</math>। हम 39 को 4 के गुणक के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

<math display="block">39 = 4 \times 9 + 3</math>

इसलिए, <math>i^{39}</math> को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

<math display="block">i^{39} = i^{4 \times 9 + 3} = i^{36} \cdot i^3 = (i^4)^9 \cdot i^3</math>

चूंकि <math>i^4 = 1</math> और <math>i^3 = -i</math> होता है:

<math display="block">= (1)^9 \cdot (-i) = 1 \cdot (-i) = -i</math>

अब इस मान को व्युत्क्रम में प्रतिस्थापित करें:

<math display="block">i^{-39} = \frac{1}{-i}</math>

हर में 'i' को हटाने के लिए, हम अंश और हर को 'i' से गुणा करेंगे:

<math display="block">= \frac{1 \times i}{-i \times i} = \frac{i}{-i^2}</math>

चूंकि <math>i^2 = -1</math> होता है:

<math display="block">= \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i</math>

इस परिणाम को मानक रूप <math>a+ib</math> में व्यक्त करने के लिए, हम वास्तविक भाग को 0 और काल्पनिक भाग को 1 मानेंगे।

<math display="block">i = 0 + 1i</math>

अतः, सम्मिश्र संख्या का मानक रूप <math>0 + 1i</math> है।

हमें दिए गए व्यंजक <math>3(7+i7)+i(7+i7)</math> को सरल करके <math>a+ib</math> के रूप में व्यक्त करना है।

सबसे पहले, हम कोष्ठकों को खोलेंगे:

<math display="block">3(7+i7) = 3 \times 7 + 3 \times i7 = 21 + i21</math> और <math display="block">i(7+i7) = i \times 7 + i \times i7 = i7 + i^2 \times 7</math>

हम जानते हैं कि <math>i^2 = -1</math> होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर:

<math display="block">i(7+i7) = 7i + (-1) \times 7 = 7i - 7</math>

अब, दोनों विस्तारित व्यंजकों को जोड़ें:

<math display="block">(21 + i21) + (7i - 7)</math>

वास्तविक भागों को एक साथ और काल्पनिक भागों को एक साथ समूहित करें:

<math display="block">= (21 - 7) + (i21 + i7)</math>

सरल करें:

<math display="block">= 14 + i(21 + 7)</math>

<math display="block">= 14 + i28</math>

यह परिणाम पहले से ही मानक रूप <math>a+ib</math> में है, जहाँ <math>a=14</math> और <math>b=28</math> है।

अतः, व्यंजक का मानक रूप <math>14 + 28i</math> है।