कक्षा 11 गणित: अध्याय 2 संबंध एवं फलन NCERT समाधान

हमें दिया गया है कि दो क्रमित युग्म बराबर हैं: $\backslash left(\backslash frac\{x\}\{3\}+1,\; y-\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{5\}\{3\},\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)$

दो क्रमित युग्मों की समानता के गुणधर्म के अनुसार, उनके संगत घटक बराबर होने चाहिए। इसलिए, हम निम्नलिखित दो समीकरण प्राप्त करते हैं:

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; +\; 1\; =\; \backslash frac\{5\}\{3\}$$

$$y\; -\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$$

पहले समीकरण को हल करने पर:

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{5\}\{3\}\; -\; 1$$

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{5\; -\; 3\}\{3\}$$

$$\backslash frac\{x\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$$

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर:

$x\; =\; 2$

दूसरे समीकरण को हल करने पर:

$$y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{3\}$$

$$y\; =\; \backslash frac\{1\; +\; 2\}\{3\}$$

$$y\; =\; \backslash frac\{3\}\{3\}$$

$y\; =\; 1$

अतः, $x\; =\; 2$ और $y\; =\; 1$।

हमें दिया गया है कि समुच्चय A में अवयवों की संख्या $n(A)\; =\; 3$ है।

समुच्चय B दिया गया है: $B\; =\; \backslash \{3,\; 4,\; 5\backslash \}$. इसलिए, समुच्चय B में अवयवों की संख्या $n(B)\; =\; 3$ है।

दो समुच्चयों के कार्तीय गुणन $A\; \backslash times\; B$ में अवयवों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है: $n(A\; \backslash times\; B)\; =\; n(A)\; \backslash times\; n(B)$.

इस सूत्र का प्रयोग करने पर:

$n(A\; \backslash times\; B)\; =\; 3\; \backslash times\; 3\; =\; 9$

अतः, $A\; \backslash times\; B$ में अवयवों की संख्या 9 होगी।

हमें दो समुच्चय दिए गए हैं: $G\; =\; \backslash \{7,\; 8\backslash \}$ और $H\; =\; \backslash \{5,\; 4,\; 2\backslash \}$.

समुच्चय G में अवयवों की संख्या $n(G)\; =\; 2$ है और समुच्चय H में अवयवों की संख्या $n(H)\; =\; 3$ है।

दो अरिक्त समुच्चयों P और Q का कार्तीय गुणन $P\; \backslash times\; Q$ उन सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय होता है, जिनके प्रथम घटक P से और द्वितीय घटक Q से लिए जाते हैं। अर्थात, $P\; \backslash times\; Q\; =\; \backslash \{(p,\; q)\; :\; p\; \backslash in\; P,\; q\; \backslash in\; Q\backslash \}$.

अब, हम $G\; \backslash times\; H$ की गणना करते हैं:

$G\; \backslash times\; H\; =\; \backslash \{7,\; 8\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{5,\; 4,\; 2\backslash \}$

इसके अवयव होंगे:

$G\; \backslash times\; H\; =\; \backslash \{(7,\; 5),\; (7,\; 4),\; (7,\; 2),\; (8,\; 5),\; (8,\; 4),\; (8,\; 2)\backslash \}$

अब, हम $H\; \backslash times\; G$ की गणना करते हैं:

$H\; \backslash times\; G\; =\; \backslash \{5,\; 4,\; 2\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{7,\; 8\backslash \}$

इसके अवयव होंगे:

$H\; \backslash times\; G\; =\; \backslash \{(5,\; 7),\; (5,\; 8),\; (4,\; 7),\; (4,\; 8),\; (2,\; 7),\; (2,\; 8)\backslash \}$

अतः, $G\; \backslash times\; H\; =\; \backslash \{(7,\; 5),\; (7,\; 4),\; (7,\; 2),\; (8,\; 5),\; (8,\; 4),\; (8,\; 2)\backslash \}$ और $H\; \backslash times\; G\; =\; \backslash \{(5,\; 7),\; (5,\; 8),\; (4,\; 7),\; (4,\; 8),\; (2,\; 7),\; (2,\; 8)\backslash \}$.

(i) कथन: यदि $P\; =\; \backslash \{m,\; n\backslash \}$ और $Q\; =\; \backslash \{n,\; m\backslash \}$, तो $P\; \backslash times\; Q\; =\; \backslash \{(m,\; n),\; (n,\; m)\backslash \}$

यह कथन असत्य है।

सही कथन: यदि $P\; =\; \backslash \{m,\; n\backslash \}$ और $Q\; =\; \backslash \{n,\; m\backslash \}$, तो $P\; \backslash times\; Q$ की गणना इस प्रकार की जाती है:

$P\; \backslash times\; Q\; =\; \backslash \{m,\; n\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{n,\; m\backslash \}\; =\; \backslash \{(m,\; n),\; (m,\; m),\; (n,\; n),\; (n,\; m)\backslash \}$

इसलिए, $P\; \backslash times\; Q$ में चार अवयव हैं, न कि दो।

(ii) कथन: यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं, तो $A\; \backslash times\; B$ क्रमित युग्मों $(x,\; y)$ का एक अरिक्त समुच्चय इस प्रकार है, कि $x\; \backslash in\; A$ तथा $y\; \backslash in\; B$.

यह कथन सत्य है। यह कार्तीय गुणन की परिभाषा है। चूँकि A और B अरिक्त समुच्चय हैं, तो कम से कम एक $x\; \backslash in\; A$ और एक $y\; \backslash in\; B$ मौजूद होगा, जिससे $(x,\; y)$ एक क्रमित युग्म बनेगा और $A\; \backslash times\; B$ अरिक्त होगा।

(iii) कथन: $\backslash forall\; A\; =\; \backslash \{1,\; 2\backslash \}\; \backslash exists\; B\; =\; \backslash \{3,\; 4\backslash \},\; \backslash exists\; A\; \backslash times\; (B\; \backslash cap\; \backslash phi)\; =\; \backslash phi$

यह कथन सत्य है।

स्पष्टीकरण: हम जानते हैं कि किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय ($\backslash phi$) के साथ सर्वनिष्ठ (intersection) हमेशा रिक्त समुच्चय होता है।

अर्थात, $B\; \backslash cap\; \backslash phi\; =\; \backslash phi$.

इसलिए, $A\; \backslash times\; (B\; \backslash cap\; \backslash phi)\; =\; A\; \backslash times\; \backslash phi$.

किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन हमेशा रिक्त समुच्चय होता है।

अतः, $A\; \backslash times\; \backslash phi\; =\; \backslash phi$.

हमें समुच्चय $A\; =\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}$ दिया गया है।

सबसे पहले, हम $A\; \backslash times\; A$ की गणना करते हैं:

$A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}$

$A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{(-1,\; -1),\; (-1,\; 1),\; (1,\; -1),\; (1,\; 1)\backslash \}$

अब, हम $A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A$ की गणना करते हैं, जो $(A\; \backslash times\; A)\; \backslash times\; A$ के बराबर है:

$A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{(-1,\; -1),\; (-1,\; 1),\; (1,\; -1),\; (1,\; 1)\backslash \}\; \backslash times\; \backslash \{-1,\; 1\backslash \}$

इसके अवयव निम्नलिखित त्रिक (triples) होंगे:

$A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A\; =\; \backslash \{(-1,\; -1,\; -1),\; (-1,\; -1,\; 1),\; (-1,\; 1,\; -1),\; (-1,\; 1,\; 1),\; (1,\; -1,\; -1),\; (1,\; -1,\; 1),\; (1,\; 1,\; -1),\; (1,\; 1,\; 1)\backslash \}$

अतः, $A\; \backslash times\; A\; \backslash times\; A$ में 8 अवयव हैं।

हमें कार्तीय गुणन $A\; \backslash times\; B\; =\; \backslash \{(a,\; x),\; (a,\; y),\; (b,\; x),\; (b,\; y)\backslash \}$ दिया गया है।

समुच्चय $A\; \backslash times\; B$ के परिभाषा के अनुसार, समुच्चय A में वे सभी अवयव होते हैं जो $A\; \backslash times\; B$ के क्रमित युग्मों के प्रथम घटक हैं, और समुच्चय B में वे सभी अवयव होते हैं जो $A\; \backslash times\; B$ के क्रमित युग्मों के द्वितीय घटक हैं।

दिए गए $A\; \backslash times\; B$ के क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों को देखने पर, हमें $a$ और $b$ मिलते हैं। इसलिए, समुच्चय A है:

$A\; =\; \backslash \{a,\; b\backslash \}$

इसी प्रकार, दिए गए $A\; \backslash times\; B$ के क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों को देखने पर, हमें $x$ और $y$ मिलते हैं। इसलिए, समुच्चय B है:

$B\; =\; \backslash \{x,\; y\backslash \}$

अतः, $A\; =\; \backslash \{a,\; b\backslash \}$ और $B\; =\; \backslash \{x,\; y\backslash \}$.